天津市南开区2008高三年级质量调查（一）
数学（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分。
第I卷
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知i是虚数单位，则
（ ）
A. 
B.
C.
D.
2. 设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为（ ）
A. 11 B.
3. 在△ABC中，“
”是“
”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 设椭圆
上的点到焦点距离的最大值为3，离心率为
，则此椭圆的标准方程为（ ）
A. 
B.
C. 
D.
5. 函数
的反函数是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
6. 若
是互不相同的空间直线，
是不重合的平面，则下列命题中是真命题的是（ ）
A. 若
，
，
，则
B. 若
，，则
C. 若
，则
D. 若
，则
7. 若
是定义在R上的偶函数，在
上是减函数，且
，则使得
的x的取值范围是（ ）
A. 
B.
C.
D.
8. 设
是公比大于1的等比数列，
构成等差数列，且前三项的和
，那么公比q的值等于（ ）
A. 
B.
2 C.
D.
3
9. 已知函数
，则
的值为（ ）
A. 
B.
C.
D.
10. 已知
是定义在R上的单调函数，实数
，
，
，若
，则（ ）
A. 
B.
C.
D.
第II卷
二. 填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分。请把答案填在题中横线上。
11. 在
的二项展开式中常数项的值等于 （用数字作答）。
12. 过球面上A、B、C三点的截面与球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，那么球的表面积等于 。
13. 数列中，
，
，则
等于 。
14. 两圆交于点A（1，3）和B（m，1），两圆的圆心都在直线
上，则m+c的值等于
。
15. 设
是平面直角坐标系内x轴，y轴正方向上的单位向量，且
，
，则△ABC面积的值等于
。
16. 如图，在一个田字形区域A、B、C、D中栽种观赏植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻区域中种不同植物（A与D、B与C不为相邻）。现有4种不同植物可供选择，则不同的种植方案有 种。（用数字作答）
三. 解答题：本大题共6个小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
已知函数
。
（1）求
的值；
（2）求的最小正周期和在区间
上的最大值和最小值。
18. （本小题满分12分）
某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为
，且各次射击的结果互不影响。
（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；
（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；
（3）设随机变量
表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列。
19. （本小题满分12分）
已知如图，在四棱锥P―ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD//BC，PD：DC：BC=
。
（1）证明BC⊥平面PDC；
（2）求二面角D―PB―C的正切值；
（3）若
，求证：平面PAB⊥平面PBC。
20. （本小题满分12分）
已知函数
。
（1）若函数的导函数是奇函数，求
的值；
（2）求函数的单调区间。
21. （本小题满分14分）
如图，
是抛物线
上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且|MA|=|MB|。
（1）若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值；
（2）若M为动点，且∠EMF=90°，求△EMF的重心G的轨迹方程。
22. （本小题满分14分）
设函数满足
，数列和
满足下列条件：
，
，
。
（1）求的解析式；
（2）求的通项公式
；
（3）试比较
与的大小，并证明你的结论。
一. 选择题：本题考查基础知识和基本运算。
1. B 2. A 3. C 4. A 5. D 6. D 7. D 8. B
9. D 10. A
二. 填空题：本题考查基础知识和基本运算。
11. 7 12.
13
14. 3
15. 5 16. 84
三. 解答题：
17. 本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角和公式、二倍角公式、函数
的性质等基础知识，考查基本运算能力。
（1）解：
，
∴ 
（5分）
（2）解：
最小正周期为
∵ 
∴
∴
（12分）
18. 本小题要考查互斥事件、相互独立事件、离散型随机变量的分布列等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力。
（1）解：设“射手射击1次，击中目标”为事件A
则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率
=
（5分）
（2）解：射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率
（10分）
（3）由题设，“
”的概率为
且
所以的分布列为：
3
4
…
k
…
P
…
…
（12分）
19. 本小题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。
（1）解：由PD⊥平面ABCD，
平面ABCD，得PD⊥BC
由AD⊥DC，AD//BC，得BC⊥DC
又
，则BC⊥平面PDC（3分）
（2）解：取PC中点E，连DE，则DE⊥PC
由BC⊥平面PDC，平面PBC
得平面PDC⊥平面PBC ∴ DE⊥平面PBC
作EF⊥PB于F，连DF
由三垂线定理，得DF⊥PB
则∠DFE为二面角D―PB―C的平面角
在
中，求得
在
中，求得
在
中，
即二面角D―PB―C的正切值为
（8分）
（3）证：取PB中点G，连AG和EG
由三角形中位线定理得GE//BC，
由已知，AD//BC，
∴ AD=GE，AD//GE
则四边形AGED为平行四边形
∴ AG//DE
由（2）已证出DE⊥平面PBC
∴ AG⊥平面PBC
又
平面PAB ∴
平面PAB⊥平面PBC（12分）
20. （本小题考查导数的意义，两个函数的和、差、积、商的导数，考查利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。
（1）解：由已知得
∵ 函数的导函数是奇函数
∴ 
解得
（5分）
（2）由
① 当
时，
恒成立
∴ 当时，函数在R上单调递减
② 当
时，解
得
即
∴ 当时，在
内单调递增，在
内单调递减（12分）
21. 本小题主要考查抛物线的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力。
（1）解：设
，直线ME的斜率为
，则直线MF的斜率为
，直线ME的方程为
)
由
得
解得
所以
∴
同理可得
∴ 
∴ 
（定值）（8分）
（2）解：当∠EMF=90°，∠MAB=45°，所以k=1
由（1）得
设重心
则有
消去参数
得
（14分）
22. 本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的通项公式，不等式的证明等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数字知识分析问题和解决问题的能力。
（1）解：由已知
∴ 
联立解得
（4分）
（2）解：由（1）知
∴
两式相减
即
∴
∴ 
∴
数列
是公比为2的等比数列
又∵ ∴
∴
∴
∴ 
∴
（10分）
（3）解：由（2）
，而已知
联立解得
∴ 
∴ 
时，
∴
；
时，
∴
；
时，
∴
；
时，
∴
；
猜想
时，
即
时，显然成立
假设当
时，命题正确，即
当
时，
即
不等式也成立，故对一切且，
综合：当时，
；当时，
；当时，（14分）