北京市西城区2009年抽样测试
高三数学试卷(文科) 2009.1
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.
题号
一
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
分数
第Ⅰ卷 (选择题 共40分)
一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目
1.若集合A={1,2,3,4},B={2,4,7,8},C={1,3,4,5,9},则集合(A∪B)∩C等于( )
A.{2,4} B.{1,2,3,4}
C.{2,4,7,8} D.{1,3,4}
2.若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(a?b)( a+b)等于( )
A.20 B.(-10,30)
C.54 D.(-8,24)
3.若tanα=,且sinα?cotα<0,则sinα等于( )
A.- B.
C.- D.
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4.已知函数f(x)=3x,那么函数f (x)的反函数f-1(x)的定义域为( )
A.{x| x >1} B.{ x | x >0}
C.{ x | x >0且x≠l} D.R
5.已知m是平面α的一条斜线,点Aα,l为过点A的一条动直线,那么下列情形可能
出现的是( )
A.l∥m,l⊥α B.l⊥m,l⊥α
C.l⊥m, l∥α D.l∥m, l∥α
6.分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,且
每个居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有( )
A.A43种 B.A
C.C
7.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
8.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一
棵树与两墙的距离分别是am (0<a<12)、
的粗细.现在想用
形的花圃ABCD.设此矩形花圃的最大面积为S,若将这
棵树围在花圃内,则函数S=f(a)(单位m2)的图象大致是( )
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高三数学试卷(文科) 2009.1
第Ⅱ卷 (共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.
9.若双曲线的离心率为2,两焦点坐标为(-2,0),(2,0),则此双曲线的方程为
.
10.已知实数x,y满足 则z=2x+4y的最大值为 .
11.在(2x+)6的展开式中,常数项为 .
12.若A,B两点在半径为2的球面上,且以线段AB为直径的小圆周长为2π,则此球的表面积为 ,A,B两点间的球面距离为 .
13.对于函数f(x)=sin x,g(x)=cos x,h(x)= x+,有如下三个命题:
①f(x)-g(x)的最大值为;
②f [h(x)]在区间[-,0]上是增函数;
③将f(x)的图象向右平移个单位可得g(x)的图象.
其中真命题的序号是 .
14.已知f(x)、g(x)都是定义在R上的函数,如果存在实数m、n使得
h(x)= mf(x)+ ng(x),
那么称h(x)为f(x)、g(x)在R上生成的一个函数.
设f(x)=x2+x、g(x)=x+2,若h(x)为f(x)、g(x)在R上生成的一个偶函数,且f(1)=3,则函数h(x)= .
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三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分12分)
在△ABC中,a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边,设a=4,c=3,cos=.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)求△ABC的面积.
16.(本小题满分12分)
在甲、乙两个批次的某产品中,分别抽出3件进行质量检验.已知甲、乙批次每件产
品检验不合格的概率分别为、,假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响.
(Ⅰ)求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率;
(Ⅱ)求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多2件的概率.
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17.(本小题满分14分)
如图,在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.
(Ⅰ)求证:PD⊥BC;
(Ⅱ)求二面角B-PD-C的大小;
(Ⅲ)求点D到平面PBC的距离.
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18.(本小题满分14分)
设函数f(x)= x3-2x2+ax(a∈R)在其图象上一点A(2,m)处切线的斜率为-1.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数f(x)在区间(b-1,b)内的极值.
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19.(本小题满分14分)
给定抛物线C:y2=4 x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交A、B两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)设l的斜率为1,求以AB为直径的圆的方程;
(Ⅱ)设| FA|=2| BF|,求直线l的方程.
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20.(本小题满分14分)
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=l,数列{an+Sn}是公差为2的等差数列.
(I)求a2,a3;
(Ⅱ)证明数列{an-2}为等比数列;
(Ⅲ)判断是否存在λ(λ∈Z),使不等式Sn-n+l≥λan对任意的n∈N*成立,若存在,求出λ的最大值;若不存在,请说明理由.
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高三数学试卷(文科) 2009.1
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
B
A
B
C
C
B
C
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.x2-=1 10.14 11.160 12.16π, π 13.①② 14.-3x2+6
注:两空的题目,第一个空2分,第二个空3分.
三、解答题:本大题共6小题,共80分.
15.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:因为cos B=2cos2-1=, …………………………3分
在△ABC中,由余弦定理b2= a2+c2-2accos B,
得b2=16+9-24×=22,
所以b=; …………………………6分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知cos B=,B∈(0, π),
所以sim B=, …………………………9分
由三角形的面积公式S=acsin B,
得S=×4×3×=.
所以△ABC的面积为. …………………………12分
16.(本小题满分12分)
(Ⅰ)解:记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A. ……………1分
由题意,事件A包括以下两个互斥事件:
①事件B:有2件甲批次产品检验不合格.由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率公式,得P(B)=C23; ……………… 3分
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②事件C:3件甲批次产品检验都不合格.由相互独立事件概率乘法公式,得
P(C)=()3=;
所以,“至少有2件甲批次产品检验不合格”的概率为P(A)= P(B)+ P(C)= ;
……………… 6分
(Ⅱ)解:记“甲批次产品检验不合格件数比乙批次产品检验不合格件数多2件”为事件D.由题意,事件D包括以下两个互斥事件:
① 事件E:3件甲批次产品检验都不合格,且有1件乙批次产品检验不合格.其概率
P(E)=()
② 事件F:有2件甲批次产品检验不合格,且有0件乙批次产品检验不合格.其概率
P(F)=C23()2(1-).(1-)3=;
所以,事件D的概率为P(D)= P(E)+ P(F)= …………… 12分
17.(本小题满分14分)
方法一:(Ⅰ)证明:∵平面PCD⊥平面ABCD.
又平面PCD∩平面ABCD=CD,BC⊥CD.
∴BC⊥平面PCD, ……………………3分
∵PD平面PCD,
∴BC⊥PD; …………………4分
(Ⅱ)解:取PD的中点E,连接CE、BE,
∵△PCD为正三角形,
∴CE⊥PD,
由(Ⅰ)知BC⊥平面PCD,
∴CE是BE在平面PCD内的射影.
∴BE⊥PD,
∴∠CEB为二面角B-PD-C的平面角, ……………………7分
在△CEB中,∠BCE=90°,BC=2,CE=,
∴tan∠CEB==,
∴二面角B-PD-C的大小为arctan; …………………10分
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(Ⅲ)解:过D作DF⊥PC于F,
∵BC⊥平面PCD,
∴BC⊥DF.
∵PC∩BC=C.
∴DF⊥平面PBC,且BF∩平面PBC=F,
∴DF为点D到平面PBC的距离, …………………13分
在等边△PCD中, DC=2, DF⊥PC,
∴CF=1,DF=,
∴点A到平面PBC的距离等于. …………………14分
方法二:(Ⅰ)证明:取CD的中点为O,连接PO,
∵PD=PC,∴PO⊥CD,
∵平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=CD,
∴PO⊥平面ABCD, ………………………2分
如图,在平面ABCD内,过O作OM⊥CD交AB于M,
以O为原点,OM、OC、OP分别为x、y、z轴,建立空间
直角坐标系O-xyz,
则B(2,1,0),C(0,1,0),D(0,-l,0),P(0,0,),
∵=(0,-l,-),=(-2,0,0),
∴?=0,
∴BC⊥PD; …………………4分
(Ⅱ)解:取PD的中点E,连接CE、BE,如(Ⅰ)建立空间坐标系,则E(0,-,),
∵△PCD为正三角形,
∴CE⊥PD,
∵=(-2,-2,0),=(-2,-1,),
∴==,
∴BE⊥PD,
∴∠CEB为二面角B-PD- C的平面角, ………………………7分
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∵=(2,,-),=(0,,-),
∴cos∠BEC===,
∴二面角B-PD- C的大小为arccos ……………10分
(III)解:过点D作DF⊥平面PBC于F,
∴DF为点D到平面PBC的距离,设=h,
∵=(-2,0,0),= (0,-1,),
∴=0,即BC⊥CP,
∴△PBC的面积S△PBC=|BC|?|PC|=2,
∵三棱锥D-PBC的体积VD-PBC=VP-BCD,
∴S△PBC=S△BCD,即,解得h=,
∴点D到平面PBC的距离为. ……………14分
18.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:函数f(x)的导数 f′(x)= x2-4x+a, ………………2分
由题意,得f′(2)=-4+a=-1,
所以a=3,
故f(x)=x3-2 x2+3 x; ………………5分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知f′(x)= x2-4 x+3,
由f′(x)= x2-4 x+3=0,得x=1,或x=3.
x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x
(-∞,1)
1
(1,3)
3
(3,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
极大值
极小值0
………………8分
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所以,当b1或b-13时,函数f(x)无极值; ……………………10分
当b-1<1,且b>1时,函数f(x)在x=1时,有极大值,此时函数无极小值;
当b-1<3,且b>3时,函数f(x)在x=3时,有极小值0,此时函数无极大值;
当b-11,且b3时, 函数f(x)无极值. ……………………13分
故当b∈(-∞,1]∪[2,3]∪[4,+ ∞)时,函数f(x)无极值;
当b∈(1,2)时,函数f(x)在x=1时,有极大值,此时函数无极小值;
当b∈(3,4)时,函数f(x)在x=3时,有极小值0,此时函数无极大值.………14分
19.(本小题满分14分)
方法一:(Ⅰ)解:由题意,得F(1,0),直线l的方程为y=x-1.
由,得x2-6 x +1=0,
设A,B两点坐标为A (x1,y1),B(x2,y2),AB中点M的坐标为M(x0,y0),
则x1=3+2,x2=3-2,y1= x1-1=2+2,y2= x2-1=2―2,
故点A(3+2,2+2),B(3-2,2-2), ……………3分
所以x0==3,y0= x0-1=2,
故圆心为M(3,2),直径=,
所以以AB为直径的圆的方程为(x-3)2+( y-2)2=16; ………………6分
(Ⅱ)解:因为=2,三点A,F,B共线且点A,B在点F两侧,
所以=,
设A,B两点坐标为A (x1,y1),B(x2,y2),则=(x1-1,y1),(1-x2,-y2),
所以 ①
因为点A,B在抛物线C上,
所以y12=4x1,y22=4x2, ② ………………10分
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由①②,解得 或
所以A(2,2),B(,-),或A(2,-2),B(,),………13分
故直线l的方程为2x-y-2=0,或2x+y-2=0. ………14分
方法二:(Ⅰ)解:由题意,得F(1,0),直线l的方程为y=x-1.
由,得x2-6x+1=0,
设A, B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M的坐标为M(x0,y0),
因为△=62-4=32>0,所以x1+ x2=6, x1x2=1,
所以x0==3,y0= x0-1=2,故圆心为M(3,2), ………………3分
由抛物线定义,得=+=(x1+)+(x2+)= x1+ x2+p=8,
所以= x1+ x2+P=8(其中p=2).
所以以AB为直径的圆的方程为(x-3)2+( y-2)2=16; ………………6分
(Ⅱ)解:因为=2,三点A, F,B共线且点A, B在点F两侧,
所以=2,
设A, B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)则=(x1-1,y1),=(1-x2,-y2),
所以 ① ………………9分
设直线AB的方程为y= k(x-1)或x=1(不符合题意,舍去).
由,消去x得ky2-4y-4k=0,
因为直线l与C相交于A, B两点,所以k≠0,
则Δ=16+16k2>0,y1+y2=,y1 y2=-4, ②
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由①②,得方程组,解得或,……13分
故直线l的方程为x- y-=0,或 x + y-=0. ……14分
20.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:∵数列{an+Sn}是公差为2的等差数列,
∴(an+1+Sn+1)-(an+Sn)=2,
即an+1=, ……2分
∵a1=1,
∴a2=,a3=; ……4分
(Ⅱ)证明:由题意,得a1-2=-1,
∵
∴{an-2}是首项为-1,公比为的等比数列; ……8分
(Ⅲ)解:由(Ⅱ)得an-2=-()n-1,
∴an =2-()n-1,
∵{an+Sn}是首项为a1+ S1=2,公差为2的等差数列,
∴an+Sn=2+(n-1)×2=2n,
∴Sn=2n-2+()n-1, ……9分
设存在整数λ,使不等式Sn-n+ 1λan对任意的n∈N*成立,
即存在整数λ,使不等式n-1+()n-1λ[2-()n-1]对任意的n∈N*成立,
∴当n=1时,不等式成立,解得λ1, ……10分
以下证明存在最大的整数λ=1,使不等式Sn-n+ 1λan对任意的n∈N*成立.
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当n=2时,不等式化简为,成立;
当n3时,∵(Sn-n+ 1)-an=n-3+()n-2>0,
∴(Sn-n+ 1)>an成立.
综上,知存在整数λ,使不等式Sn-n+ 1λan对任意的n∈N*成立,且λ的最大值为1.
……14分
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