海淀区高三年级第一学期期中练习

数  学（文科）                     2008.11

学校          班级          姓名

题号

一

二

三

总分

（15）

（16）

（17）

（18）

（19）

（20）

分数

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(2)函数f (x)=x2－1(x＞0)的反函数是                                                                        (    )
(A)f －1(x)=(x＞－1)                                  (B)f －1(x)=(x＞0)
(C)f －1 (x)=－(x＞－1)                              (D)f －1 (x)=－(x＞0)

(3)已知a∈R，则“|a|＞2”是“a2＞4”的                                                               (    )
(A)充分而不必要条件                                     (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件                                            (D)既不充分也不必要条件

(4)从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有         (    )
(A)30种                         (B)36种                       (C)42种                       (D)60种

试题详情

(5)下列函数中既是奇函数，又在[－1，1]上是增函数的是                                      (    )
(A)y=2x                                (B)y=－                    (C)y=－sinx                  (D)y=x3+2x

试题详情

(6)函数f (x)=2|x-1|的图象是                                                                                       (    )

         (A)           (B)                           (C)                             (D)

(7)已知数列{an}的前n项的和Sn=an－1(a是不为0的实数)，那么{an}                      (    )
(A)一定是等差数列
(B)一定是等比数列
(C)或者是等差数列，或者是等比数列
(D)既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

(8)定义在R上的函数f (x)，如果存在函数g (x)=kx+b(k，b为常数)，使得f (x)≥g (x)对一切实数x都成立，则称g (x)为函数f (x)的一个承托函数.现有如下命题：
①对给定的函数f (x)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②g(x)=2x为函数f (x)=2x的一个承托函数；
③定义域和值域都是R的函数f (x)不存在承托函数.
其中正确命题的序号是    (    )
(A)①                             (B)②                           (C)①③                       (D)②③

(9)已知1，x，9成等比数列，则实数x等于           .

试题详情

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.

(10)(x2+)5的展开式中x4的系数是         . (用数字作答)

试题详情

(11)函数f (x)=+log2(2x－1)的定义域是       　　　　  .

试题详情

(12)已知等差数列{an}中，Sn表示其前n项和，且S1=1，S19=95，则a19=              ，
S10=         .

试题详情

(13)为了了解某地区高三学生的身体发育    情况，抽查了该地区100名年龄为    17.5岁至18岁的男生的体重情况，并    将统计结果画成频率分布直方图(如    图)，则此100名男生中体重在 [58.5，64.5)kg的共有  　　　人.

 

 

(14)已知关于x的不等式x2－ax+2＞0，若此不等式对于任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是  　　　；若此不等式对于任意的x∈(2，3]恒成立，则实数a的取值范围是
  　　   　.

试题详情

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(15)(本小题共12分)
    已知全集U=R，不等式＜0的解集为A，不等式|x－2|＜l的解集为B.
(Ⅰ)求A，B；
(Ⅱ)求(UA)∩B.

 

 

 

(16)(本小题共13分)
    已知函数f (x)=x3+ax2+2，且f (x)的导函数f ′ (x)的图象关于直线x=1对称.
(Ⅰ)求导函数f ′ (x)及实数a的值；
(Ⅱ)求函数y=f (x)在[－1，2]上的最大值和最小值.

 

 

 

(17)(本小题共14分)
    现有24名学生(学号依次为1号到24号)，参加一次扎染艺术活动，每人染一件形状大小都相同的布艺作品.要求：学号是6的倍数的同学领蓝色染料，学号为8的倍数的    同学领黄色染料，其余同学只能领红色染料，其中能同时领到蓝色和黄色染料的同学，必须把这两种染料混合成绿色染料进行扎染.
(Ⅰ)求任取一件作品颜色为绿色的概率；
(Ⅱ)求任取一件作品颜色为红色的概率；
(Ⅲ)任取一件作品记下颜色后放回，求连续取三次至少有两次取出的作品颜色为红色的

    概率.

 

 

 

 

 

(18)(本小题共13分)
    数列{an}[满足a1=－1，且an=3an－１－2n+3(n=2，3，…).
(Ⅰ)求a2，a3，并证明数列{an－n}是等比数列；
(Ⅱ)求a1+a2+a3+…+an的值.

 

 

 

 

 

(19)(本小题共14分)
    已知函数f (x)=x3+bx2+cx+5，且曲线y=f (x)在点(0，f (0))处的切线与x轴平行.
(Ⅰ)求实数c的值；
(Ⅱ)判断是否存在实数b，使得方程f (x)－b2x=0恰有一个实数根.若存在，求b的取值范围；若不存在，请说明理由.

 

 

 

 

试题详情

(20)(本小题共14分)
    设f (x)是定义在D上的函数，若对D中的任意两个实数x1，x2(x1≠x2)，恒有
f (x1+x2)＜f (x1)+f (x2)，则称f (x)为定义在D上的T函数.
(Ⅰ)试判断函数f (x)=x2是否为其定义域上的T函数，并说明理由；
(Ⅱ)若函数f (x)是R上的奇函数，试证明f (x)不是R上的T函数；
(Ⅲ)若对任何实数α∈(0,1)以及D中的任意两个实数x1，x2，恒有
f (αx1+(1－α)x2)≤αf (x1)+(1－α)f (x2)，则f (x)为定义在Ｄ上的Ｃ函数.已知f (x)是R上的Ｃ函数，m是给定的正整数，设an=f(n)(n=0，1，2，…，m)，且a0=0,am=2m,记Sf=a1+a2+…+am.对于满足条件的任意函数f (x)，试求Sf的最大值.

 

 

 

 

 

海淀区高三年级第一学期期中练习

试题详情

数  学（文科）                     2008.11

试题详情

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

题号

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

答案

B

A

C

B

D

B

C

A

 

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.第一个空3分，第二个空2分)

(9)±3(丢一个不给分)    (10)10    (11)   

(12)9，30    (13)34    (14)(－2，2)，(－∞，3]

三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

(15)(本小题满分12分)

   解：(Ⅰ)由＜0.

得－2＜x＜2.

    　 ∴A＝{x|－2＜x＜2}.……………………………………………………………3分

    由|x－2|＜1.

       得1＜x＜3.

       ∴B={x|l＜x＜3}.…………………………………………………………………6分

       (Ⅱ)∵A＝{x|－2＜x＜2}，U＝R，

          ∴UA＝{x|x≤－2或x≥2}.……………………………………………………9分

          ∴(U A)∩B＝{x|2≤x＜3}.……………………………………………………12分

(16)(本小题满分13分)

   解：(Ⅰ)由f (x)＝x3+ax2+2得

   f ′ (x)=3x2+2ax.………………………………………………………………………………3分

   ∵f ′ (x)图象关于直线x=l对称，

   ∴－＝1.

   ∴a＝－3.……………………………………………………………………………………6分

   (Ⅱ)由(Ⅰ)知f (x)＝x3－3x2+2，f ′ (x)＝3x2－6x.

      令f ′ (x)＝0得x1＝0，x2＝2.……………………………………………………………8分

   当x在[－1，2]上变化时，f ′ (x)，f (x)的变化情况如下表

 

 

x

－1

(－1，0)

0

(０，2)

2

f ′ (x)

 

＋

0

－

0

f (x)

－2

ㄊ

2

ㄋ

－2

……………………………………………………………………………………………12分

   由上表可知，当x＝－1或2时，函数有最小值－2，当x=0时，函数有最大值2.

   ……………………………………………………………………………………………13分

(17)(本小题满分14分)

   解：(Ⅰ)设任取一件作品颜色为绿色的事件为A. ………………………………………1分

   P(A)＝.………………………………………………………………………………… 4分

   答：任取一件作品颜色为绿色的概率为.

   (Ⅱ)设任取一件作品颜色为红色的事件为B ……………………………………………5分

   P(B)=1－………………………………………………………………………… 7分

   ＝l－＝.……………………………………………………………………………… 8分

   答：任取一件作品颜色为红色的概率为.

   (Ⅲ)设任取一件作品记下颜色后放回，连续取三次至少有两件作品为红色的

   事件为C.……………………………………………………………………………………9分

   P(C)＝()2()+()3()0………………………………13分(其中两个算式各2分)

       ＝.…………………………………………………………………………………14分

  答：任取一件作品记下颜色后放回，连续取三次至少有两件作品为红色的概率为.

(18)(本小题满分13分)

   解：(Ⅰ)∵a1=－1，且an=3an－l－2n+3，(n=2，3，…)

   　　　 ∴a2=3al－4+3=－4，…………………………………………………………… 2分

          a3=3a2－6+3=－15…………………………………………………………………4分

  当n≥2时，有

   an－n=3an－1－2n+3－n＝3(an－1－n＋1) …………………………………………6分

   且a1－1=－2≠0，…………………………………………………………………7分

   所以数列{an－n}(n＝1，2，…)是一个以－2为首项，3为公比的等比数列……

          ……………………………………………………………………………………8分

   (Ⅱ)由(Ⅰ)可得an－n＝－2?3n－１，

　 　 ∴an＝n－2?3n－1……………………………………………………………………9分

         ∴a1+a2+a3+…+an＝(1－2×1)＋(2－2×3)＋(3－2×32)＋…＋(n－2×3n－1)

         ＝(1＋2＋3＋…＋n)－(2×1+2×3+2×32+…+2×3n－1) ………………………11分

         ＝.……………………………………………13分

(19)(本小题满分14分)

   解：(Ⅰ)∵曲线y=f (x)在点(0，f (0))处的切线与x轴平行，

      ∴f (0)＝0. ………………………………………………………………………………2分

      又f ′ (x)=3x2+2bx+c，则f ′ (0)＝c＝0.…………………………………………………4分

   (Ⅱ)由c＝0，方程f (x)－b2x＝0可化为x3+bx2－b2x+5＝0，

      假设存在实数b使得此方程恰有一个实数根，

      令g (x)＝x3+bx2－b2x＋5，则g (x)极大值＜0或g (x)极小值＞0.

      ∴g′ (x)=3x2+2bx－b2＝(3x－b)(x＋b).

      令g′ (x)＝0，得x1＝，x2＝－b.……………………………………………………5分

  ①若b＝0，则方程f (x)－b2x＝0可化为x3＋5＝0，此方程恰有一个实根

      x＝－.………………………………………………………………………………6分

   ②若b＞0，则＞－b，列表：

x

(?∞，?b)

－b

(－b，)

(，＋∞)

g′ (x)

＋

０

－

０

＋

g (x)

ㄊ

极大值

ㄋ

极小值

ㄊ

 

    ∴g (x)极大值＝g(－b)＝b3+5＞0，g (x)极小值＝g ()＝－＋5.

    ∴－＋5＞0，解之得0＜b＜3. ……………………………………………………9分

　　③若b＜0，则＜－b，列表：

x

(?∞，)

(，－b)

－b

(－b，＋∞)

g′ (x)

＋

０

－

０

＋

g (x)

ㄊ

极大值

ㄋ

极小值

ㄊ

 

   ∴g (x)极大值＝g ()＝－＋5＞0，g (x)极小值＝g(－b)＝b3+5.

   ∴b3+5＞0，解之得b＞－.

   ∴－＜b＜0. …………………………………………………………………………12分

   综合①②③可得，实数b的取疽范围是(－，3).…………………………………14分

(20)(本小题满分14分)

   解：(Ⅰ)f (x)＝x2是其定义域上的T函数，………………………………………………2分

       证明如下：

       对任意实数x1，x2(x1≠x2)，

       有f (x1＋x2)－f (x1)－f(x2)

   ＝(x1＋x2)2－－

       ＝－(x1－x2)2＜0.

  即f (x1＋x2)＜f (x1)＋f (x2).

   ∴f(x)＝x2是其定义域上的T函数.……………………………………………………4分

   (Ⅱ)假设f (x)是R上的T函数，取x1＝1，x2＝－1，

       则有f (×1+×(－1))＜f (1)＋f (－1).

   ∵f (x)是奇函数，

   ∴f (－1)＝－f (1)，f (?)＝－f().

       ∴f()＞f (1).(#)

   同理，取x1＝－1，x2＝1，可证f ()＜f (1).

   与(#)式矛盾.

   ∴f (x)不是R上的T函数.……………………………………………………………9分

   (Ⅲ)对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α＝∈[0，1].

       ∵f (x)是R上的C函数，an＝f (n)，且a0=0，am=2m，

   ∴an=f (n)=f (αx1+(1－α)x2)≤αf (x1)+(1－α)f (x2)=×2m=2n.

   那么Sf=a1+a2+…+am≤(2×(1+2+…+m)=m2+m.

   可证f (x)＝2x是C函数，且使得an＝2n (n＝0，l，2，…，m)都成立，

   此时Sf=m2+m.

   综上所述，Sf的最大值为m2+m.………………………………………………………14分

说明：其他正确解法按相应步骤给分.