北京市东城区2007―2008学年度第二学期综合练习(一)
初 三 数 学
考生须知
1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共10页，共九道大题，25个小题，满分120分。考试时间120分钟。
2．认真填写第1页与第3页密封线内的学校、姓名和考号。
3．考试结束，请将本试卷和机读答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(机读卷 共32分)
考生须知
1．第Ⅰ卷共2页，共一道大题，8个小题。
2．试题答案一律填涂在机读答题卡上，在试卷上作答无效。
一、选择题：(共8个小题，每小题4分，共32分)
1．－2的倒数是
A．－2 B．
D．
2．如图，梯子的各条横档互相平行，若∠1=110°，则∠2的度数为
（第2题图）
A．50° B．70° C．90° D．110°
3．
A．15.165×1010 B．15.165×1011
C．1.5165×1011 D．0.15165×1012
4．若(x－2)2+
=0，则xy的值为
A．－8 B．
D．
5．我市某一周的最高气温统计如下表：
最高气温(℃)
25
26
27
28
天数
1
1
2
3
则这组数据的中位数与众数分别是
A．27，28 B．27.5，
6．有9张相同的卡片，上面写有汉字：我、参、与、我、奉、献、我、快、乐.9张卡片任意搅乱后，一个人随机抽取一张，卡片上写有汉字“我”的概率是
A．
B．
C．
D．
7．如图，⊙O的半径为
（第7题图）
A．
8．如图，MN是圆柱底面的直径，MP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿MP剪开，所得的侧面展开图可以是
（第8题图）
北京市东城区2007―2008学年度第二学期综合练习(一)
初 三 数 学
第Ⅱ卷(非机读卷 共88分)
考生须知
1．第Ⅱ卷共8页，共八道大题，17个小题。
2．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔。
题号
二
三
四
五
六
七
八
九
总分
9―12
13―17
18―19
20―21
22
23
24
25
得分
阅卷人
复查人
二、填空题：(共4个小题，每小题4分，共16分)
9．在函数y=
中，自变量x的取值范围是__________________.
10．分解因式：2x2－4x+2=____________________.
11．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′=30°，则∠AED′等于_______________.
（第11题图）
12．k是整数，已知关于x的一元二次方程kx2+(2k－1)x+k－1=0只有整数根，则k=__________．
三、解答题：(共5个小题，每小题5分，共25分)
13．计算：
+(π－2008)0+
－6tan30°
14．解方程：
=2．
15．已知x2－2=0，求代数式x(x2－x)+x2(6－x)+3的值．
16．已知：如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别是AB、BC延长线上的点，且BD=CE．
求证：DC=AE．
17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=4，cos∠C=
．求梯形ABCD的周长．
四、解答题：(共2个小题，每小题5分，共10分)
18．已知：反比例函数y=
和一次函数y=2x－1，其中一次函数的图象经过点(k，5)．
(1)试求反比例函数的解析式；
(2)若点A在第一象限，且同时在上述两函数的图象上，求点A的坐标．
19．网瘾低龄化问题已引起社会各界的高度关注．有关部门在全国范围内对12～35岁的网瘾人群进行了抽样调查．下图是用来表示在调查的样本中不同年龄段的网瘾人数的，其中30～35岁的网瘾人数占样本总人数的20％．
(1)被抽样调查的样本总人数为__________人．
(2)请把统计图中缺失的数据、图形补充完整．
(3)据报道，目前我国12～35岁网瘾人数约为200万人，那么其中18～23岁的网瘾人数约有多少人？
五、解答题：(共2个小题，每小题5分，共10分)
20．2008年春节期间，某超市七天销售总额达120万元，项目分类及销售额如下表所示，表中缺失了日用品类及烟酒类的相关数据．已知烟酒类销售额是日用品类销售额的5倍，结合表中信息，求日用品类及烟酒类的销售额．
项目分类
日用品类
服装类
食品类
烟酒类
销售额（万元）
12
36
21．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，AB=
，AD=6．
(1)求证：△ABE∽△ADB；
(2)延长DB到F，使BF=BO，连接FA，求证：FA是⊙O的切线．
六、解答题：(本题满分5分)
22.如图，把一个正方形割去四分之一，将余下的部分分成3个全等的图形(图甲)；将余下的部分分成4个全等的图形(图乙)．仿照示例，请你将一个正三角形割去四分之一后余下的部分
(1)分成3个全等的图形(在图1中画出示意图)；
(2)分成4个全等的图形(在图2中画出示意图)；
(3)你还能利用所得的4个全等的图形拼成一个平行四边形吗?若能，画出大致的示意图．
七、解答题：(本题满分7分)
23.如图，抛物线y=－x2+bx+c经过点A(1，0)和B(0，5).
(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)抛物线与x轴的另一交点为C，在直线CB上是否存在一点P，使四边形PDCO为梯形？若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由．
八、解答题：(本题满分7分)
24．在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(50，0)，B(50，50)，C(0，50).若正方形OABC的内部(边界及顶点除外)一格点(“格点”是指在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点)满足：S△POA?S△PBC=S△PAB?S△POC，就称P为“好点”．
(1)请你判断：P(20，15)是“好点”吗？
(2)求出正方形OABC内部“好点”的个数．
九、解答题：(本题满分8分)
25．已知△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=90°，点D为BC上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D处．
(1)如图1，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，两条直角边分别交AB、AC于点E、点F，求出重叠部分AEDF的面积(直接写出结果)；
(2)如图2，若BD=CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AB于点E、另一条直角边交AB的延长线于点F，设AE=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若BD=2CD，将三角板绕点D逆时针旋转，使一条直角边交AC于点F、另一条直角边交射线AB于点E，设CF=x(x>1)，两块三角板重叠部分的面积为y，求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
图1 图2
解：(1)
(2)
(3)
北京市东城区2007年～2008学年度第二学期综合练习(一)
一、选择题：(共8个小题，每小题4分，共32分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
C
B
A
D
D
A
二、填空题：(共4个小题，每小题4分，共16分)
9．x≥－3 10．2(x－1)2 11．60° 12．±1
三、解答题：(共5个小题，每小题5分，共25分)
13．解：原式=
+1+2－6×
.
4分
=3. 5分
14．解：去分母，得3(x+1)+2x(x－1)=2(x－1)(x+1). 2分
去括号，得3x+3+2x2－2x=2x2－2. 3分
解得x=－5. 4分
经检验x=－5是原方程的解． 5分
∴原方程的解是x=－5．
15．解：x(x2－x)+x2(6－x)+3=x3－x2+6x2－x3+3. 3分
=5x2+3. 4分
∴原式=13. 5分
16．证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°.BC=CA. 2分
∴∠DBC=∠ECA=180°－60°=120°. 3分
在△DBC与△ECA中，
∴△DBC≌△ECA． 4分
∴DC=AE． 5分
17．解：过点A、D分别作AE⊥BC、DF⊥BF，垂足分别为点E、F． 1分
（第17题图）
在Rt△DCF中，∠DFC=90°．
由CD=4，cos∠C=
，
得CF=CD?cos∠C=4×=1．
2分
在梯形ABCD中，由AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠C．
同理：BE=1 3分
易证四边形AEFD为矩形．
∴EF=AD=4 4分
∴BC=6
∴梯形ABCD的周长为AD+AB+DC+BC=18 5分
四、解答题：(共2个小题，每小题5分，共10分)
18．解：(1)因为一次函数y=2x－1的图象经过点(k，5)，
∴5=2k－1．
∴k=3．
所以反比例函数的解析式为y=
． 2分
(2)由题意得：
解这个方程组得：
4分
因为点A在等一象限，则x>0，y>0
所以点A的坐标为(
，2)． 5分
19．(1)2400． 2分
(2)如图． 3分
(3)∵200×
=50(万人)，
∴18～23岁的网瘾人数约有50万人． 5分
五、解答题：(共2个小题，每小题5分，共10分)
20．解：设日用品类的销售额为x万元，烟酒类的销售额为y万元． 1分
依题意得，
3分
解得
4分
答：日用品的销售额为12万元，烟酒类销售额为60万元． 5分
21．(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠D．
又∵∠BAE=∠DAB，
∴△ABE～△ADB． 2分
(2)连接OA．
∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°．
Rt△BAD中，tan∠ADB=
.
∴∠ADB=30°
∵AB=
BD，BF=BO=AB．
∴△ABO是等边三角形．∴∠ABO=∠OAB=60°．
又可得∠BAF=30°．
∴∠OAF=∠OAB+∠BAF=90°．
∴FA是⊙O的切线． 5分
六、解答题：(本题满分5分)
22．(1)(2)各2分，(3)答案不唯一 1分．
七、解答题：(本题满分7分)
23．解：(1)根据题意，得
解得
∴抛物线的解析式为y=－x2－4x+5． 2分
顶点D的坐标为(－2，9)． 3分
(2)由抛物线的解析式y=－x2－4x+5．可得C点的坐标为(－5，0)．
∵B点的坐标为(0，5)，
∴直线CB的解析式为y=x+5.
<?>当OP∥CD，且OP≠CD时，四边形PDCO为梯形．
∵直线CD的解析式为y=3x+15，OP∥CD，
∴直线OP的解析式为y=3x．
根据题意，得
解得
∴点P
.
∵OP=
，CD=
，
∴OP≠CD．
∴点P
即为所求．
5分
<ii>当DP∥CO，且DP≠CO时，四边形PDCO为梯形．
根据题意，
解得
∴点P(4，9)．
∵OC=5，DP=6，
∴OC≠DP．
∴点P(4，9)即为所求． 7分
综上所述，使四边形PDCO为梯形的点P分别是P1，P2(4，9)．
八、解答题：(本题满分7分)
24．(1)∵S△POA?S△PBC
=×50×15××50×35=252×15×35，
S△PAB?S△POC=×50×30××50×20=252×30×20，
∴S△POA?S△PBC≠S△PAB?S△POC. 2分
∴P(20，15)不是“好点”． 3分
(2)设P(x，y)其中x，y均为正整数，且0<x<50，0<y<50． 4分
由S△POA?S△PBC=S△PAB?S△POC，
得y(50－y)=x(50－x)，
(x－y)(x+y－50)=0
∴x=y或x+y=50． 6分
于是，点P在对角线OB或AC上．
故满足条件的好点共有2×49－1=97个． 7分
九、解答题：(本题满分8分)
解：(1)S四边形AEDF=
．
1分
(2)过点D作DM⊥AB，垂足为点M，
y=BE?DM=(3－x)?
(3-x)(0≤x≤3)． 3分
(3)<i>如图a：连接AD，过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为M，N
图a
∵AB=AC=3，∠BAC=90°，
∴BC=
．
∵BD=2CD，∴BD=
，CD=
．
易得，DN=1，DM=2，
易证∠1=∠2，
∠DME=∠DNF=90°
∴△DME∽△DNF．
∴
.
∴ME=2(x－1)．
∴AE=2(x－1)+1=2x－1．
∴y=S△ADE+S△ADF=(2x－1)?2+(3－x)?1=x+(1<x≤2)．
6分
<ii>如图b：过点D作AC的垂线，垂足为N，
图b
∵AB=AC=3，∠BAC=90°，
∴BC=．
∵BD=2CD，∴BD=，CD=．
易得，DN=1，y=S△ABC－S△CDF =
?1=(2<x≤3) 8分
∴y=