2009潞河中学高三解析几何三轮训练题
1已知抛物线拱桥的顶点距水面
2．（本小题满分14分）2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。
据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，
身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是
一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），
且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空
中的最高点距水面
米，入水处距池边4米，同时
运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的
翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
(Ⅰ)求这个抛物线的解析式；
(Ⅱ)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹
为(Ⅰ)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时
距池边的水平距离为
米，问此次跳水会不会失误？
请通过计算说明理由；
(Ⅲ)某运动员按(Ⅰ)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？
3已知定圆
圆心为A，动圆M过点
，且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C．
(Ⅰ)求曲线C的方程；
(Ⅱ)若点
为曲线C上一点，探究直线
与曲线C是否存在交点? 若存在则求出交点坐标, 若不存在请说明理由．
4. 已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线
于A、B两点，且
（1）求直线AB的方程；
（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且
，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
5. 已知点C（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足
（1）当点P在y轴上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）是否存在一个点H，使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。
6. 如图，已知定点
，动点P在y轴上运动，过点P作
交x轴于点M，延长MP到N，使
⑴求动点N的轨迹C的方程；
⑵设直线
与动点N的轨迹C交于A，B两点，
若
若线段AB的长度满足：
，求直线的斜率的取值范围。
7. 在
中,
点
分线段
所成的比为
,以
、
所在的直线为渐近线且离心率为
的双曲线
恰好经过点.
⑴求双曲线的标准方程;
⑵若直线
与双曲线交于不同的两点
、
,且、两点都在以点
为圆心的同一圆上,求实数
的取值范围.
8. 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e
= ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且
．
（1）求椭圆方程；
（2）点P
是椭圆上一点，求
的最值；
（3）若
，求m的取值范围．
9. 已知正方形的外接圆方程为
，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD所在直线的方向向量为(3，1)．
（1）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；
（2）若顶点在原点，焦点在
轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程．
解析几何训练题答案
1已知抛物线拱桥的顶点距水面
解:以拱桥的顶点为原点，建立坐标系如图，
设抛物线方程为
，
取点A(4,-2)代入方程得p=4,
所以抛物方程为
故当水面上升1米时，即y=-1
此时
,则水宽度为
2．（本小题满分14分）2008年北京奥运会中国跳水梦之队取得了辉煌的成绩。
据科学测算，跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，
身体（看成一点）在空中的运动轨迹（如图所示）是
一经过坐标原点的抛物线（图中标出数字为已知条件），
且在跳某个规定的翻腾动作时，正常情况下运动员在空
中的最高点距水面米，入水处距池边4米，同时
运动员在距水面5米或5米以上时，必须完成规定的
翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。
(Ⅰ)求这个抛物线的解析式；
(Ⅱ)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动轨迹
为(Ⅰ)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时
距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？
请通过计算说明理由；
(Ⅲ)某运动员按(Ⅰ)中抛物线运行，要使得此次跳水成功，他在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离至多应为多大？
.解：(Ⅰ) 由题设可设抛物线方程为
,且
∴
;
即
∴
且
,得
且
∴
,所以解析式为：
(Ⅱ) 当运动员在空中距池边的水平距离为米时，即
时，
所以此时运动员距水面距离为
，故此次跳水会出现失误
(Ⅲ) 设要使跳水成功,调整好入水姿势时,距池边的水平距离为
,
则
.
∴
,即
∴
所以运动员此时距池边的水平距离最大为
米。
3已知定圆圆心为A，动圆M过点，且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C．
(Ⅰ)求曲线C的方程；
(Ⅱ)若点为曲线C上一点，探究直线与曲线C是否存在交点? 若存在则求出交点坐标, 若不存在请说明理由．
解：(Ⅰ) 圆A的圆心为
，
设动圆M的圆心为
由|AB|=
，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|=r1-r2，
即|MA|+|MB|=4，
所以，点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设椭圆方程为
，
由
故曲线C的方程为
(Ⅱ)当
，
…
消去
①
由点
为曲线C上一点，
于是方程①可以化简为
解得
，
综上，直线l与曲线C存在唯一的一个交点，交点为. …………… 14分
4. 已知点N（1，2），过点N的直线交双曲线于A、B两点，且
（1）求直线AB的方程；
（2）若过N的直线l交双曲线于C、D两点，且，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
4. （1）设直线AB：
代入得
（＊）
令A（x1，y1），B（x2，y2），则x1、x2是方程的两根
∴ 
且 
∵ ∴ N是AB的中点 ∴
∴ 
k = 1 ∴AB方程为：y = x + 1
（2）将k = 1代入方程（＊）得
或
由
得
，
∴ 
，
∵ 
∴ CD垂直平分AB ∴ CD所在直线方程为
即
代入双曲线方程整理得
令
，
及CD中点
则
，
， ∴
， 
|CD| =
，
，即A、B、C、D到M距离相等
∴ A、B、C、D四点共圆.
5. 已知点C（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足
（1）当点P在y轴上运动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）是否存在一个点H，使得以过H点的动直线L被轨迹C截得的线段AB为直径的圆始终过原点O。若存在，求出这个点的坐标，若不存在说明理由。
解（1）设M(x,y), P(0, t), Q(s, 0)
则
由
得3s―t2=0………………①
又由
得
， 
……………………②
把②代入①得
=0，即y2=4x，又x≠0
∴点M的轨迹方程为：y2=4x（x≠0）
（2）如图示，假设存在点H，满足题意，则
设
，则由
可得
解得
又
则直线AB的方程为：
即
把代入，化简得
令y=0代入得x=4，∴动直线AB过定点（4，0）
答，存在点H（4，0），满足题意。
6. 如图，已知定点，动点P在y轴上运动，过点P作交x轴于点M，延长MP到N，使
⑴求动点N的轨迹C的方程；
⑵设直线与动点N的轨迹C交于A，B两点，
若若线段AB的长度满足：
，求直线的斜率的取值范围。
解(1) 设动点
则
直线
的方程为
，令
。
是MN的中点，
，故
，消去
得N的轨迹C的方程为
.
(2) 直线的方程为
，直线与抛物线的交点坐标分别为
,由
得
，
又由
得
由
可得
，解得
的取值范围是
7. 在中,点分线段所成的比为,以、所在的直线为渐近线且离心率为的双曲线恰好经过点.
⑴求双曲线的标准方程;
⑵若直线与双曲线交于不同的两点、,且、两点都在以点为圆心的同一圆上,求实数的取值范围.
解:(1)因为双曲线离心率为,所以可设双曲线的标准方程
由此可得渐近线的斜率
从而
,又因为点分线段所成的比为,所以
,将点的坐标代入双曲线方程的
,
所以双曲线的方程为
.
(2)设
线段
的中点为
.
由
则
且
①
由韦达定理的
由题意知
,
所以
②
由①、②得 
或
8. 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e
= ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-e, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．
（1）求椭圆方程；
（2）点P是椭圆上一点，求的最值；
（3）若，求m的取值范围．
解：（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c2＝a2－b2，由条件知a-c＝1- ，＝，
∴a＝1，b＝c＝，
故C的方程为：y2＋＝1
（2）设2x2=sin2θ,y2=cos2θ, =…
（3）由＝λ得－＝λ（－），（1＋λ）＝＋λ，
∴λ＋1＝4，λ＝3
设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）
得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0
Δ＝（
x1＋x2＝， x1x2＝ …
∵＝3 ∴－x1＝3x2 ∴
消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（）2＋4＝0
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0
m2＝时，上式不成立；m2≠时，k2＝， 因λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝>0，
∴－1<m<－ 或 <m<1 容易验证k2>2m2－2成立，所以（*）成立
即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）
9. 已知正方形的外接圆方程为，A、B、C、D按逆时针方向排列，正方形一边CD所在直线的方向向量为(3，1)．
（1）求正方形对角线AC与BD所在直线的方程；
（2）若顶点在原点，焦点在轴上的抛物线E经过正方形在x轴上方的两个顶点A、B，求抛物线E的方程．
解: (1) 由（x－12）2+y2=144－a(a<144),可知圆心M的坐标为(12，0)，
依题意，∠ABM=∠BAM=，kAB= , 设MA、MB的斜率k.
则
且
,
解得
=2，
=－ ．
∴所求BD方程为x+2y－12=0，AC方程为2x－y－24=0．
(2) 设MB、MA的倾斜角分别为θ1，θ2，则tanθ1＝2，tanθ2＝－，
设圆半径为r，则A（12＋
），B（12－
，
），
再设抛物线方程为y2＝2px (p＞0)，由于A，B两点在抛物线上，
∴ ∴ r=4，p=2．
得抛物线方程为y2＝4x.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m