江苏省2009届高三南京市高考预测卷
数 学 试 题
注 意 事 项
考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本斌卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分．本试卷满分160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．
2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上．
3.作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位；置作答一律无效．
4.如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚.
一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．
1.已知集合，集合，则=
试题详情
2.若，则＝
3.一个容器的外形是一个棱长为2的正方体，其三视图
如图所示，则容器的容积为
4.已知点，过点的直线，若可行域
的外接圆的直径为20，则实数
5.若向量=，=，且的夹角为钝角，则的取值范围是____________
6.已知是偶函数，当时,且当时恒成立．则的值是
7.等差数列中．＜ 0 ， 0 ．且，为数列的前项和，则使> 0 的的最小值为
8.若将函数的图象按向量平移后得到函数的图象，则函数单调递增区间是
9.在中，已知角所对的边分别是，且，又，则的面积的最大值为
10.下列程序运行结果为
i←1
While i<7
i←i+2
s←2i+3
End While
Print s
End
11. 已知区域，区域，点在区域，则的概率是
12.已知椭圆与双曲线有相同的焦点 （c，0）若c是的等比中项，是与 的等差中项，则椭圆的离心率
是
13.对于在区间[a，b]上有意义的两个函数，如果对于区间[a，b]中的任意x均有，则称在[a，b]上是“密切函数”， [a，b]称为“密切区间”，若函数与在区间[a，b]上是“密切函数”，则密切区间为
14. 给定正整数按右图方式构成倒立三角形数表，第一行依次写上数l，2，3，…，，在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第行)只有一个数，例如=6时数表如图所,则当＝2009时最后一行的数是 .
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. （本小题共14分）
如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，．
（Ⅰ）设是上的一点，证明：平面平面；
（Ⅱ）当点位于线段PC什么位置时，平面？
（Ⅲ）求四棱锥的体积．
16.（本小题共14分）
已知二次函数对任意，都有成立，设向量（sinx，2），
（2sinx，） ，（cos2x，1） ，（1，2）， 当[0，]时，
求不等式f（）＞f（）的解集．
17.（本小题共15分）
统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。
（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
18. （本小题共15分）
如图，椭圆：，、、、为椭圆的顶点．
（Ⅰ）设点，若当且仅当椭圆上的点在椭圆的顶点时， 取得最大值与最小值，求的取值范围；
（Ⅱ）若椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为，且与直线相交于，两点（不是椭圆的左右顶点），并满足．试研究：直线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．
19.（本小题共16分）
已知二次函数满足条件:① ; ② 的最小值为.
(1) 求函数的解析式;
(2) 设数列的前项积为, 且, 求数列的通项公式;
(3) 在(2)的条件下, 若是与的等差中项, 试问数列中第几项的值最小? 求出这个最小值.
20.（本小题共16分）
设函数，且，其中是自然对数的底数.
（1）求与的关系；
（2）若在其定义域内为单调函数，求的取值范围；
（3）设，若在上至少存在一点，使得＞成立，求实数的取值范围.
1. {2，8} 2. 3. 4.
5. 6. 1 7.20
8. 9. 10.2
11. 12. 13. [2，3] 14.
15.证明：（Ⅰ）在中，
∵，，，∴．
∴．????????????????? 2分
又 ∵平面平面，
平面平面，平面，
∴平面．
又平面，
∴平面平面．………………………………………………………………4分
（Ⅱ）当点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，平面．………5分
证明如下：连接AC，交于点N，连接MN．
∵，所以四边形是梯形．
∵，∴．
又 ∵，
∴，∴MN．…………………………………………………7分
∵平面，∴平面．………………………………………9分
（Ⅲ）过作交于，
∵平面平面，
即为四棱锥的高．……………………………………………………11分
又 ∵是边长为4的等边三角形，∴．……………12分
在中，斜边边上的高为，此即为梯形的高．
∴梯形的面积．
故．……………………………………………14分
16.设的二次项系数为，其图象上两点为（，）、B（，）因为，，所以，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称， ………………………………………………………………(2分)
∵ ，，，
，，，………………………………(4分)
∴ 当时，∵f（x）在x≥1内是增函数，
，．
∵ ， ∴ ．………………………………………………(8分)
当时，∵f（x）在x≥1内是减函数．
同理可得或，．………………………………………(11分)
综上：的解集是当时，为
当时，为，或．
17.解：（1）若千米/小时，每小时耗油量为升/小时. 共耗油升.
所以，从甲地到乙地要耗油17.5升.
（2）设当汽车以千米/小时的速度匀速行驶时耗油量最少，，耗油量为S升.
则， ，
令，解得，.
列表：
单调减
极小值11.25
单调增
所以，当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，耗油量最少，为11.25升.
18.解：（Ⅰ）设
对称轴方程，由题意或或
∴或或∴
（Ⅱ）由已知与（Ⅰ）得：，， ，，．
椭圆的标准方程为．
设，，联立
得，
又，
因为椭圆的右顶点为，，即，
，
解得：，，且均满足，
当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点．
所以，直线过定点，定点坐标为．
19. 解: (1) 由题知: , 解得 , 故.
(2) ,
,
又满足上式. 所以.
(3) 若是与的等差中项, 则,
从而, 得.
因为是的减函数, 所以
当, 即时, 随的增大而减小, 此时最小值为;
当, 即时, 随的增大而增大, 此时最小值为.
又, 所以,
即数列中最小, 且.
20. 解：（1）由题意得
而，所以、的关系为
（2）由（1）知，
令，要使在其定义域内是单调函数，只需在内满足：恒成立.
①当时，，因为＞，所以＜0，＜0，
∴在内是单调递减函数，即适合题意；
②当＞0时，，其图像为开口向上的抛物线，对称轴为，∴，
只需，即，
∴在内为单调递增函数，故适合题意.
③当＜0时，，其图像为开口向下的抛物线，对称轴为，只要，即时，在恒成立，故＜0适合题意.
综上所述，的取值范围为.
（3）∵在上是减函数，
∴时，；时，，即，
①当时，由（2）知在上递减＜2，不合题意；
②当0＜＜1时，由，
又由（2）知当时，在上是增函数，
∴＜，不合题意；
③当时，由（2）知在上是增函数，＜2，又在上是减函数，
故只需＞， ，而，
，集合
，则
= 
，则
＝ 
，过点
的直线
，若可行域
=
，
=
，且
的夹角为钝角，则
的取值范围是____________
是偶函数，当
时
,且当
时
恒成立．则
的值是 
中．
＜ 0 ，
0 ．且
，
为数列
项和，则使
的图象按向量
平移后得到函数
的图象，则函数
中，已知角
所对的边分别是
，且
，又
，则
，区域
，点
在区域
，则
的概率是
与双曲线
有相同的焦点 
（c，0）若c是
的等比中项，
是
与 
的等差中项，则椭圆的离心率
13.对于在区间[a，b]上有意义的两个函数
，如果对于区间[a，b]中的任意x均有
，则称
与
在区间[a，b]上是“密切函数”，则密切区间为
按右图方式构成倒立三角形数表，第一行依次写上数l，2，3，…，
15. （本小题共14分）
中，平面
平面
，
，
是等边三角形，已知
，
，
．
是
上的一点，证明：平面
平面
；
平面
？
对任意
，都有
成立，设向量
（sinx，2），
（2sinx，
） ，
（cos2x，1） ，
（1，2）， 当
[0，
]时，
）＞f（
）的解集．
已知甲、乙两地相距
：
、
、
、
为椭圆
，若当且仅当椭圆
取得最大值与最小值，求
的取值范围；
，最小值为
，且与直线
相交于
，
两点（
不是椭圆的左右顶点），并满足
．试研究：直线
是否过定点？若过定点，请求出定点坐标，若不过定点，请说明理由．
满足条件:①
; ② 
.
, 且
, 求数列
是
与
的等差中项, 试问数列
中第几项的值最小? 求出这个最小值.
，且
，其中
是自然对数的底数.
与
的关系；
，若在
上至少存在一点
，使得
＞
成立，求实数
3. 
4. 
6. 1 7.20 
9. 
10.2 
12. 
13. [2，3] 14. 
中，
，
，
，∴
．
．????????????????? 2分
平面
，
平面
，
平面
平面
．
，
平面
点位于线段PC靠近C点的三等分点处时，
平面
．………5分
于点N，连接MN．
，所以四边形
，∴
．
，
，∴
平面
作
交
于
，
平面
为四棱锥
的高．……………………………………………………11分
是边长为4的等边三角形，∴
．……………12分
在
中，斜边
边上的高为
，此即为梯形
．
．……………………………………………14分
的二次项系数为
，其图象上两点为（
，
）、B（
，
）因为
，
，所以
，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称， ………………………………………………………………(2分)
，
，
，
，
，
，………………………………(4分)
时，∵f（x）在x≥1内是增函数，
，
．
， ∴ 
．………………………………………………(8分)
时，∵f（x）在x≥1内是减函数．
或
，
的解集是当
，或
．
千米/小时，每小时耗油量为
升/小时. 共耗油
升.
千米/小时的速度匀速行驶时耗油量最少，
，耗油量为S升. 
，
， 
，解得，
. 
，由题意
或
或
或
或
∴
，
，
，
，
．
椭圆的标准方程为
． 
，
，联立
， 
，
，
，即
， 
，
，
． 
，
，且均满足
，
的方程为
，直线过定点
，与已知矛盾； 
，直线过定点
． 
, 解得
, 故
.
,
,
, 
满足上式. 所以
. 
是
与
的等差中项, 则
, 
, 得
. 
的减函数, 所以
, 即
时, 
;
, 即
时, 
. 
, 所以
, 
中
.
，所以
、
的关系为
，
，要使
内是单调函数，只需
在
恒成立.
时，
，因为
＜0，
，∴
，
，即
，
适合题意. 
，只要
，即
时，
在
.
在
上是减函数，
时，
；
时，
，即
，
＜2，不合题意；
，
时，
＜
，不合题意；
＜2，又
在
＞
，
，而
，