江苏通州市高三第四次统一检测数学试题第Ⅰ部分必考内容(命题单位:通州中学满分160分.答卷时间120分钟)——青夏教育精英家教网——

江苏通州市高三第四次统一检测

数学试题

第Ⅰ部分必考内容

（命题单位：通州中学满分160分，答卷时间120分钟）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案填写在答题纸相应位置上．

1．对于命题p：，使得x²+ x +1 < 0．则为：_________．

2．复数，，则复数在复平面内对应的点位于第_______象限．

3．“”是“”的　　　　条件．

4．一个靶子上有10个同心圆，半径依次为1、2、……、10，击中由内至外的区域的成绩依次为10、9、……、1环，则不考虑技术因素，射击一次,在有成绩的情况下成绩为10环的概率为 .

5．设、满足条件，则的最小值　　．

6．如果执行下面的程序框图，那么输出的

7．△ABC中，，则△ABC的面积等于_________．

8．给出下列命题：

①变量 y与x之间的相关系数，查表到相关系数的临界值为，则变量 y与x之间具有线性关系；

② 则不等式恒成立；

③ 对于函数若则函数在内至多有一个零点；

④ 与的图象关于对称．

其中所有正确命题的序号是__________．

9．若∆ABC内切圆半径为r，三边长为a、b、c，则∆ABC的面积S＝r (a+b+c) 类比到空间，若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S₁、S₂ 、S₃ 、S₄，则四面体的体积V＝．

10．已知，且关于x的函数f(x)=在R上有极值，则与的夹角范围为_______．

11．已知数列为等差数列，且，则________．

12．函数的零点所在的区间是（n,n＋1），则正整数n=______．

13．四棱锥的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：

则四棱锥的表面积为　　　　．

14．已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当4时，的最小值是．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.(本题满分12分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（是不小于40不大于100的整数）分成六段，…后

（1）求第四小组的频率，并补全这个画出如下部分频率分布直方图.

(2) 观察频率分布直方图图形的信息，估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分．

16. （本题满分13分）如图，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E、F为棱AD、AB的中点．

（1）求证：EF∥平面CB₁D₁；

（2）求证：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁．

17．(本题满分15分)在中，分别是角A、B、C的对边，，且．

（1）求角A的大小；

（2）求的值域．

18．(本题满分15分)椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，离心率e = ，椭圆上的点到焦点的最短距离为1－, 直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且．

（1）求椭圆方程；

（2）若，求m的取值范围．

19．（本题满分16分）已知数列的首项，前项和为，且、、（n ≥2）分别是直线上的点A、B、C的横坐标，，设，．

⑴ 判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

⑵ 设，证明：．

20．对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数有且仅有两个不动点、，且。

（1）试求函数的单调区间；

（2）点从左到右依次是函数图象上三点，其中求证：ㄓ是钝角三角形．

第Ⅱ部分加试内容

（命题单位：通州中学满分40分，答卷时间30分钟）

一．必答题：本大题共2小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．（本小题满分10分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f₁(x)=x，f₂(x)=x²，f₃(x)=x³，f₄(x)=sinx，f₅(x)=cosx，f₆(x)=2．

（1）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；

（2）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望.

2．（本小题满分10分）已知数列满足，且（）

（1）求的值；

（2）由（1）猜想的通项公式，并给出证明．

二、选答题：本大题共4小题，请从这4题中选做2小题，如果多做，则按所做的前两题记分．每小题10分，共20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

3．（几何证明选讲）（本小题满分10分）如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE²=EF?EC.

（1）求证：ÐP=ÐEDF；

(2)求证：CE?EB=EF?EP．

4．（矩阵与变换）

（本小题满分10分）设是把坐标平面上的点的横坐标伸长到倍，纵坐标伸长到倍的伸压变换．求逆矩阵以及椭圆在的作用下的新曲线的方程．

5．（坐标系与参数方程）

（本小题满分10分）已知直线经过点,倾斜角，

（1）写出直线的参数方程;

（2）设与圆相交与两点，求点到两点的距离之积.

6．（不等式选讲）

（本小题满分10分）设求的最大值.

江苏通州市高三第四次统一检测

数学试题（答卷）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．

1．________________2．_____________3．_______________ 4．____________

5．_______________6．______________7．_______________ 8．____________

9．_______________ 10．____________ 11．______________ 12．___________

13．_________________ 14．_______________

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤

15.(本题满分12分)

16. （本题满分13分）

17．(本题满分15分)

18．（本题满分16分）

19．（本题满分16分）

20．(本题满分18分)

江苏通州市高三第三次统一检测数学答卷

第Ⅱ部分加试内容

一．必答题：本大题共2小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．（本小题满分10分）

2．（本小题满分10分）

选答题1，你所选择的题号是．

解：

选答题2，你所选择的题号是．

解：

一、填空题：

1．，均有x²+ x +1≥0 2．第一象限 3．充分而不必要条件 4． 0.01

5． 4 6． 2550 7． 8．①④ 9． R(S₁＋S₂＋S₃＋S₄)

10．，11． 12．1 13． 14．

二、解答题：

15．（Ⅰ）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：

3′

直方图如右所示 6′

（Ⅱ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为所以，抽样学生成绩的合格率是%.. 9 ′

利用组中值估算抽样学生的平均分

＝

＝71

估计这次考试的平均分是71分 12′

16.（1）证明:连结BD.

在长方体中，对角线.

又 E、F为棱AD、AB的中点，

.

.

又B₁D₁平面，平面，

EF∥平面CB₁D₁. 6′

（2）在长方体中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，而B₁D₁平面A₁B₁C₁D₁，

AA₁⊥B₁D₁.

又在正方形A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁⊥B₁D₁，

B₁D₁⊥平面CAA₁C₁.

又 B₁D₁平面CB₁D₁，

平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁． 13′

17．（1）由得 4′

由正弦定理得

6′

8′

（2）

= 10′

= 12′

由（1）得

15′

18．（1）设C：＋＝1（a>b>0），设c>0，c²＝a²－b²，由条件知a-c＝，＝，

∴a＝1，b＝c＝，

故C的方程为：y²＋＝1　 5′

（2）由＝λ，

∴λ＋1＝4，λ＝3　或O点与P点重合= 7′

当O点与P点重合=时，m=0

当λ＝3时，直线l与y轴相交，则斜率存在。

设l与椭圆C交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　 11′

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　 13′

m²＝时，上式不成立；m²≠时，k²＝，

因λ＝3 ∴k≠0 ∴k²＝>0，∴－1<m<－或 <m<1

容易验证k²>2m²－2成立，所以（*）成立

即所求m的取值范围为（－1，－）∪（，1）∪｛0｝ 16′

19． ⑴由题意得 4′

（n≥2），

又∵，

数列是以为首项，以2为公比的等比数列。 8′

[则（）]

⑵由及得

， 11′

则 13′

16′

20．（1）设

∴ ∴

由

又∵ ∴

∴ 6′

于是

由得或；由得或

故函数的单调递增区间为和，

单调减区间为和 10′

（2）证明:据题意且x₁<x₂<x₃,

由(1)知f (x₁)>f (x₂)>f (x₃),

14′

即ㄓ是钝角三角形． 18′

第Ⅱ部分加试内容

一．必答题：

1．（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知 4′

（2）ξ可取1，2，3，4.

，

； 8′

故ξ的分布列为

ξ

1

2

3

4

P

答：ξ的数学期望为 10′

2．（1）由得，

求得 3′

（2）猜想 5′

证明：①当n=1时，猜想成立。 6′

②设当n=k时时，猜想成立，即， 7′

则当n=k+1时，有，

所以当n=k+1时猜想也成立 9′

③综合①②，猜想对任何都成立。 10′

二、选答题：

3．（1）∵DE²=EF?EC，

∴DE : CE=EF: ED．

∵ÐDEF是公共角，

∴ΔDEF∽ΔCED． ∴ÐEDF=ÐC．

∵CD∥AP， ∴ÐC=Ð P．

∴ÐP=ÐEDF．----5′

（2）∵ÐP=ÐEDF， ÐDEF=ÐPEA，

∴ΔDEF∽ΔPEA． ∴DE : PE=EF : EA．即EF?EP=DE?EA．

∵弦AD、BC相交于点E，∴DE?EA=CE?EB．∴CE?EB=EF?EP． 10′

4．（矩阵与变换）

解：．

， 5′

椭圆在的作用下的新曲线的方程为 10′

5．（1）直线的参数方程为，即． 5′

（2）把直线代入，

得，，
则点到两点的距离之积为． 10′

6．

7′

当且仅当且

F有最小值 10′