2009高考数学经典试题汇编1. 下表给出一个“等差数阵 :47----712------------------------------------------------其中每行.每列都是——青夏教育精英家教网—

2009高考数学经典试题汇编

1. 下表给出一个“等差数阵”：

（）

……

（）

……

（）

……

（）

……

其中每行、每列都是等差数列，表示位于第i行第j列的数．（1）写出的值；（2）写出的计算公式；（３）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．

讲解　　学会按步思维，从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值．

（1）按第一行依次可读出：，；按第一行依次可读出：，；最后，按第５列就可读出：．

（２）因为该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，所以它的通项公式是：

　而第二行是首项为7，公差为5的等差数列，于是它的通项公式为：

　 …… 通过递推易知，第i行是首项为，公差为的等差数列，故有

（３）先证必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得．从而　　　　，这说明正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．再证充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得，从而　　　　　　，由此可见N在该等差数阵中．

综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.

2. 求。

3. “渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数（如2578），在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是。

4. 函数及其反函数的图象与函数的图象交于A、B两点，若，则实数的值等于_________。

5. 从装有个球（其中个白球，个黑球）的口袋中取出个球，共有种取法。在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，共有种取法；另一类是取出的个球有个白球和个黑球，共有种取法。显然，即有等式：成立。试根据上述思想化简下列式子：。

6. 某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润（单位：万元）与年数满足如图的二次函数关系。要使生产的年平均利润最大，则每台设备应使用（ C ）

（A）3年（B）4年（C）5年（D）6年

7. （14分）已知函数，且（1）求的值；（2）试判断是否存在正数，使函数在区间上的值域为。若存在，求出这个的值；若不存在，说明理由。

解：（1）∵，∴，即，∵，∴（2），；当，即时，；当时，∵，∴这样的不存在。当，即时，，这样的不存在。综上得，。

8. （14分）如图，设圆的圆心为C，此圆和

抛物线有四个交点，若在轴上方的两个交

点为A、B，坐标原点为O，的面积为S。

（1）求P的取值范围；

（2）求S关于P的函数的表达式及S的取值范围；

（3）求当S取最大值时，向量的夹角。

解：（1）把代入得

由，得，即

（2）设，的方程：

，即

即，即

点O到AB的距离，又

∴，即

（3）取最大值时，，解方程，得

，

∴向量的夹角的大小为。

9. （16分）前段时期美国为了推翻萨达姆政权，进行了第二次海湾战争。据美军估计，这场以推翻萨达姆政权为目的的战争的花费约为亿美元。同时美国战后每月还要投入约亿美元进行战后重建。但是由于伊拉克拥有丰富的石油资源，这使得美国战后可以在伊获利。战后第一个月美国大概便可赚取约亿美元，只是为此美国每月还需另向伊交纳约亿美元的工厂设备维护费。此后随着生产的恢复及高速建设，美国每月的石油总收入以的速度递增，直至第四个月方才稳定下来，但维护费还在缴纳。问多少个月后，美国才能收回在伊的“投资”？

解：设个月后，美国才能收回在伊的“投资”，则

即，，即个月后，美国才能收回在伊的“投资”。

10. 数列的第2004项是____________。63

11. 在等比数列中，，公比，若，则达到最大时，的值为____________。8

12. 设函数，且①；②有两个单调递增区间，则同时满足上述条件的一个有序数对为______________。满足的任一组解均可

13. 已知两条曲线（不同时为0）.则“”是“与有且仅有两个不同交点”的 A

(A)充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件

14. 已知二次函数有最大值且最大值为正实数，集合

，集合。

（1）求和；

（2）定义与的差集：且。

设，，均为整数，且。为取自的概率，为取自的概

率，写出与的三组值，使，，并分别写出所有满足上述条件的（从

大到小）、（从小到大）依次构成的数列{}、{}的通项公式（不必证明）；

（3）若函数中，，

（理）设、是方程的两个根，判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由。

（文）写出的最大值，并判断是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应

的值；若不存在，请说明理由。

（1）∵有最大值，∴。配方得，由。

∴，。

（2）要使，。可以使①中有3个元素，中有2个元素，中有1个元素。

则。②中有6个元素，中有4个元素，中有2个元素。则。

③中有9个元素,中有6个元素,中有3个元素。则。。

（3）（理），得。，

∵，当且仅当时等号成立。∴在上单调递增。。

又，故没有最小值。

（文）∵单调递增，∴，又，∴没有最大值。

15. 把数列的所有数按照从大到小，左大右小的原则写成如下数表：

第行有个数，第行的第个数（从左数起）记为，

则。

16. 我边防局接到情报，在海礁AB所在直线的一侧点M处有走私团伙在进行交易活动，边防局迅速派出快艇前去搜捕。如图，已知快艇出发位置在的另一侧码头处，公里，公里，。

（1）（10分）是否存在点M，使快艇沿航线或的路程相等。如存在，则建立适当的直角坐标系，求出点M的轨迹方程，且画出轨迹的大致图形；如不存在，请说明理由。

（2）（4分）问走私船在怎样的区域上时，路线比路线的路程短，请说明理由。

解：（1）建立直角坐标系（如图），，

点M的轨迹为双曲线的一部分，

，

即

点M的轨迹方程为

（2）走私船如在直线的上侧且在（1）中曲线的左侧的区域时，

路线的路程较短。

理由：设的延长线与（1）中曲线交于点，

则

17. 已知函数对任意的整数均有，且。

（1）（3分）当，用的代数式表示；

（2）（理）（10分）当，求的解析式；

（文）（ 6分）当，求的解析式；

（3）如果，且恒成立，

求的取值范围。（理5分；文9分）

解：（1）令

（2）（理）当时，，

上述各式相加，得

当时，

上述各式相加，得，即

综上，得。

（文），

（3）恒成立

令，是减函数

∴

18. 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是两个互异的点，点P的坐标由公式确定，当R时，则（ C ）

A．P是直线AB上的所有的点 B．P是直线AB上除去A的所有的点

C．P是直线AB上除去B的所有点 D．P是直线AB上除去A、B的所有点

19. 设（n∈N）的整数部分和小数部分分别为I_n和F_n，则F_n (F_n+I_n)的值为（A ）

A．1 B．2 C．4 D．与n有关的数

20. 将参加数学竞赛的1000名学生编号如下0001，0002，0003，…1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为．0795

21. 设x、y、z中有两条直线和一个平面，已知命题为真命题，则x、y、z中一定为直线的是　　．z

22. 秋收要到了，粮食丰收了。某农户准备用一块相邻两边长分别为a、b的矩形木板，在屋内的一个墙角搭一个急需用的粮仓，这个农户在犹豫，是将长为a的边放在地上，还是将边长为b的边放在地上，木板又该放在什么位置的时候，才能使此粮仓所能储放的粮食最多。请帮该农户设计一个方案，使粮仓所能储放的粮食最多（即粮仓的容积最大）

设墙角的两个半平面形成的二面角为定值α 。将b边放在地上，如图所示，则粮仓的容积等于以△ABC为底面，高为a的直三棱柱的体积。

由于该三棱柱的高为定值a，于是体积取最大值时必须△ABC的面积S取最大值。

设AB= x，AC = y ，则由余弦定理有

≥，