吉林一中2009届高三阶段验收

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

 

第Ⅰ卷(选择题,共60分)

 

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题列出的四个选项中,选择出符合题目要求的一项.

1.已知M={6ec8aac122bd4f6e|6ec8aac122bd4f6e=(1,2)+6ec8aac122bd4f6e(3,4),6ec8aac122bd4f6e∈R},N={6ec8aac122bd4f6e|6ec8aac122bd4f6e=(-2,-2)+μ(4,5),μ∈R},则

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M6ec8aac122bd4f6eN=                                                             (    )

A.{(1,1)}              B.{(1,1),(-2,-2)}     C.{(-2,-2)}             D.φ

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2.(理)6ec8aac122bd4f6e等于                                                       (    )

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A.6ec8aac122bd4f6e          B.6ec8aac122bd4f6e          C.6ec8aac122bd4f6e           D.6ec8aac122bd4f6e

   (文)函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于                                   (    )

       A.1               B.2                C.3                   D.4

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3.已知f(x)=sin(x+6ec8aac122bd4f6e),g(x)=cos(x-6ec8aac122bd4f6e),则下列结论中正确的是                    (    )

      A.函数y=f(x)?g(x)的最大值为1

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       B.函数y=f(x)?g(x)的对称中心是(6ec8aac122bd4f6e,0),6ec8aac122bd4f6e∈Z

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       C.当x∈[-6ec8aac122bd4f6e,6ec8aac122bd4f6e]时,函数y=f(x)?g(x)单调递增

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       D.将f(x)的图象向右平移6ec8aac122bd4f6e单位后得g(x)的图象

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4.已知当x∈R时,函数y=f(x)满足f(2.1+x)=f(1.1+x) + ,且f(1)=1,则f(100)

    的值为                                                            (    )

       A.                    B.                     C.34                     D.

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5.设四面体的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,它们的最大值为S,记6ec8aac122bd4f6e

   则有                                                                          (    )

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       A.2<6ec8aac122bd4f6e≤4            B.3<6ec8aac122bd4f6e≤4             C.2.5<6ec8aac122bd4f6e≤4.5        D.3.5<6ec8aac122bd4f6e≤5.5

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6.已知球的表面积为206ec8aac122bd4f6e,球面上有A、B、C三点,如果AB=AC=2,BC=26ec8aac122bd4f6e,则球心

   到平面ABC的距离为                                                                                  (    )

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       A.1                     B.6ec8aac122bd4f6e              C.6ec8aac122bd4f6e                 D.2

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7.在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个长方形的面积等于其它10个小长方形面积和的,且样本容量为160,则中间一组的频数为                   (    )

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       A.32              B.0.2                 C.40                 D.0.25

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8.函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是               (    )

      A.(0,3)             B.(-∞,3)           C.(0,+∞)          D.(0,)

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9.(理)已知有相同两焦点F1、F2的椭圆 + y2=1(m>1)和双曲线 - y2=1(n>0),P是它们

   的一个交点,则ΔF1PF2的形状是                                                                    (    )

A.锐角三角形     B.直角三角形     C.钝有三角形    D.随m、n变化而变化

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  (文)已知有相同两焦点F1、F2的椭圆6ec8aac122bd4f6e+ y2=1和双曲线6ec8aac122bd4f6e- y2=1,P是它们的一个交点,

   则ΔF1PF2的形状是                                                              (    )

       A.锐角三角形      B.直角三角形       C.钝有三角形       D.等腰三角形

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10.在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种是即时价格曲线y=f(x),另一种是平

均价格曲线y=g(x)(如f(2)=3是指开始买卖后二个小时的即时价格为3元;g(2)=3

表示二个小时内的平均价格为3元),下图给出的四个图像,其中实线表示y=f(x),

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虚线6ec8aac122bd4f6e表示y=g(x),其中可能正确的是                                              (    )

 

 

 

 

A                   B                C                D

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11.有20张卡片分别写着数字1,2,…,19,20,将它们放入一个盒中,有4个人从中各抽

取一张卡片,取到两个较小数字的二人在同一组,取得两个较大数字的二人在同一

组,若其中二人分别抽到5和14,则此二人在同一组的概率等于           (    )

A.               B.                  C.                      D.

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6ec8aac122bd4f6e12.如图,在杨辉三角形中,斜线6ec8aac122bd4f6e的上方,

从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形

数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前n项和

为Sn,则S19等于 (    )

A.129             B.172

C.228             D.283

 

第Ⅱ卷(非选择题,共90分)

 

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二、填空题: 本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.

13.抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程为__________________.

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14.对于任意一个非零实数,它的倒数的倒数是它的本身.也就是说,连续施行两次倒数

变换后又回到施行变换前的对象,我们把这样的变换称为回归变换.在中学数学范围内写出这样的变换(写对一个变换给2分,最多得4分)                            

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15.已知x>0,由不等式6ec8aac122bd4f6e≥2?6ec8aac122bd4f6e=2,6ec8aac122bd4f6e=6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e=3,

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…,启发我们可以得出推广结论:6ec8aac122bd4f6e≥n+1 (n∈N*),则a=_______________.

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16.在平行六面体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的平行六

面体的棱的条数可能是_________________(填上所有可能结果).

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三、解答题: 本大题共6小题,共74分. 解答应写出文字的说明,证明过程或演算步骤.

17.(本题满分12分)

已知函数y=sinωx•cosωx(ω>0) (ω>0)的周期为 , 

(I) 求ω 的值;

(II) 当0≤x≤ 时,求函数的最大值和最小值及相应的x的值.

 

 

 

 

 

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18.(本题满分12分)

质点A位于数轴x=0处,质点B位于x=2处.这两个质点每隔1秒钟都向左或

向右平移一个单位,设向左移动的概率为,向右移动的概率为.

(I)求3秒后,质点A在点x=1处的概率;

(II)求2秒后,质点A、B同时在x=2处的概率.

 

 

 

 

 

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19.(本题满分12分)

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6ec8aac122bd4f6e如图,已知直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥BD,AD=BD=a,E是CC1的中点,A1D⊥BE.

(I)求证:A1D⊥平面BDE;

(II)求二面角B?DE?C的大小;

(III)求点B到平面A1DE的距离    

 

 

 

 

 

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20.某汽车销售公司为促销采取了较灵活的付款方式,对购买10万元一辆的轿车在一年

内将款全部付清的前提下,可以选择以下两种分期付款方案购车:

方案1:分3次付清,购买后4个月第一次付款,再过4个月第二次付款,再过4个月第三次付款.方案2:分12次付清,购买后1个月第一次付款,再过1个月第二次付款,……购买后12个月第十二次付款.

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现规定分期付款中,每期付款额相同,月利率为0.8%,每月利息按复利计息,试比较以上两种方案的哪一种方案付款总数较少?(参考数据:1.0083=1.024,1.0084=1.033,1.00811=1.092,1.00812=1.1)

 

 

 

 

 

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21.(理)如图,|AB|=2,O为AB中点,直线6ec8aac122bd4f6e过B且垂直于AB,过A的动直线与6ec8aac122bd4f6e交于点C,点M在线段AC上,满足=.

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6ec8aac122bd4f6e   (1)求点M的轨迹方程;

   (2)若过B点且斜率为- 的直线与轨迹M交于

点P,点Q(t,0)是x轴上任意一点,求当

ΔBPQ为锐角三角形时t的取值范围.

 

 

 

 

 

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21.(文)已知:函数f(x)=a+ (a>1) 

   (1) 证明:函数f(x)在(-1,+∞ )上为增函数;

   (2)证明方程f(x)=0没有负根.

 

 

 

 

 

 

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22.(本题满分14分)

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(理)已知数列{an}的前n项和6ec8aac122bd4f6e,且6ec8aac122bd4f6e=1,6ec8aac122bd4f6e

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6ec8aac122bd4f6e.

(I)求数列{an}的通项公式;

(II)已知定理:“若函数f(x)在区间D上是凹函数,x>y(x,y∈D),且f’(x)存在,则有

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< f’(x)”.若且函数y=xn+16ec8aac122bd4f6e在(0,+∞)上是凹函数,试判断bn与bn+1的大小;

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(III)求证:≤bn<2.

 

 

 

 

 

 

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22.(本题满分14分)

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6ec8aac122bd4f6e(文)如图,|AB|=2,O为AB中点,直线6ec8aac122bd4f6e过B且垂直于AB,过A的动直线与6ec8aac122bd4f6e交于点C,点M在线段AC上,满足=.

(I)求点M的轨迹方程;

(II)若过B点且斜率为- 的直线与轨迹M交于

         点P,点Q(t,0)是x轴上任意一点,求当ΔBPQ为

         锐角三角形时t的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、选择题(12’×5=60’)

1.C

2.理D  文D

3.D

4.C. 提示:{f(n)}是等差数列(n∈N*)

5.A. 提示:当S1=S2=S3=S4=S时,λ=4;当高趋向于零时,λ无限接近2

6.A

7.A

8.D

9.B. 提示:∵|PF1|+|PF2|=2,|PF1|-|PF2|=±2,又m-1=n+1,

∴|PF1|2+|PF2|2=2(m+n)=4(m-1)=|F1F2|2

10.C

11.D

12.D. 提示:第一行C22,第二行C31+C32=C42,第三行C41+C42=C52,…,故S19=C22+C42+C52+…+C122=C133-C32=283.

 

二、填空题(4’×4=16’)

13.y=-

14.答案:相反数的相反数是它本身,集合A的补集的补集是它本身,一个复数的共轭的共轭是它本身,等等.

15.nn

16.4或6或7或8

 

三、解答题

17.解:(1) y=sin2ωx+ cos2ωx+ = sin(2ωx+ )+                   (4)

∵ T=             ∴ ω =2                                 (6)      

 (2) y=sin(4x+ )+  

∵  0≤x≤    ∴ ≤4x+ ≤π +                          (8)

∴  当x= 时,y=0  当x=时,y=                              (12)

 

18.(1)质点n次移动看作n次独立重复试验,记向左移动一次为事件A,

则P(A)=,P(6ec8aac122bd4f6e)=3秒后,质点A在点x=1处的概率P1=P3(1)=C31?p(1-p)2=3××()2=              (6’)

    (2)2秒后,质点A、B同在x=2处,即A、B两质点各做二次移动,其中质点A向右移动2次,质点B向左、向右各移动一次,故P2=P2(0)?P2(1)=C20?()2?C21??=          (12’)

考点解析:本题考查n次独立重复试验及独立事件同时发生的概率,但需要一定的分析、转化能力.

6ec8aac122bd4f6e
 

19.(1)∵AA1⊥面ABCD,∴AA1⊥BD,

又BD⊥AD,∴BD⊥A1D        (2’)

又A1D⊥BE,

∴A1D⊥平面BDE                (3’)

(2)连B1C,则B1C⊥BE,易证RtΔCBE∽RtΔCBB1

∴=,又E为CC1中点,∴BB12=BC2=a2

∴BB1=a          (5’)

取CD中点M,连BM,则BM⊥平面CD1,作MN⊥DE于N,连NB,则∠BNM是二面角B?DE?C的平面角                (7’)

RtΔCED中,易求得MN=,RtΔBMN中,tan∠BNM==,∴∠BNM=arctan (10’)

(3)易证BN长就是点B到平面A1DE的距离    (11’)

BN==a        (12’)

    (2)另解:以D为坐标原点,DA为x轴、DB为y轴、DD1为z轴建立空间直角坐标系

则B(0,a,0),设A1(a,0,x),E(-a,a,),6ec8aac122bd4f6e=(-a,0,-x),6ec8aac122bd4f6e=(-a,0,),∵A1D⊥BE

∴a2-x2=0,x2=2a2,x=a,即BB1=a.

考点解析:九(A)、九(B)合用一道立体几何题是近年立几出题的趋势,相比较而言,选用九(B)体系可以避开一些逻辑论证,取之以代数运算,可以减轻多数学生学习立体几何的学习压力.

 

20.若按方案1付款,设每次付款为a(万元)

则有a+a(1+0.8%)4+a(1+-0.8%)8=10×(1+0.8%)12        (4’)

即a×=10×1.00812,a=

付款总数S1=3a=9.9×1.00812                       (6’)

若按方案2付款,设每次付款额为b(万元),同理可得:b=    (8’)

付款总额为S2=12b=9.6×1.00812,故按有二种方案付款总额较少.   (12’)

考点解析:复习中要注意以教材中研究性学习内容为背景的应用问题.

 

6ec8aac122bd4f6e21.(理)(1)设M(x,y),C(1,y0),∵=,∴=           (2’)

又A、M、C三点一线,∴=       ②                    (4’)

由(1)、(2)消去y0,得x2+4y2=1(y≠0)                          (6’)

   

      

 

(2)P(0,)是轨迹M短轴端点,∴t≥0时∠PQB或∠PBQ不为锐角,∴t<0

又∠QPB为锐角,∴6ec8aac122bd4f6e?6ec8aac122bd4f6e>0,∴(t,- )(1,- )=t+ >0,∴- <t<0         (12’)

考点解析:解析几何题注意隐藏的三点共线关系;平面向量运算也常常设置在解析几何考题当中.

 

21.(文)证明:(1) 设-1<x­1<x2<+∞

f(x1)-f(x2) =a-a + -

=a-a +          (4)

 ∵  -1<x1<x2 ,a>0

 ∴  a-a<0     <0

 ∴  f(x1)-f(x2)<0  即  f(x1)<f(x2) ,函数f(x)在(-1,+∞ )上为增函数.       (6)

 (2)  若方程有负根x0 (x0≠-1),则有a= -1

   若  x0<-1 , -1<-1   而 a>0    故  a ≠ -1           (10)

   若 -1<x0<0 ,   -1>2    而 a<a0=1  a ≠ -1

综上所述,方程f(x)=0没有负根.  

                                                                          (12)

 

22.(理)(1)Sn=an,∴Sn+1=an+1,an+1=Sn+1-Sn=an+1-an,∴= (n≥2)         (2’)

∴==…==1,∴an+1=n,an=n-1 (n≥2),又a1=0,∴an=n-1                  (4’)

   (2)bn+1=(1+ )n+1,bn=(1+ )n

∵<(n+1)?(1+ )n                                   (7’)

整理即得:(1+ )n<(1+ )n+1,即bn<bn+1                              (8’)

(3)由(2)知bn>bn-1­>…>b­1=                                               (10’)

又Cnr?()r=(??…)?()r≤()r,(0≤r≤n),

∴bn≤1+ +()2+…+()n=2-()n<2,∴≤bn<2                          (14’)

考点解析:这种“新概念”题需要较好的理解、分析能力,放缩法证明不等式是不等式证明的常用方法,也具有一定的灵活性,平时要注重概念的学习,常见题型的积累,提高思维能力和联想变通能力.

22.(文)见21(理).

 

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