湖北省黄冈中学2009届高三第二次模拟考试
数 学 试 题（理）
命题：熊 斌 审稿：程金辉 校对：罗欢
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知集合
，
集合
，则集合M、P之间的关系是
A．
B．
C．
D．
2．如果复数
为纯虚数，则
A． 
B．
3. 在
的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是
A、 
B、
D、28
4. 已知函数
的反函数为
，在
上的导函数为
，则
=
A．
B．
C．
D．
5. 
是圆
上任意一点，若不等式
恒成立，则c的取值范围是
A、
B、
C、
D、
6. 对于任意实数
，要使函数
在区间
上的值
出现的次数不小于
次，又不多于
次，则
可以取
A. 
B. 
C.
D.
7．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
A．234
B．
8. 椭圆
的左、右焦点分别为
、
，
是椭圆上一点，
为左准线，
，垂足为
，若四边形
为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是
A．
) B．
) C．
D．
9．在半径为
的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）
A．
B． 
C． 
D． 
10. 已知函数
．规定：给定一个实数
，赋值
，若
，则继续赋值
，…，以此类推，若
≤244，则
，否则停止赋值，如果得到
称为赋值了n次
．已知赋值k次后该过程停止，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置．
11．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有
种、
种、
种、
种不同的品牌．现 采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为
的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是
，则
．
12.已知平面向量
的夹角为
，
13.
是偶函数，其在
上是增函数，如果
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是
14. 
将正奇数排列如下表其中第
行第
个数表示
，例如
，若
，
则
．
15. 给出下列命题：
①．函数
和
的图象关于直线
对称.
②．在上连续的函数
若是增函数，则对任意
均有
成立.
③．已知函数
的交点的横坐标为
的值为
.
④．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
⑤．若
为双曲线
上一点，
、
分别为双曲线的左右焦点，且
，则
或
.
其中正确的命题是＿＿＿＿（把所有正确的命题的选项都填上）
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题满分12分）
已知函数
（1）若函数
；
（2）设
，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围.
17. (本小题满分12分)
某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间
(单位：年)有关. 若
，则销售利润为
元；若
，则销售利润为
元；若
，则销售利润为
元．设每台该种电器的无故障使用时间，及这三种情况发生的概率分别为
，
，
，叉知，是方程
的两个根，且
（1）求，，的值；
（2）记
表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求的期望.
18. (本小题满分12分)
已知直四棱柱ABCD―A1B
的中点，M为线段AC1的中点.
（1）求证：直线MF∥平面ABCD；
（2）求证：平面AFC1⊥平面ACC
（3）求平面AFC1与与平面ABCD所成二面角的大小.
19．(本小题满分12分)
已知
的三边长
成等差数列，若点
的坐标分别为
．
（1）求顶点
的轨迹
的方程；
（2）若线段
的延长线交轨迹于点
，当
时求线段
的垂直平分线与
轴交点的横坐标的取值范围．
20. (本小题满分13分)
已知函数
（1）求
；
（2）已知数列
满足
,
,求数列的通项公式；
（3）
求证:
.
21．(本小题满分14分)
设函数
.
（1） 判断
在区间
上的增减性并证明之；
（2） 若不等式
≤≤
对
恒成立, 求实数的取值范围M；
（3）设≤≤
，若
，求证：
≥.
湖北省黄冈中学2009届高三第二次模拟考试
1
11. 
． 12.
13. 
14. 60 15. ①③
16．解：（Ⅰ）∵
-
∴
，(3分)
∴
又已知点
为
的图像的一个对称中心。∴
而
（6分）
（Ⅱ）若
，
（9分）
∵
，∴
即m的取值范围是
（12分）
17. 解：（1）由已知得
，∵
，∴
∵
、
是方程
的两个根，∴
∴
，
………………6分
（2）
的可能取值为0，100，200，300，400
，
，
，
，
即的分布列为：
故
………12分
18解法一：
（1）延长C
所以F为C1N的中点，B为CN的中点。????2分
又M是线段AC1的中点，故MF∥AN。?????3分
又MF
平面ABCD，AN
平面ABCD。
∴MF∥平面ABCD。 ???5分
（2）证明：连BD，由直四棱柱ABCD―A1B
可知A
平面ABCD，
∴A
又∵AC∩A平面ACC
∴BD⊥平面ACC
在四边形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四边形DANB为平行四边形
故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC平面AFC1
∴平面AFC1⊥ACC
（3）由（2）知BD⊥ACCACC
又由BD⊥AC可知NA⊥AC，
∴∠C
在Rt△C
，故∠C
∴平面AFC1与平面ABCD所成二面角的大小为30°或150°。???12分
19.解：（Ⅰ）因为
成等差数列，点
的坐标分别为
所以
且
由椭圆的定义可知点
的轨迹是以为焦点长轴为4的椭圆（去掉长轴的端点），
所以
．故顶点的轨迹
方程为
．…………4分
（Ⅱ）由题意可知直线
的斜率存在，设直线方程为
．
由
得
，
设
两点坐标分别为
，则
，
，所以线段CD中点E的坐标为
,故CD垂直平分线l的方程为
，令y=0，得
与
轴交点的横坐标为
，由
得
，解得
，
又因为
，所以
．当时，有
，此时函数
递减，所以
．所以，
．
故直线与轴交点的横坐标的范围是
．
………………12分
20．解:(1)因为
所以设S=
（1）
S=
……….(2)(1)+(2)得:
=
, 所以S=3012
(2)由
两边同减去1,得
所以
,
所以
,
是以2为公差以
为首项的等差数列,
所以
（3）因为
所以
所以
>
21．解：(1)∵ 
∴
…1分
设
则
……2分
∴
在
上为减函数 又
时，
，
∴
∴
在上是减函数………4分(2)①
∵
∴
或
时
∴
…………………………………6分
又≤
≤
对一切
恒成立 ∴≤≤
……………8分
②显然当
或
时，不等式成立
…………………………9分
当
，原不等式等价于
≥
………10分
下面证明一个更强的不等式：≥
…①
即
≥
……②亦即
≥
…………………………11分
由(1) 知在
上是减函数 又
∴
……12分
∴不等式②成立，从而①成立 又
∴＞
综合上面∴≤≤
且≤≤
时，原不等式成立 ……………………………14分
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