1．椭圆的定义是什么？

平面内与两定点F₁、F₂的距离的和等于常数(大于|F₁F₂|)的点的轨迹叫做椭圆．教师要强调条件：(1)平面内；(2)到两定点F₁、F₂的距离的和等于常数；(3)常数2a＞|F₁F₂|．

2．椭圆的标准方程是什么？

3．双曲线的定义是什么？

平面内与两定点F₁、F₂的距离的差的绝对值是常数(小于|F₁F₂|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F₁、F₂叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．

思考：1．若常数要等于|F₁F₂|，则图形是什么？

      2．若常数要大于|F₁F₂|，能画出图形吗？

3．定点F₁、F₂与动点M不在平面上，能否得到双曲线？（强调“在平面内”）

4．|MF₁|与|MF₂|哪个大？（当M在双曲线右支上时，|MF1|＞|MF2|；当点M在双曲线左支上时，|MF1|＜|MF2|）

 (二)双曲线的标准方程的推导方程（建――设――显――代――化）

提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．

 (1)建系设点，以F₁F₂ 所在直线为x轴，F₁F₂的中垂线为y轴建立直角坐标系，设M（x，y）为双曲线任一点，| F₁F₂ |=2c（c＞0）

(2)定集合：P=｛M||MF₁|－|MF₂|=±2a｝(2a＜2c）

(3)写方程并化简：－=±2a.=±2a＋ cx-a²=±a(c²－a²)x²+a²y²=a²(c²－a²)

∵2a＜2ca＞c＞0，∴可令c²－a²=b²(如图)代入有： －=1（a＞0，b＞0）

 类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程．

类比：椭圆的方程可以写成mx²+ny²=1(m,n为正数，m≠n),双曲线方程可以写成什么形式？（mx²+ny²=1，mn<0）

练习：教材练习1，2（重在说明待定系数法求双曲线方程的步骤）

（三）例题讲解

例1 、方程8kx²-ky²=8

(1)若它表示一双曲线方程，求k的范围；(2)表示椭圆方程，求k的范围；(3)与椭圆=1有公共焦点的椭圆，求k的值；

解：(1)k²>0,k≠0；    (2)k<0;     (3)k=1

例2、已知，两地相距，一炮弹在某处爆炸，在处听到炮弹爆炸声的时间比在处迟2s，设声速为．

 （1）爆炸点在什么曲线上？

 （2）求这条曲线的方程。

分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知，两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．

（解答： ）

思考：有几个观测点可以确定爆炸点的位置？（至少三个）

作业：教材P37----习题2.3(1)

[补充习题] 讨论方程(k-1)x²+(2-k)y²=-k²+3k-2表示的曲线

解：k-1=0即k=1时，方程为y=0表示x轴；

2-k=0即k=2时，方程为x=0表示y轴

当k≠1且k≠2时，方程为+=1

   当2-k>k-1>0即1<k<时，方程表示焦点在x轴上的椭圆

当2-k=k-1>0即k=时，方程为x²+y²=,表示圆

当0<2-k<k-1即<k<2时，方程表示焦点在y轴上的椭圆

当2-k<0<k-1即k>2时，方程表示焦点在y轴上的双曲线

当k-1<0<2-k即k<1时，方程表示焦点在x轴上的双曲线

[教后感想与作业情况]

§2．3．2　双曲线的简单几何性质（1）――性质

[教学目标]

[教学重点]双曲线的几何性质及初步运用。

[教学难点]双曲线的渐近线。

[教学过程] (一)复习提问引入新课：1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？        下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．

(二)类比联想得出性质(范围、对称性、顶点)   引导学生完成下列关于椭圆与双曲线性质的表格

思考：1、从双曲线的图形上，还能看出什么范围？

（由双曲线方程－=1（a＞0，b＞0）得到－＞0，（-）(+)>0,这样或，对应区域为）

思考2：关于x轴、y轴、原点对称的方程如何用式子表示？（一般的曲线C:f(x,y)=0也成立,即：对任意x,y，f(-x,y)=0则曲线C关于y轴对称；f(x,-y)=0则曲线C关于x轴对称;f(-x,-y)=0则曲线C关于原点对称，用之常检验曲线的对称性）

    (三)渐近线：双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内，那么从x,y的变化趋势看，双曲线与直线具有怎样的关系呢？

根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线的关系。双曲线在第一象限的部分可写成：

设M(x,y)是其上面的点，N(x,y_N)是直线y=上与M相同的横坐标的点MN=y_N-y=-=；当x逐渐增大时，MN逐渐减小，x无限增大，MN接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．

这样，我们将称双曲线的渐近线。由渐进线可以大致作出双曲线的图形。特别的，当a=b时的双曲线称等轴双曲线。

思考：等轴双曲线的渐近线是什么？（y=±x）

 (四)离心率:与椭圆类似，将双曲线焦距与实轴的比值称此双曲线的离心率，e=

  思考：椭圆的离心率反应椭圆的扁圆程度，双曲线离心率反应什么呢？（由于==，这样e越大，就越大双曲线的开口就越开阔．所以离心率反应了双曲线的开阔程度）

思考：双曲线=1（a>0,b>0）有哪些基本性质？

课堂练习：教材P41----练习题

 [小结]双曲线的基本性质，与椭圆不同的是加了渐近线

[作业]教材P41---习题2.3(2)1，2，3，4，8

[补充习题]

1、经过双曲线上任一点，作平行于实轴的直线，与渐近线交于两点，则___________；作平行于虚轴的直线，与渐近线交于两点，则到的距离之积为定值， 。

2、求证：由双曲线的一个焦点向一渐近线作垂线，垂线段长为定值，等于，并求垂足的横坐标。

[答案]

1、a²,b²

2、证明：如图2，设焦点，渐近线，即，

由点到直线的距离公式得：；

又过点且与渐近线垂直

的直线方程为:，

两方程联立解得交点坐标为，显然该点的横坐标。

教后感想与作业情况

                        2.3.2双曲线性质（2）――离心率和渐近线

[教学目的]

[教学难点、重点]渐近线与双曲线方程间关系

[教学过程]

   例1、(1)求等轴双曲线的离心率；（2）一条双曲线渐近线方程为y=±x，求其离心率；(3)若双曲线两条渐近线的夹角为60⁰，求其离心率

   解：(1)e=

(2)双曲线方程为时，=，e=;方程为时，=，e=;总之，离心率为或

说明：由渐近线可以确定双曲线的离心率，如图，可以看出e==

(3)夹角为60⁰,双曲线可能在夹角范围内，也有在其补角范围内，即渐近线与轴的夹角为30⁰或60⁰；e==或e==2

变形练习1：“双曲线离心率为”是“双曲线为等轴双曲线”的__________条件（充要）

变形练习2：若双曲线两条渐近线的夹角为α，求其离心率（或）

例2、P为双曲线上一点，F是其右焦点，(1)求PF的最值及此时点P的坐标；(2)若集合A={(x,y)| ,a、b>0},集合B={(x,y)|(x-c)²+y²=r²,其中c=，r>0},求A∩B元素的个数

解：(1)设P(x,y),PF²=(x-c)²+y²=x²-2cx+c²+(-1)b²=x²-2cx+a²(x≤-a或x≥a),由图象知x=a时PF²_min=(c-a)²,PF_min=c-a,此时P(a,0);PF无最大值

（说明：该结论可以先从图中看出，再进行验证）

(2)由(1) PF_min=c-a,故r<c-a时，A∩B有0个元素；r=c-a时，A∩B有1个元素；c-a<r<c+a时，A∩B有2个元素；r=c+a时，A∩B有3个元素；r>c+a时，A∩B有4个元素

例3、（1）写出与的渐近线方程，由此说明（λ≠0）的渐近线方程是什么？

（2）写出与-=1的渐近线方程，由此说明（λ≠0）的渐近线方程是什么？

（3）由(1)(2)你能得到什么结论？

（4）求与=1有公共渐近线且过点（15，4）的双曲线方程

解：（1）y=±x，

(2)y=±x，

(3) 双曲线与渐近线方程具有统一形式，其中λ≠0为双曲线方程，λ=0时为相应的渐近线方程

（4）设双曲线方程为=λ，将(15,4)代入得λ=8，从而双曲线方程为=8

2、双曲线与渐近线方程具有统一形式，其中λ≠0为双曲线方程，λ=0时为相应的渐近线方程

[补充习题]

1、已知双曲线的两个焦点分别是，点为双曲线上的一点，且，则的面积等于

A、0.5          B、1          C、3          D、6

2、已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则点在

A、第一象限      B、第二象限      C、第三象限        D、第四象限

3、椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为

A、        B、        C、        D、

4、若焦点在轴上的双曲线方程是，则其焦距的取值范围是         

5、（1）双曲线上任意一点到两条渐进线的距离的乘积是一个定值；（2）经过双曲线上任一点，作平行于两渐近线的直线，与渐近线交于两点，则平行四边形的面积为定值，求此定值。

 [答案]

1、C

2、C

3、A

4、-2<k<1

5、（1）设双曲线的方程为  所以渐近线方程为；到的距离  到的距离

*又在双曲线上 所以 即    故*可化为

（2）证明：设点到两渐近线的距离分别为，两渐进线的夹角为，则有： ，

代入上式并整理得：。

教后感想与作业情况