怀化市2008年高三第一次模拟考试统一检测试卷数学命题人:怀铁一中向重新审题人:市教科院唐振球怀化三中周睿怀化一中 ——青夏教育精英家教网——

怀化市2008年高三第一次模拟考试统一检测试卷

数学（理科）

　　命题人：怀铁一中　向重新　　　　　　　　　　　　审题人：市教科院　唐振球

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　怀化三中　周　睿

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　怀化一中　禹平宇

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　沅陵一中　沈清臣

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．若其中都是实数，i是虚数单位，则=

A．1+2i B．1－2 i C．2+ i D．2－i

2. 设p：log₂ x<0，q：，则p是┲q的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．若, 则直线=1必不经过

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

4．设函数是连续函数，则不等式的解集为

A． B． C． D．

5．边长为1的正方形ABCD上有一动点P，则向量?的范围是

A．[0，1] B．[0，] C．[1，] D．{1}

6．已知等差数列的前n项和为S_n，且S₂=10，S₅= 55，则过点P(n，)和

Q(n+2，) (n∈N *)的直线的一个方向向量的坐标可以是

A．（2，） B． C. D.

7．设是展开式中x的系数，则的值为

A．16 B．17 C．18 D．19

8．已知方程的两个根都大于2，则实数m取值范围是

A． B． C． D．

9. 如图1，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AB、D₁C₁的中点，直线A₁B₁与平面 A₁ECF所成的角的正弦值是

A． B．

C． D．

10．已知函数，则函数（其中0<a<1）的单调递减区间是

A、 B、 C、 D、

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷中对应题号后的横线上.）

11．某工厂甲、乙、丙三条生产线共生产了某种产品180件，已知甲、乙、丙三条生产线各自生产的产品数依次组成一个等差数列. 为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，共抽取样品36件，则从乙生产线生产的产品中抽取了件样品．

12. 正三棱锥的底面边长为3，外接球的球心为，且．则三棱锥外接球的体积V= .

13. 已知椭圆(m＞0)，若直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m＝___________.

14. 平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，空间中与平面垂直的非零向量称为平面的法向量. 在平面直角坐标系中，直线的方程是(A、B不同时为0)，在空间直角坐标系中，平面的方程是(A、B、C不同时为0). 利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（3，1）且法向量为的直线（点法式）方程为, 化简后得；类比上述方法，在空间直角坐标系中，经过点A (2, 1, 3) 且法向量为的平面（点法式）方程为　　　　　　　　　　　　 .（请写出化简后的结果）

15. 给出下列命题：

① 已知，则p>q；

② 函数的图象关于直线对称，在区间内是增函数；

③ 函数（a是常数且a＞0）的最小值是－1, 且存在反函数；

④ 在中，若AB=1，BC=2，则角C的取值范围是.

其中真命题的编号是 .（把你认为正确命题的序号都填上）.

怀化市2008年高三第一次模拟考试统一检测试卷

数学（理科）答题卷

登分栏

题号

一

二

三

总分

16

17

18

19

20

21

得分

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

二、填空题（每小题5分，共25分）

11、　； 12、； 13、；

14、　　　　　　　　　　　；　15、　 .

评卷人

得分

三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）.

16、（本题满分12分）

　已知锐角ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．

(I) 求角B的大小；

(II) 求的值．

评卷人

得分

17.（本小题满分12分）

　　　如图2，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB＝90°，PM∥BC，PM＝1，BC＝2，又AC＝1，∠ACB＝120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC 所成的角为60°.

　　（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面ABC；

　　（Ⅱ）求二面角的大小.

评卷人

得分

评卷人

得分

18. （本题满分12分）

某电视台《快乐五溪》节目有一个有奖竞猜的环节．主持人为幸运观众准备了A、B、C三个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A可获奖金1000元，答对问题B可获奖金2000元，答对问题C可获奖金4000元，回答问题的先后顺序由观众自由选择，且每种答题顺序的选择都是等可能的. 但只有第一个问题答对，才能再回答第二题，只有答对第二个问题，才能再回答第三题，否则终止答题．假设幸运观众能答对问题A、B、C的概率分别为、、．

(I) 求幸运观众获得奖金5000元的概率；

(II)甲观众认为应选择先易后难的顺序（即A→B→C）回答问题，乙观众认为应选择先难后易的顺序（即C→B→A）回答问题. 请你分析他俩的说法，相比较而言，谁可能获得更多的奖金？

19.（本小题满分13分）

设函数在上是增函数.

（Ⅰ）求正实数的取值范围；

（Ⅱ）设，求证：

评卷人

得分

20.（本小题满分13分）'

设不等式组表示的平面区域为D,区域D内的动点P到直线和直线的距离之积为2, 记点P的轨迹为曲线C.

(Ⅰ)画图表示平面区域D，并求曲线C的方程；

(Ⅱ)是否存在过点的直线l, 使之与曲线C交于相异两点、,且以线段AB为直径的圆与y轴相切？若存在, 求出直线l的斜率；若不存在, 说明理由．

评卷人

得分

21.（本小题满分13分）

已知函数及正整数数列. 若,且当时,有；又,, 且对任意恒有成立. 数列满足:.

　(Ⅰ) 求数列及的通项公式；

　(Ⅱ) 求数列的前项和；

　(Ⅲ) 证明存在，使得对任意均成立．

怀化市2008年高三第一次模拟考试统一检测试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

CABCA，BCDDC

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，

11. 12； 12. ； 13. 8； 14. x－2y－z+3=0； 15. ②④.

三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.解：(Ⅰ) 由已知， ∴ ，

又 ΔABC是锐角三角形， ∴ ………………………………6分

(Ⅱ)

　　　　　　　　　 ………………………………12分

17.解法一：（Ⅰ）∵，

且 ∴ ， ……………………3分

∵

∴ ……………………6分

（Ⅱ）取的中点，则，连结，

∵，∴，从而

作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知， AC⊥MH，

从而为二面角的平面角 …………………8分

直线与直线所成的角为，∴ …………………9分

在中，由余弦定理得

在中，

在中，

在中，

故二面角的平面角大小为 …………………12分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）

由题意有，设，

则 ………5分

由直线与直线所成的角为，得

，即，解得………7分

∴，设平面的一个法向量为，

则，取，得 ……………9分

又平面的法向量取为 ……………10分

设与所成的角为，则，

故二面角的平面角大小为 ……………12分

18.　解：(I)记“幸运观众获得奖金5000元”为事件M，即前两个问题选择回答A、C且答对，最后在回答问题B时答错了.

故幸运观众获得奖金5000元的概率为 ………………6分

(II) 设幸运观众按A→B→C顺序回答问题所得奖金数为随机变量ξ，则ξ的取值可以为0元、1000元、3000元和7000元，其分布列为

0

1000

3000

7000

P

∴ 元. ………………9分

设幸运观众按C→B→A顺序回答问题所得奖金数为随机变量η，则η的取值可以为0元、4000元、6000元和7000元，其分布列为

_η

0

4000

6000

7000

P

∴ 元. ……11分

故乙观众的选择所获奖金期望较大. ………………12分

19.解：（1）∵ ……………………2分

由已知对恒成立，即对恒成立

又 ∴ 为所求 …………………………5分

（2）取， ∵ ， ∴

由已知在上是增函数，即，

也就是即 …………8分

另一方面，设函数，则

∴ 在上是增函数，又

∴ 当时，

∴ ，即

综上所述，………………………………………………13分

20.解：(Ⅰ) 由题意可知，平面区域如图阴影所示． …3分

设动点为，则

，即．

由知，x－y<0，即x²－y²<0．

所以 y²－x²＝4(y>0)，即为曲线的方程　　…………6分

(Ⅱ)设，，则以线段为直径的圆的圆心为.

因为以线段为直径的圆与轴相切，所以半径，

即 ………………………8分

因为直线AB过点，当AB ^ x轴时，不合题意．

所以设直线AB的方程为 y＝k(x－2)．

代入双曲线方程y²－x²＝4 (y＞0)得: (k²－1)x²－4k²x＋(8k²－4)＝0．

因为直线l与双曲线交于A，B两点，所以k≠±1．于是

x₁＋x₂＝，x₁x₂＝．

∴ |AB|=

∴

化简得：k⁴＋2k²－1＝0 ……………………………11分

解得: k²＝－1 （k²＝－－1不合题意，舍去）．

由△＝(4k²)²－4(k²－1)(8k²－4)＝3k²－1＞0，又由于y＞0，所以－1<k<－．

所以直线l存在,其斜率为 k＝－. …………………13分

21.　解：(1) 因为 ,所以,

于是: , 即是以2为公比的等比数列.

1+1

因为

由题设知：，解得：,

又因为且，所以，于是. ……3分

由得：

因为是正整数列, 所以 .

于是是等比数列. 又 , 所以，…………………5分

(2) 由得：.

由及得：…………………6分

设 ①

　　　　　　　 ②

当时，①式减去②式, 得

于是,

这时数列的前项和．……………8分

当时，．这时数列的前项和．…………9分

(3) 证明：通过分析，推测数列的第一项最大，下面证明：

　　　　 ③

由知，要使③式成立，只要，

因为

所以③式成立．

因此，存在，使得对任意均成立． ……………13分