1、矩阵的乘法：不满足交换律，满足结合律、分配律、0-1律

两个二阶矩阵的乘法结果为

2、一个二阶非零矩阵存在逆矩阵的条件是ad-bc≠0（主对角线积与副对角线积的差不为0），此时^-1=

3、方程组的另外解法

（1）行列式法D＝，D_x＝，D_y＝，所以，方程组的解为

（2）矩阵表示为AX=B,这样X=A^-1B

  4、M=，λ₁、λ₂为其一个特征值，对应的特征向量为、，则对于任意正整数n及， Mⁿ= aλ₁ⁿ+bλ₂ⁿ

二、应用

例1、A、B、C是三个城市交通情况，某人想从一个城市到另一城市，有几种选择；如果从一个城市出发，先经过一个城市再到另一个城市，有几种选择？

解：(1)         M=

(2)N=

这种表示关系的图形称为网络图，其中交点称为结点；对应的（1）反映直达交通情况的矩阵称一级路矩阵；通过另一个点的矩阵称为二极路矩阵，可以看出N=M²

练习1：有一个一级路矩阵，画出其网络图（）

练习2：写出七桥问题的一级路矩阵M和二级路矩阵N（一区域变为点，桥变为线）

（M=         N=）

  例2、密码发送的流程图如图所示，其原理是：发送将要传送的信息数字化后用一个矩阵X表示，在矩阵左边乘一个双方约定好的可逆方阵A，得到B=AX，即B为传送出去的密码。接受方接到密码后，只需左乘A^-1，即可得到明文X=A^-1B。

以二阶矩阵为例，先将英文字母数字化，让a→1,……,z→26（具体发送时，个位数前加0，如1为01）先已发送密码为07，13，39，67，双方约定可逆矩阵密钥为，试破解发送的密码

解：令B=，则A=，AX=B，X=A^-1B==

即发送的明文为back

这里，矩阵A称密钥

例3、自然界生物种群的成长受到多种条件因素的影响，比如出生率、死亡率、资源的可利用性与竞争、捕食者的猎杀乃至自然灾害等等。因此，它们和周边环境是一种既相生又相克的生存关系。但是，如果没有任何限制，种群也会泛滥成灾。现假设两个互相影响的种群X，Y随时间段变化的数量分别为{a_n}，{b_n}，并有关系式，其中a₁＝6，b₁＝4，试分析20个时段后这两个种群的数量变化趋势。

解：设=，M=，=M，M的特征多项式f(λ)==0故特征值为4或-1，对应的特征向量分别是=，=，=2+2

=M²⁰=2×4²⁰+2×(-1)²⁰≈

所以，20个时段后这两个种群的数量分别约为2⁴²和3×2⁴¹