湖南省长沙市一中2009年高三第二次模拟试卷

理科数学

命题:长沙市一中高三理科备课组

时量:120分钟 满分:150分

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.设a + bi=(a,b∈R),则P(a,b)在(    )

A.第一象限               B.第二象限                C.第三象限               D.第四象限

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2.在某项测量中,测量结果~N(2,)(>0),若在(0,2)内取值的概率为0.4,则 在(0,4)内的概率为(   )

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A.0.8                        B.0.4                         C.0.3                        D.0.2

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3.已知函数在R上可导,且=           (    )

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    A.                       B.                          C.-3                       D.3

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4.等差数列{an}中,Sn是其前n项和,,则的值为(    )

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A.2                           B.1                            C.                          D.3

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5.能够使圆恰有两个点到直线距离等于1的c的

一个值为                                                        (    )

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A.                            B.                 C.2                       D.3

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6.函数y = f (x)是圆心在原点的单位圆的两段圆弧(如图),则不等式f(x)>f (?x) + x的解集为(    )

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A.{x|}                

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B.{x|}

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C.{x|}                    

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D.{x|且x≠0}

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7.在直角坐标平面上,=(1,4),=(?3,1)且在直线l上的射影长度相等,直线l的倾斜角为锐角,则l的斜率为(    )

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A.                          B.                          C.                          D.

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8.f(x)是偶函数,且f(x)在[0,+∞)上是增函数;不等式f (ax + 1)≤f (x ?2)对x∈[,1]恒成立,则实数a的取值范围是(    )

A.[?2,0]                 B.[?5,0]                  C.[?5,1]               D.[?2,1]

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二、填空题(本大题共7小题,每小题5分,共35分.把答案填写在答题卷中对应题号的横线上)

9.展开式中x3的系数为           

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10.为配制某种染色剂,需要加入三种有机染料,两种无机染料和两种添加剂,其中有机染料的添加顺序不能相邻,现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响,总共要进行的试验次数为           (用数字作答)

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11.当x、y满足约束条件(k为常数)时,能使z = x + 3y的最大值为12的k值为        

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12.已知抛物线y2 = 16x,椭圆,则两曲线有公共点时a的最小值为        

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13.如图,正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G,已知△A′ED是△AED绕边DE旋转过程中的一个图形,现给出下列四个命题:

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上;

②恒有平面A′GF⊥平面BCED;

③三棱锥A′―FED的体积有最大值;

④异面直线A′E与BD不可能垂直.

其中正确命题的序号是              

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14.对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[]= 3,[?1.08] = ?2,定义函数f(x) = x ?[x].

(i)f(x) 的值域是     

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(ii)的最小正周期为      

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15.如图所示,一个粒子在第一象限及坐标轴上运动,在第一秒内它从原点运动到点(0,1),然后它接着按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动(即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→(2,0)→…)且每秒移动一个单位长度.(i)粒子运动到(4,4)点时经过了      秒;(ii)第2009秒时,粒子所处的位置为            

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三、解答题(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

16.某人随机地将编号为1,2,3,4的四个大小相同的小球放入编号为1,2,3,4的四个型号相同的盒子中,每个盒子放一个球,当球的编号与盒子的编号相同时叫做“放法恰当”,否则叫做“放法不恰当”.设放法恰当的情况数为随即变量

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(Ⅰ)求的分布列;

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(Ⅱ)求的期望与方差.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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17.已知向量,向量

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(Ⅰ)若,且,求实数的最小值及相应的值;

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(Ⅱ)若,且, 求  的值.

 

 

 

 

 

 

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18.如图,在边长为12的正方形A1 AA′A1′中,点B、C在线段AA′上,且AB = 3,BC = 4,作BB1∥AA1,分别交A1A1′、AA1′于点B1、P;作CC1∥AA1,分别交A1A1′、AA1′于点C1、Q;将该正方形沿BB1、CC1折叠,使得A′A1′ 与AA1重合,构成如图所示的三棱柱ABC―A1B1C1,在三棱柱ABC―A1B1C1中,

(Ⅰ)求证:AB⊥平面BCC1B1

(Ⅱ)求面PQA与面ABC所成的锐二面角的大小.

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(Ⅲ)求面APQ将三棱柱ABC―A1B1C1分成上、下两部分几何体的体积之比.

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19.据中新网2009年4月9日电,日本鹿儿岛县樱岛昭和火山口当地时间9日下午3点31分发生中等规模爆发性喷火,鹿儿岛市及周边飞扬了大量火山灰.火山喷发停止后,为测量的需要距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、100米至150米的圆环面为第3区、……、第50(n-1)米至50n米的圆环面为第n区,……,现测得第1区火山灰平均每平方米为1吨、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%,……,以此类推.

(Ⅰ)若第n区每平方米的重量为an千克,请写出an的表达式;

(Ⅱ)第几区内的火山灰总重量最大?

(Ⅲ)该火山这次喷发出的火山灰的总重量为多少万吨(p 取3,结果精确到万吨)?

 

 

 

 

 

 

 

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20.如图所示,F1、F2是双曲线x2 ? y2 = 1的两个焦点,O为坐标原点,圆O是以F­1F2为直径的圆,直线l:y = kx + b与圆O相切,并与双曲线交于A、B两点.

(Ⅰ)根据条件求出b和k的关系式;

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(Ⅱ)当,且满足2≤m≤4时,求△AOB面积的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

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21.设函数f (x) =(b,c∈N*),若方程f(x) = x的解为0,2,且f (?2)<?

(Ⅰ)试求函数f(x)的单调区间;

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(Ⅱ)已知各项不为零的数列{an}满足4Sn?f () = 1,其中Sn为{an}的前n项和.

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求证:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

D

A

C

B

D

C

C

A

4.【解析】{an}为等差数列,则{}也为等差数列且其公差d = 1,

,∴=

5.【解析】圆方程可化为,则圆心到直线的距离,当1<d<3时,则圆上恰有两个点到直线的距离等于1,<|c|<,故选D.

6.【解析】y = f(x)是奇函数,由f(x)>f (?x) + x得f(x)>,数形结合.

7.【解析】设l过原点,取线段AB的中点M(?1,),则OM⊥l,∴kl =

8.【解析】∵f(x)是偶函数且f(x)在[0,+∞)是增函数

∴|ax + 1|≤|x ?2|恒成立,x∈[,1].

∴x ? 2≤ax + 1≤2 ? x

 

二、填空题

9.【解析】,令有r = 2,∴

10.【解析】= 1440.

11.       【解析】求出交点代入求出k并验证得k = ?9.

12.【解析】易求:抛物线焦点F(4,0),准线L:x = ? 4.椭圆焦点F(4,0)、 F′(4,4),如图所示.

所以F为两曲线之公共焦点.

设两曲线交于点A,则

所以当H、A、F′共线时,2a有最小值,从而a也达到最小,此时,yA = yF = 4,代入y2 = 16x 得xA = 1,再以A(1,4)代入椭圆得:a2 = 16,从而a = 4.

13.【解析】①在平面A′FA内过点A′作A′H⊥AF,垂足为H,由DE⊥AF,DE⊥A′G知DE⊥平面A′GA.故DE⊥A′H,∴A′H⊥平面ABC,即A′在平面ABC上的射影在线段AF上.

②由①得;

③由①知:当A′H与A′G重合时,三棱锥A′―FED的体积有最大值;

④用反证法:假设A′E与BD垂直,由①知A′H⊥BD,∴BD⊥面A′HE,EH⊥BD.

∴当EH⊥BD时,可证A′E⊥BD.

故①②③正确.

14.【解析】当n≤x<n + 1(n∈Z)时,y = f(x) = x ? n,

显然有0≤x ? n<1,即0≤y<1,

也有f(x+ 1) }= x + 1 ? [x + 1] = x + 1? ([x] + 1) = x ? [x] = f(x).如图.

    答案为:[0,1);1

15.【解析】(i)20;

(ii)将粒子的运动轨迹定义为数对(i,j)

则它的运动整点可排成数表

(0,0)

(0,1) (1,1) (1,0)

(0,0) (2,1) (2,2) (1,2) (0,2)

(0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (3,2) (3,1) (3,0)

(4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (3,4) (2,4) (1,4)(0,4)

通过推并可知:经过2 = 1×2s,运动到(1,1)

经过6 =2×3s,运动到(2,2)

经过12 =3×4s,运动到(3,3)

∴经过44×45 = 1980s,运动到(44,44)

       再继续运动29s,到达点(15,44).

三、解答题

16.【解析】(1)= 0,1,2,4.                                            (1分)

P(= 4) =

P(= 2) =

P(= 1) =

P(= 0) = 1?P(= 1) ?P(= 2) ?P(= 4) =                              (7分)

的分布列为

0

1

2

4

P

                                                                    (9分)

∴E=

D= (0 ? 1)2×+ (1 ? 1)2×+(2 ? 1)2×+(4 ? 1)2×= 1               (12分)

17.【解析】(Ⅰ)∵,∴= 0,               (2分)

,                                    (4分)

又∵∈R,∴时,mmin = ?2.

,所以                                             (6分)

(Ⅱ)∵,且,∴                           (8分)

                          (10分)

                                              (12分)

18.【解析】(Ⅰ)∵AB = 3,BC = 4,∴AC = 5

∵AC2 = AB2 + BC2

∴AB⊥BC

又AB⊥BB1

且BC∩BB1 = B

∴AB⊥面BCC1B1                                                     (4分)

(Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系

则A(3,0,0),P(0,0,3),Q(0,4,4)

设面APQ的法向量为= (x,y,z)

= (1,?1,1)

而面ABC的法向量可以取= (0,0,1)

∴面PQA与面ABC所成的锐二面角为arccos.                        (8分)

(Ⅲ)∵BP = AB = 3,CQ = AC = 7.

∴S四边形BCQP =

∴VA―BCQP =×20×3 = 20

又∵V=

.                                             (12分)

19.【解析】(Ⅰ)).    (2分)

(Ⅱ)设第n区内的面积为bn平方米,

.              (4分)

则第n区内火山灰的总重量为

(吨)(万吨)   (6分)

设第n区火山灰总重量最大,则

解得   ∴n =50.

即得第50区火山灰的总重量最大.                                           (9分)

(Ⅲ)设火山喷发的火山区灰总重量为S万吨,

   ①

①-②得

                               (12分)

∵0<q<1,∴(万吨)

因此该火山这次喷发出的火山灰的总重量约为3712万吨.                     (13分)

20.【解析】(Ⅰ)因为圆O的方程为x2 + y2 = 2,所以d =

可得b2 = 2(k2 + 1)(k≠±1).                                           (4分)

(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),

所以,                                                 (7分)

所以=

=

因为|AB| =×=

O到AB的距离,                                         (11分)

  所以

=.                                    (13分)

21.(Ⅰ)【解析】

.                    (2分)

由f (?2) =

又∵b,c∈N*    ∴c = 2,b = 2

∴f (x) =.                                                (4分)

令f′(x)>0得:x<0或x>2

令f′(x)<0得:0<x<2

∴f(x)的单调递增区间为(?∞,0),(2,+∞)

f(x)的单调递减区间为(0,1),(1,2).                                 (6分)

(Ⅱ)证明:由已知可得:2Sn = an ?

两式相减得:(an + an ? 1) (an ? an ? 1+1) = 0 (n≥2)

∴an = ?an ?1或an ?an?1 = ?1                                             (7分)

当n =1 时,2a1 = a1 ?

若an = ?an?1,则a2 = ?a1 = 1与an≠1矛盾.

(定义域要求an≠1)

∴an ? an?1 = 1,∴an = ?n.                                             (8分)

要证的不等式转化为

先证不等式

令g (x) = x ?ln(1 + x),h(x) = ln(x +1) ?                                (10分)

则g′(x) =,h′(x) =

∵x>0   ∴g′(x)>0,h′(x)>0

∴g (x), h(x)在(0,+∞)上

∴g (x)>g (0) = 0,h(x)>h(0) = 0                                        (12分)

,即.                         (13分)