西安中学
师大附中
高2008届第一次模拟考试
高新一中
长安一中
数学(理)试题
命题人:师大附中 孙永涛
审题人:师大附中 李 涛
注意事项:
1. 本试题卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,总分150分,考试时间150分钟。
2. 答题前,考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试题卷指定的位置上。
3. 选择题的每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上。
4. 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答。超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效;在草稿纸、本试题卷上答题无效。
5. 考试结束,将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一.选择题(本试卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.已知复数满足,则等于( )
A. B. C. D.
2.已知,下列不等式中成立的是( )
A. B. C. D.
3.下列函数中,周期是1且是奇函数的是 ( )
A. B.
C. D.
4.在正项等比数列中,,那么等于( )
A.28
B
5.已知是两条不重合的直线,是三个两两不重合的平面,给出下面四个命题
①若,则;②若,则;③若,,则;④若是异面直线,,,则。其中真命题的编号是( )
A.①② B.①③ C.③④ D.①④
6.设是函数的反函数,若,则的值是( )
A.1
B
7.直线与圆相切于点,则的值等于( )
A. B. C. D.
8.函数在实数上可导,且满足,则必有( )
A. B.
C. D.
9.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点,若,则这样的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
10.点是内一点,且,则等于 ( )
A. B. C. D.
11.在某次数学模拟测验中记学号是的学生的成绩是,若,且满足,则这4位同学的考试成绩所有的可能有( )
A.15种 B.20种 C.30种 D.35种
12.已知定义域是的函数满足,且当时,单调递增,若,且,则的值( )
A.恒小于0 B. 恒大于
第II卷
二.填空题(每小题4分,满分16分)
13.设满足约束条件:,则的最大值是 .
14.一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处,且与它相距海里.此船的航速是 海里/小时.
15.如图,正方体的一个顶点A在平面内,其余顶点在
平面的同侧,正方体上与顶点A相邻的三个顶点
到的距离分别为2、3和5,P是正方体
的其余四个顶点中的一个,则P到平面的距离可能是:
①5 ②6 ③7 ④8 ⑤10
以上结论正确的为______________(写出所有正确结论的编号).
16.某中学为高一学生开设了摄影、健美、足球、管弦乐四门选修课程。统计学生的报名情况,有下列结果:①报摄影的同学没有报健美;②报健美的同学也报了管弦乐;③报足球的同学没有报管弦乐;④没有报足球的同学报了健美。在下面判断中,正确判断的编号是_______(写出所有正确结论的编号).
①报管弦乐的同学也报了摄影;②没有报管弦乐的同学报了摄影;③报健美的同学人数与报管弦乐的同学人数相等;④没有任何同学,同时报了足球和健美;⑤报了摄影的同学也报了足球.
三.解答题(满分74分)
17.(12分) 已知(为常数).
(Ⅰ)求的单调递增区间;
(Ⅱ)若在上的最大值与最小值之和为3,求的值.
18.(12分) 在举办的奥运知识有奖问答比赛中,甲、乙、丙同时回答一道有关奥运知识的问题,已知甲回答对这道题目的概率是,甲、丙两人都回答错的概率是,乙、丙两人都回答对的概率是.
(Ⅰ)求乙、丙两人各自回答对这道题目的概率;
(Ⅱ)求回答对这道题目的人数的随机变量的分布列和期望.
19.(12分) 如图,四边形是直角梯形,,,,,又,,,直线与直线所成的角为.
(Ⅰ)求证:平面⊥平面;
(Ⅱ)求二面角的正切值.
20.(12分)椭圆的离心率,是椭圆上关于轴均不对称的两点,线段的垂直平分线与轴交于点.
(Ⅰ)设的中点为,求的值;
(Ⅱ)若是椭圆的右焦点,且,
求椭圆的方程.
21.(12分)已知数列满足
(I) 求数列的通项公式;
(II)证明:.
21.(14分)已知函数,
(Ⅰ)求的值域;
(Ⅱ)设为方程的根,求证:当时,;
(Ⅲ)若方程有4个不同的根,求的取值范围.
高2008届四校联考第一次模考
一.选择题(每小题5分,满分60分)
DBDAD BACCA D A
二.填空题(每小题4分,满分16分)
13.3 14.32 15.①③④⑤ 16.③④⑤
三.解答题(满分74分)
17.(12分) 解:(Ⅰ)
,则,
即的单调递增区间是…………………………6分
(Ⅱ),那么
即,所以………………………………12分
18.(12分)(Ⅰ)设乙、丙各自回答对的概率分别是,根据题意得:
,解得,…………………………………………6分
(Ⅱ)可能取值0,1,2,3,分布列如下:
0
1
2
3
………………………………………12分
19. (12分)
(Ⅰ)∵
∴平面
又∵平面
∴平面平面………………4分
(Ⅱ)取的中点,则,连结,
∵,且∴四边形是平行四边形,
∴,从而
作,交的延长线于,连结,则由三垂线定理知,,
从而为二面角的平面角
直线与直线所成的角为 ∴
在中,由余弦定理得
在中,
在中,
在中,
故二面角的平面角大小为………………………………12分
20.( 12分)
解:(Ⅰ)设,,代入椭圆方程得,,两式相减整理得:,由于,;根据得,所以,即,则………………6分
(Ⅱ)
由于,那么,那么,所以
,,故所求椭圆的方程是………………12分
21. (满分12分) (I)解:由得,是以为首项,2为公比的等比数列。即 ………………4分
II证明:∵ ,∴
又∵
∴
∴ ………………12分
22.(14分)
(Ⅰ),则,由于,则值域是…………………………………………………………………………………2分
(Ⅱ)是方程,那么,令,则,那么是单调减函数,当时,,即
所以当时,……………………………………………………………8分
(Ⅲ)令
当时,,所以在和上单调递增;
当时,,所以在和上单调递减;
当时,
当时,;当时,;当时,
所以有四个不同的根时,所以.…………………………14分