1．小孩子数数：小孩子识数，先学会1个、2个、3个，过些时候可以数到10了，又过些时候，会数到20、30、……、100了。但后来不是一段一段的增长，而是飞跃前进，直到有一天，他会说：“我什么数也会数了”，这一飞跃竟然从有限过渡到了无限！为什么呢？首先，他知道从头数；其次，他知道一个个按次序数，而且不愁数了一个数后，下一个数不会数，也就是领悟了用上一个数表示下一个数的方法。从而什么数也会数了。

  2．“多米诺骨牌实验”：第一个推倒，而且第一个倒后，能保证击倒下一个，就能保证所有的都倒了。

将以上思路的核心是两点：一是初始情况成立，二是能保证前一个成立能倒出后一个也成立，将这一思路加以抽象，就是数学归纳法。标题：数学归纳法

【探索研究】

（1）（递推奠基）：当n取第一个值n₀结论正确；

（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N^*，且k≥n₀)时结论正确；（归纳假设）

证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）

由(1)，(2)可知，命题对于从n₀开始的所有正整数n都正确。

【例题评析】

例1：求证：1²+2²+3²+……+n²=n(n+1)(2n+1)

说明：①数学归纳法的第一部到假设，用的是不完全归纳法，所以验证几个值与一个值是等效的（具体根据情况来确定验证的个数）

 ②第二步由假设P(k)真导P(k+1)真，进而验证所有的整数真，是演绎推理过程。因而，数学归纳法是合归纳与演绎为一体的推理。

练习1：求证=

练习2：设f(n)=1+,求证n+f(1)+f(2)+…f(n-1)=nf(n)  (n∈N,n≥2)

例2、教材P88---2

说明1、数学归纳法证明问题时，必须验证第一步初始情况

说明2：第二步必须用假设，不用假设不能保证前一个成立能导出后一个成立

练习：用数学归纳法证明

[课堂小结]1、 数学归纳法原理：

（1）（递推奠基）：当n取第一个值n₀结论正确；

（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N^*，且k≥n₀)时结论正确；（归纳假设）

证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）

由(1)，(2)可知，命题对于从n₀开始的所有正整数n都正确。

2、用数学归纳法可以证明与自然数有关的一些数学问题，注意验证第一步，第二步要用假设

　　　[作业]教材P91----1,2,7,8

     [补充习题]

   1、f(n)= ,则f(n+1)-f(n)=_____________

2、P(n)是关于自然数的命题，且P(n)真P(n+1)真，若P(4)假，则一定假的有_________

3、已知数列{a_n}满足a₁=1,a_n=3^n-1+a_n-1(n≥2)，通过计算a₂,a₃,猜想a_n通项公式，并证明

[补充题答案]

1、；   2、P(0)、P(1)、P(2)、P(3)、P(4)；  3、a_n=

              第二课时  数学归纳法证明问题的题型

[教学目标]

[教学难点、重点]题型

[教学过程]

例1、设n为正整数，f(n)=5ⁿ+2×3ⁿ+1   (1)计算f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值，并求其最大公约数；(2)猜想f(n)的最大公约数，并证明

通过此例主要说明在“计算――猜想――证明”这一完整的思路中，证明最常用的方法是数学归纳法。

练习1：求数列{n³+5n}的最大公约数，并证明

练习2：求证: 能被整除（n∈N⁺）

例2、平面上有n条线段，任何两条直线都相交，任何三条不过同一点，问：这n条直线将平面分成多少个部分？

说明：注意分析f(k)和f(k+1)的关系。

练习：教材P90---练习3

例3、f(k)表示关于x的不等式log₂x+log₂(3×2^k-1-x)≥2k-1(k∈N^*)的解集中整数解的个数

(1)  求f(k)的解析式

(2)  求S_n=f(1)+f(2)+……+f(n)

(3)  令P_n=n²+n-1,比较S_n与P_n的大小

解：(1)原不等式表示为log₂[x(3×2^k-1-x)]≥2k-1,x²-3×2^k-1x+2^2k-1≤0，2^k-1≤x≤2^k,f(2)=2^k-2^k-1+1

=2^k-1+1

(2)S_n=2ⁿ-1+n

(3)S₁=2,P₁=1,S₁>P₁;  S₂=5,P₂=5,S₂=P₂;   S₃=10,P₃=11,S₃<P₃;S₄=19,P₄=19,S₄=P₄; S₅=36,P₅=29,S₅>P₅

猜想，n≥4时，S_n≥P_n

证明：①由上验证，n=4时，命题成立

②假设n=k(k≥4)时，命题成立，即S_k≥P_k2^k-1+k≥k²+k-12^k≥k²,

则S_k+1=2^k+1-1+k+1≥2k²-1+k+1=2k²+k≥(k+1)²+(k+1)-1=P_k+1(事实上，要证2k²+k≥(k+1)²+(k+1)-1k²-2k-1≥0k≥1+，∵k≥4∴k≥1+成立 ∴S_k+1≥P_k+1)

由①、②知，n≥4时，S_n≥P_n

总之，当n=1及n≥5时，S_n>P_n；当n=2,4时，S_n=P_n；当n=3时，S_n<P_n

说明：用假设后，分析P(k+1)真时k满足的条件集合A，如果A={k|k≥t,t>n₀},需将假设修正为k≥t，从而第一步需多验证几个值，一直到t；如果A={k|k≤t}与k≥n₀总有相悖的值存在，此时，该题不能用数学归纳法证明。所以，数学归纳法是用来证明一些与自然数有关的命题的一种方法。

[补充习题]

1、  证明(x+1)ⁿ⁺¹+(x+2)^2n-1(n为正整数)能被x²+3x+3整除

2、  求证：平面上n边形内角和为(n-1)180⁰  (n≥3)

3、  设数列{a_n}满足(1)求证a_n>对一切正整数n成立   (2)令b_n=,判断b_n与b_n+1的大小关系，并证明

[补充习题答案]

3(2)b_n+1<b_n