海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 末 练 习
数 学（文科） 2008.5
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1. 答卷前将学校、班级、姓名填写清楚。
2. 选择题的每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。其他小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
（1）sin(
)cos()= （ ）
（A）
sin2 （B）sin2
（C）sin2 （D）cos2
（2）定义映射f：A→B，若集合A中元素x在对应法则f作用下的象为log3 x，则A中元素9的象是 （ ）
（A）2 （B）2 （C）3 （D）3
（3）若a为实数，则圆（x-a）2+（y+
（A）2x+y=0 （B）x+2y=0 （C）x2y=0
（D）2xy=0
（4）1+2+22+…+29的值为 （ ）
（A）512 （B）511 （C）1024 （D）1023
（5）函数f(x)= 
与g(x)=()x-1在同一直角坐标系中的图象是 （ ）
（6）设m,n,l是三条不同的直线，，
，
是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
（A）若m,n与l所成的角相等，则m∥n
（B）若∥，m
,则m∥
（C）若m,n与所成的角相等,则m∥n
（D）若与平面,所成的角相等,则∥
（7）设双曲线C：
y2=1的右焦点为F，直线l过点F.若直线l与双曲线C的左、右两支都相交，则直线l 的斜率k的取值范围是 （ ）
（A）k≤
或k≥ （B）k＜或k＞ （C）＜k＞ （D）≤k≤
（8）设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题： （ ）
①当c=0时，y=f(x)是奇函数；
②当b=0时，c＞0时，方程f(x)=0只有一个实根；
③函数y=f(x)的图象关于点(0，c)对称；
④方程f(x)=0至多有两个实根，
其中正确命题的个数为
（A）1个 （Ｂ）2个 （C）3个 （D）4个
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数 学（文科） 2008.5
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
一
二
三
总分
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
分数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填在题中横线上.
（9）已知向量a=(1, 2),b=(4,2),那么a与b夹角的大小是
.
（10）已知点A分有向线段
所成的比为2,且M（1，3），N（
，1），那么A点的坐标为 .
（11）已知椭圆
=1（a>0）的一条准线方程是x=4,那么此椭圆的离心率是
.
（12）设地球的半径为R，则地球北纬60°的纬线圈的周长等于 .
（13）若圆x2+y22x=0关于直线y=x对称的圆为C，则圆C的圆心坐标为 ；再把圆C沿向量a=（1，2）平移得到圆D，则圆D的方程为
.
（14）定义运算：
=adbc，若数列{an}满足
=1，且
=2（n
N*）,则a3=
，数列{an}的通项公式为an=
.
（15）（本小题共12分）
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
设函数f(x)=p?q,其中向量p=（sinx,cosx+sinx）,q=(2cosx,cosxsinx), xR.
（Ⅰ）求f(
)的值及函数f(x)的最大值；
（Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间.
（16）（本小题共14分）
在三棱椎SABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=4，SB=4
.
（Ⅰ）证明：SC⊥BC；
（Ⅱ）求二面角ABCS的大小；
（Ⅲ）求直线AB与平面SBC所成角的大小.
（用反三角函数表示）
（17）（本小题共13分）
甲、乙、丙三人组成一组，参加一个闯关游戏团体赛.三人各自独立闯关，其中甲闯关成功的概率为
，甲、乙都闯关成功的概率为
，乙、丙都闯关成功的概率为
.每人闯关成功记2分，三人得分之和记为小组团体总分.
（Ⅰ）求乙、丙各自闯关成功的概率；
（Ⅱ）求团体总分为4分的概率；
（Ⅲ）若团体总分不小于4分，则小组可参加复赛.求该小组参加复赛的概率.
（18）（本小题共13分）
将数列{an}的各项排成如图所示的三角形形状.
（Ⅰ）若数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，写出图中第5行第5个数；
（Ⅱ）若函数f(x)=a1x+a2x2+a3x3+…+anxn，且f(1)=n2,求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）设Tm为第m行所有项的和，在（Ⅱ）的条件下，用含m的代数式表示Tm.
 |
（19）（本小题共14分）
已知O为坐标原点，点F的坐标为（1，0），点P是直线m:x=1上一动点，点M为PF的中点，点Q满足QM⊥PF，且QP⊥m.
（Ⅰ）求点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）设过点（2，0）的直线l与点Q的轨迹交于A、B两点，且∠AFB=
.试问能否等于
?若能,求出相应的直线l的方程；若不能，请说明理由.
（20）（本小题共14分）
已知函数f(x)=x3+ax24（aR）.
（Ⅰ）若函数y=f(x)的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为
，求a;
（Ⅱ）设f(x)的导函数是f′(x).在（Ⅰ）的条件下，若m，n[1,1],
求f(m)+f′(n)的最小值；
（Ⅲ）若存在x0（0，+∞），使f(x0) ＞0,求a的取值范围.
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数 学（文科）
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
题号
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
答案
A
B
A
D
D
B
C
C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）
（9）
(10)(2,－1) (11)
,或
（12）
(13)（0，1），（x－1）2+(y－3)2=1
（14）10，4n－2
三、解答题（本大题共6小题,共80分.）
（15）（共12分）
解：（Ⅰ）∵p = (sinx,cosx+sinx)，q=(2cosx,cosx－sinx),
∴f(x) = p?q=(sinx,cosx+sinx)?(2cosx,cosx－sinx)
=2sinxcosx+cos2x－sin2x………………………………………………2分
=sin2x+cos2x……………………………………………………………4分
∴f(
) =
…………………………………………………………………5分
又f(x) = sin2x+cos2x =
………………………………………6分
∴函数f(x)的最大值为
. ……………………………………………………7分
当且仅当x=
+k
(k
Z)时，函数f(x)取得最大值.
（Ⅱ）由2
－
≤2x+
≤2+ (kZ) …………………………………9分
得－
≤x≤+(kZ)， …………………………………………11分
∴函数f(x)的单调递增区间为［－,+］ (k∈Z). …………12分
(16)(共14分)
解法一:
解：（Ⅰ）∵SA⊥AB,SA⊥AC,且AB∩AC=A. ∴SA⊥平面ABC.…………………………2分
∴AC为SC在平面ABC内的射影. ……………………………………………3分
又AC⊥BC，∴BC⊥SC……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由(Ⅰ)BC⊥SC，又BC⊥AC，
∴∠SCA为所求二面角的平面角…………………………………………………………6分
又∵SB=4
，BC=4，
∴SC=4. ∵AC=2，∴∠SCA=60°…………………………………………………9分
即二面角A－BC－S的大小为60°
（Ⅲ）过A作AD⊥SC于D，连结BD，
由（Ⅱ）得BC⊥平面SAC，
又BC
平面SBC，
∴平面SAC⊥平面SBC，
且平面SAC
平面SBC=SC.
∴AD⊥平面SBC.
∴BD为AB在平面SBC内的射影.
∴∠ABD为AB与平面SBC所成角.…………………………11分
在Rt△ABC中，AB=
，
在Rt△SAC中，SA=
=2
，
AD=.
∴sinABD=
.……………………………………………………………………13分
所以直线AB与平面SBC所成角的大小为arcsin
.…………………………………14分
解法二:
解：(Ⅰ)由已知∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，
以C点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系C － xyz.
则A(0，2，0)，B（4，0，0），C（0，0，0），S（0，2，
）.……………………………2分
则
=（0，－ 2，
），
=（－4，0，0）.
∴?=0.
∴SC⊥BC.…………………………………………………………4分（Ⅱ）∵∠SAB=∠SAC=90°，
∴SA⊥平面ABC.
∴
=(0，0，)是平面ABC的法
向量.…………………………………………………………………5分
设侧面SBC的法向量为
n=(x，y，z)，
=（0，－ 2，－），=（－4,0,0）.
∵?n=0，?n=0，
∴
∴x=0.令z=1则y=
，
则平面SBC的一个法向量n=(0，，1).……………………………………………7分
cos
,n
= =
.……………………………………………………8分
即二面角A－BC－S的大小为60°.……………………………………………………9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知n=(0，－
，1)是平面SBC的一个法向量.……………………………10分
又
=(4，－2，0)，
∴cos
，n
=
=
.…………………………………………13分
所以直线AB与平面SBC所成角为arcsin.…………………………………………14分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）设乙闯关成功的概率为P1，丙闯关成功的概率为P2………………………1分
因为乙丙独立闯关，根据独立事件同时发生的概率公式得：
………………………………………………………………………3分
解得P1=，P2=
.…………………………………………………………5分
答：乙闯关成功的概率为
，丙闯关成功的概率为
.
（Ⅱ）团体总分为4分，即甲、乙、丙三人中恰有2人过关，而另外一个没过关.
设“团体总分为4分”为事件A，………………………………………………6分
则P（A）=（1－
）
.
………………………………………………………………………………………9分
答：团体总分为4分的概率为
.
（Ⅲ）团体总分不小于4分，即团体总分为4分或6分，
设“团体总分不小于4分”为事件B，…………………………………………10分
由(Ⅱ)知团体总分为4分的概率为.
团体总分为6分，即3人都闯关成功的概率为
………………12分
所以参加复赛的概率为P（B）=
.…………………………………13分
答：该小组参加复赛的概率为
.
(18)（共13分）
解：（Ⅰ）第5行第5个数是29.……………………………………………………………2分
（Ⅱ）由f(1)=n2，得a1+a2+a3+…+an=n2.…………………………………………………3分
设Sn是数列{an}的前n项和，∴Sn=n2.……
当n=1时，a1=S1=1,…………………………………………………………………5分
当n≥2时,an=Sn－Sn－1=n2－(n－1)2=2n－1.………………………………………6分
又当n=1时，2n－1=1=a1,
∴an=2n－1. ………………………………………………………………………8分
即数列{an}的通项公式是an=2n－1(n=1，2，3，…).
（Ⅲ）由(Ⅱ)知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列.……………………………9分
∵前m－1行共有项1+2+3+…+(m－1)= 
，
∴第m行的第一项为
=2×
－1=m2－m+1.………………11分
∴第m行构成首项为m2－m+1，公差为2的等差数列，且有m项.
∴Tm=（m2－m+1）×m+
×2=m3.……………………………………13分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）设Q（x,y），由已知得点Q在FP的中垂线上，……………………………1分
即|QP|=|QF|. ……………………………………………………………………2分
根据抛物线的定义知点Q在以F为焦点，直线m为准线的抛 物线上，…4分
所以点Q的轨迹方程为y2=4x(x≠0). …………………………………………6分
（注：没有写出x≠0扣1分）
(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时，点A坐标为（2，
），点B坐标为（2，－），
∵点F坐标为(1，0)，可以推出∠AFB≠
…………………………………8分
当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y=k(x－2)，它与抛物线y2=4x的交点坐标分别为A(x1,y1)，
B(x2,y2)
由
得x1x2=4，y1y2=－8.……………………………………10分
假定θ=，则有cosθ=
,
如图，即
，
（*）
由定义得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1.
从而有|AF|2+|BF|2－|AB|2
=(x1+1)2+(x2+1)2－(x1－x2)2－(y1－y2)2
=－2(x1+x2)－6
∴|AF|?|BF|=（x1+1）(x2+1)=x1x2+x1+x2+1=x1+x2+5.…………………………12分
将上式代入(*)得
,即x1+x2+1=0.
这与x1＞0且x2＞0相矛盾.
综上,θ不能等于
.…………………………………………………………14分
（20）（共14分）
解：（Ⅰ）
=－3x2+2ax.………………………………………………………………1分
据题意，
=tan
=1, ∴－3+2a=1，即a=2.……………………………3分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知f(x)=
x3+2x24,
则f′（x）=3x2+4x.
x
1
（1,0）
0
（0，1）
1
f′（x）
7
0
+
1
f（x）
1
4
3
…………………………………………………………………………………5分
∴对于m[1,1],f（m）的最小值为f（0）=4……………………………6分
∵f′（x）=3x2+4x的对称轴为x=
,且抛物线开口向下，
∴x[1，1]时，f′（x）最小值为f′（1）与f′（1）中较小的.
∵f′（1）=1, f′（1）=7,
∴当x[1，1]时，f′（x）最小值为7.
∴当n[1，1]时，f′（n）最小值为7.……………………………………7分∴f（m）+ f′（n）的最小值为11.……………………………………………8分（Ⅲ）∵f′（x）=3x（x
）.
①若a≤0，当x＞0时，f′（x）＜0, ∴f（x）在[0，+∞]上单调递减.
又f（0）=4，则当x＞0时, f（x）＜4.
∴当a≤0时，不存在x0＞0，使f（x0）＞0.…………………………………11分
②若a＞0，则当0＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0.
从而f（x）在（0, ]上单调递增，在[，+∞)上单调递减.
∴当x（0，+∞）时，f（x）max=f（）=
+
4=
4.
据题意，4＞0，即a3＞27. ∴a＞3. …………………………………14分
综上，a的取值范围是（3，+∞）.
说明：其他正确解法按相应步骤给分.