海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习
数 学（理科） 2008.4
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3
至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
答卷前将学校、班级、姓名填写清楚。
选择题的每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。其他小
题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
（1）
的值等于 ( )
（A）1 （B）i （C）-1 （D）－i
（2）若O是△ABC所在平面内的一点，且满足(
+
)?（-
）=0，则△ABC一定是( )
（A）等边三角形 （B）斜三角形
（C）等腰直角三角形 （D）直角三角形
（3）若函数y=f (x)的定义域为M={x|-2≤x≤2}，值域为N={y|0≤y≤2}，则函数y=f(x)
的图象可能是 ( )
 |
（4）若集合A={1,
m2}，集合B = {2，4} ，则“m =
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）已知圆x2 +(y-1)2=2上任一点P（x, y），其坐标均使得不等式x+y+m≥0恒成立，则实
数m的取值范围是 ( )
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧，为了支援南方
地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤. 某铁路货运站对6列电煤货
运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲、乙两列列车不在同一
小组，如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有 （ ）
（A）36种 （B）108种
（C）216种 （D）432种
（7）直线l过抛物线y2=x的焦点F,交抛物线于A,B两点,且点A在x轴上方，若直线l的倾斜角θ≥
，则|FA|的取值范围是 （ ）
（A）[
（B）(
（C）(
（D）(
（8）定义在R上的函数f (x)满足f (4)=1. f ′(x)为f(x)的导函数，已知函数y = f ′(x)的图象
如右图所示.若两正数a, b满足f (
的取值范围是 （ ）
（A）(
)
（B）
∪(3,+∞)
（C）
（D）(-∞,-3)
海 淀 区 高 三 年 级 第 二 学 期 期 中 练 习
数 学（理科） 2008.4
第Ⅱ卷（共110分）
注意事项：
1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
一
二
三
总分
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
分数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.
（9）若双曲线
=1(a>0)的一条渐近线方程为3x-2y=0，则a =
.
（10）若(1+x)n =1+a1x+a2x2+a3x3+…+xn(n∈N*)，且a1: a2 =1:3，则n=
.
（11）在北纬60°圈上有A，B两地，它们在此纬度圈上的弧长等于
(R是地球的半径)，则A，
B两地的球面距离为 .
（12）若向量a,b满足：(a-b)?(
.
（13）已知点P（2，2）在曲线y=ax3+bx上.如果该曲线在点P处切线的斜率为9，那么
ab= ；函数f(x)=ax3+bx, x∈[-
]的值域为
.
（14）数列{an}满足：a1=2,an=1-
(n=2，3，4，…)，则a4= ；若{an}有一个形如
an=Asin(ωn+
)+B的通项公式，其中A，B，ω，均为实数，且A>0, ω>0, ||< 
, 则
此通项公式可以为an= （写出一个即可）.
（15）(本小题共12分)
已知在△ABC中，A>B，且tanA与tanB是方程x2-5x+6=0的两个根.
（Ⅰ）求tan(A+B)的值；
（Ⅱ）若AB=5，求BC的长.
（16） (本小题共13分)
袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.
（Ⅰ）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；
（Ⅱ）采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记ξ为摸出白球的个数，求ξ的期望和方差.
（17）(本小题共14分)
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
如图，四棱锥P-ABCD中, PA⊥底面
ABCD,PC⊥AD.底面ABCD为梯形，
AB∥DC, AB⊥BC. PA=AB=BC, 点E在棱
PB上，且PE=2EB.
（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PCB;
（Ⅱ）求证：PD∥平面EAC;
（Ⅲ）求二面角A-EC-P的大小.
（18）（本小题共14分）
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1,Sn = nan - 2n(n-1) (n=1，2，3…).
(Ⅰ)求证：数列{an}为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式;
(Ⅱ)求
；
(Ⅲ)是否存在自然数n，使得S1+
+…+
=400?若存在，求n的值；若不
存在，说明理由.
（19）(本小题共13分)
已知点A,B分别是射线l1:y=x(x≥0)，l2:y = -x(x≥0)上的动点, O为坐标原点，且△OAB的面积为定值2.
（Ⅰ）求线段AB中点M的轨迹C的方程;
（Ⅱ）过点N（0，2）作直线l,与曲线C交于不同的两点P,Q，与射线l1, l2分别交于点
R，S，若点P,Q恰为线段RS的两个三等分点，求此时直线l的方程.
（20）（本小题共14分）
一个函数f(x)，如果对任意一个三角形，只要它的三边长a,b,c都在f (x)的定义域内，就有f(a), f(b), f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.
(Ⅰ)判断f 1(x)= 
, f 2(x)=x, f
3(x)= x 2中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；
(Ⅱ)如果g(x)是定义在R上的周期函数, 且值域为(0，+∞), 证明g(x)不是“保三角形函数”；
(Ⅲ)若函数F(x)=sinx, x∈(0, A)是“保三角形函数”，求A的最大值.
（可以利用公式sinx+siny=2sin
）