海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习

数   学（文科）            

一、              选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

题号

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

答案

C

D

B

C

B

A

C

D

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）

(9)2   (10)3   (11) 12π   (12)7   (13)5,(-1, )  (14)s2,a_n=sin() +

三、解答题（本大题共6小题，共80分）

（15）（共12分）

解：（Ⅰ）由所给条件,方程x²-5x+6=0的两根tanA=3,tanB=2.……………………2分

∴tan(A+B)＝………………………………………………4分

＝＝-1…………………………………………………6分

（Ⅱ）∵A+B+C=180°,∴C =180°- (  A+B).

由（Ⅰ）知,tanC=-tan(A+B) =1,

∵C为三角形内角∴C =45°.∴sinC =.………………………………8分

∵tanA=3且A为三角形内角, ∴sinA =.……………………………10分

由正弦定理,…………………………………………………11分

得BC=×.………………………………………………12分

（16）（共12分）

解：（Ⅰ）记“从袋中任意取出两个球，两球颜色不同”为事件A, ……………1分

取出两个球共有方法C=10种，………………………………………2分

其中“两球一白一黑”有C?C=6种.………………………………4分

∴P(A)= .………………………………………………………6分

答：从袋中任意取出两个球，两球颜色不同的概率是.

（Ⅱ）记“取出一球，放回后再取出一个球，两次取出的球颜色不同”为事件B，……

………………………………………………………………………………7分

取出一球为白球的概率为，……………………………………………9分

取出一球为黑球的概率为，……………………………………………10分

∴P（B）=××=.…………………………………………12分

答：取出一球，放回后再取出一个球，两次取出的球颜色不同的概率是.

（17）（共14分）

法一：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-中，∥AB.

∴∠BAC是与AC所成的角.………………………………………2分

在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠BAC=45°.…………………………………………………………3分

∴与AC所成角为45°.……………………………………………4分

（Ⅱ）取AC中点E，连结DE，BE，

∵D是的中点，则DE∥.

∵⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC.

则BE是BD在平面ABC内的射影. …

………………………………………6分

∵AB=BC，∴BE⊥AC.

∴BD⊥AC. …………………………7分

同理可证BD⊥.………………8分

又AC∩=C，

∴BD⊥平面.………………9分

（Ⅲ）取中点F，连结CF，BF，………………………………………10分

∵AB=，∴BF⊥.

∵AC==，∴CF⊥.

则∠BFC为二面角C-AB₁-B的平面角.……………………………12分

在Rt△BFC中，BF= ，BC=1，∠FBC=90°，

则tanBFC=.……………………………………………………13分

∴∠BFC=arctan.………………………………………………14分

即二面角C--B的大小为arctan.

法二：（Ⅰ）同法一.

（Ⅱ）建立空间直角坐标系B-xyz，如图，

则B(0,0,0), A(1,0,0) ,

C(0,1,0), B₁(0,0,1),

A₁(1,0,1),D(,,).

………………………6分

则=(,,),

=(-1,1,0),

=(-1,0,1).

∴?=0，?=0.

……………………………8分

∴BD⊥AC，BD⊥，

且AC∩=A.

∴BD⊥平面.………………………………………………………9分

（Ⅲ）∵BC⊥，BC⊥AB，AB∩=B，

     ∴BC⊥平面.

∴=(0,1,0)是平面的法向量. ………………………………11分

由（Ⅱ）可知=(,,)是平面的法向量.

          cos＜,＞= ==.………………………13分

          即二面角C--B的大小为arccos.……………………………14分

（18）（共14分）

解：(Ⅰ) ∵切点为（1，3），∴k+1=3，得k=2. …………………………………1分

∵f′(x)=3x²+a，∴f′(1)=3+a=2，得a=-1. ……………………………2分

则f(x) =x³-x+b.

由f(1)=3得b=3. …………………………………………………………3分

∴f(x)=x³-x+3. ……………………………………………………………4分

(Ⅱ)由f(x)=x³-x+3得f′(x)=3x²-1,

令f′(x)= 3x²-1＞0，解得x＜-或x＞.…………………………6分

∴函数f(x)的增区间为(-∞，-)，(，+∞). …………………8分

(Ⅲ)F(x)=x³-3x，F′(x)=3x²-3

   令F′(x)=3x²-3=0，得x₁=-1,x₂=1. ………………………………………10分

   列出x，F′(x)，F(x)关系如下：

x

0

(0,1)

1

(1,2)

2

F′(x)

-

0

+

F(x)

0

递减

极小值

-2

递增

2

……………………………………………………………………………12分

∴当x∈[0,2]时，F(x)的最大值为2，最小值为-2. ……………………14分

（19）（共14分）

解：（Ⅰ）∵S_n+1=4a_n-2(n=1, 2, 3…)，

∴S₂=4a₁-2=6.

∴a₂=S₂- a₁=4. ……………………………………………………………2分

同理可得a₃=8. ……………………………………………………………3分

（Ⅱ）∵S_n+1=4a_n-2(n=1, 2, 3…)，

∴S_n =4a_n-1-2(n≥2). ……………………………………………………4分

 两式相减得：a_n+1=4a_n-4a_n-1………………………………………………5分

变形得：a_n+1-2a_n=2a_n-4a_n-1=2(a_n-2a_n-1)(n≥2)

则：a_n-2a_n-1=2(a_n-1-2a_n-2) (n≥3)…………………………………………6分

a_n-2a_n-1=2(a_n-1-2a_n-2)=2²(a_n-2-2a_n-3) =2³(a_n-3-2a_n-4) =…=2^n-2(a₂-2a₁)

∵a₂-2a₁=0 ∴a_n-2a_n-1=2^n-2(a₂-2a₁) =0.

数列{a_n -2a_n-1}是常数列. …………………………………………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：a_n=2a_n-1 (n≥2).

数列{ a_n}是以2为首项，以2为公比的等比数列.

∴a_n=2ⁿ，………………………………………………………………10分

∴?＜.………………………………12分

+…+＜++…+=.………………………14分

（20）（共14分）

解：（Ⅰ）设椭圆方程为：=1(a＞b＞0).

         由2b=2得b=1. …………………………………………………………1分

又=，

        ∴解得a=，c=1.

        ∴椭圆方程为：.…………………………………………3分

离心率e=.………………………………………………………4分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知点F坐标为(1,0),又直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k,

则AB的方程为y=k(x-1). ………………………………………………5分

由得(1+2k²) x²-4k²x+2k²-2=0   (*)………………………6分

设A(x₁+ y₁)，B(x₂+ y₂)，则x₁，x₂是（*）方程两根，且x₁＜x₂，

∴x₁=.

∵AD∥BC∥x轴，且|BC|=|AD|,

∴

解得k=±1.

∴直线AB的方程为x- y- 1=0或x+y- 1=0. …………………………8分

（Ⅲ）∵点F（1，0），E（2，0），∴EF中点N的坐标为（，0）.

①当AB⊥x轴时，A（1，y₁），B（1，- y₁），C（2，-y₁），

那么此时AC的中点为（，0），即AC经过线段EF的中点N. ………9分

②当AB不垂直x轴时，则直线AB斜率存在，

设直线AB的方程为y=k(x-1), …………………………………………10分

由（*）式得.

又∵＜2，得≠0,

故直线AN，CN的斜率分别为

∴?.

又∵

∴

且AN，CN有公共点N，∴A，C，N三点共线.

∴直线AC经过线段EF的中点N.

综上所述，直线AC经过线段EF的中点. …………………………………14分

说明：其他正确解法按相应步骤给分.