2009福州市高中毕业班单科质量检查
数学（理科）试卷
注意事项：
1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；
2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
参考公式：
样本数据
，
，
，
的标准差：
，其中
为样本平均数；
柱体体积公式：
，其中
为底面面积、
为高；
锥体体积公式：
，其中为底面面积，为高；
球的表面积、体积公式：
，
，其中
为球的半径.
第Ⅰ卷 （选择题 共50分）
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）
1．已知复数
（
为虚数单位）则复数
在复平面对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C第三象限． D．第四象限
2．集合
，
，则
是 ( ）．
A．
B．
C．
D．
3．已知
是两条不同直线，
是三个不同平面，下列命题中正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
4．如果执行右面的程序框图，那么输出的
（ ）．
A．22 B．
D．190
5．函数
的零点一定位于区间（ ）．
A． B．
C．
D．
6．下列有关命题的说法正确的是 ( )．
A．命题“若
，则
”的否命题为：“若，则
”．
B．“
”是“
”的必要不充分条件．
C．命题“
使得
”的否定是：“
均有”．
D．．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题．
7．将函数
的图象按向量
平移，则平移后的函数图象（ ）．
Ａ．关于点
对称 Ｂ．关于直线
对称
Ｃ．关于点
对称 Ｄ．关于直线
对称
8．袋中有40个小球，其中红色球16个，蓝色球12个，白色球8个，黄色球4个，从中随机抽取10个球作成一个样本，则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为（ ）．
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
9．某简单几何体的一条对角线长为
，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为
的线段，则
（ ）．
A． B．
C．
D．
10．若抛物线
的焦点是
,准线是
,则经过点、
（4，4）且与相切的圆共有（ ）．
A.
个
B.个
C.个
D.
个
第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）
二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将答案填在题后的横线上．）
11．已知
，若
，则
．
12． 已知
，若
，则
．
13.
则
14．已知
，
，若向区域
上随机投1个点，求这个点落入区域
的概率= ．
15．观察以下几个等式：⑴ 
；
⑵ 
；
(3) 
，归纳其特点可以获得一个猜想是：
．
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
16. （本小题满分13分）
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
，
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若
最大边的边长为
，且
，求最小边长．
17．（本小题满分13分）
已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼．为了估计池塘中这两种鱼的数量，养殖人员从水库中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1000只，给每只鱼作上不影响其存活的记号，然后放回池塘，经过一定时间，再每次从池塘中随机地捕出1000只鱼，,分类记录下其中有记号的鱼的数目，随即将它们放回池塘中．这样的记录作了10次.并将记录获取的数据做成以下的茎叶图，
（Ⅰ）根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数，并估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量;
（Ⅱ）假设随机地从池塘逐只有放回地捕出5只鱼中的红鲫鱼的数目为
，求的分布列与数学期望．
18．（本小题满分13分）
已知函数
有极值．
（Ⅰ）求
的取值范围；
（Ⅱ）若
在
处取得极值，且当
时，
恒成立，求
的取值范围．
19．（本小题满分13分）
如图所示，在三棱柱
中，
平面
，
,
，
，
是棱
的中点．
（Ⅰ）证明：
平面
；
（Ⅱ）求平面
与平面所成的锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分14分）
设、
是椭圆
上的两点，点
是线段
的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于
、两点．
（Ⅰ）确定
的取值范围，并求直线的方程；
（Ⅱ）若以线段
为直径的圆过线段
中点
,求这个圆的方程．
21．（本小题满分14分）
如图，已知曲线：
在点
处的切线与
轴交于点
，过点作轴的垂线交曲线于点
，曲线在点处的切线与轴交于点
，过点作轴的垂线交曲线于点
，……，依次得到一系列点、、……、
，设点的坐标为
（
）．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）求证：三角形
的面积为定值；
（Ⅲ）对于任意给定的常数
，三角形
的面积
是否为定值．若是,求出这个定值;若不是,说明理由．
2009福州市高中毕业班单科质量检查
一.选择题 1-5 6-10 BCDCA DAABC
二．填空题 11. 
;
12. 2 ; 13. 2236 ; 14. 
;
15. 
三、解答题
16.【解】（Ⅰ）由
整理得
，
即
，------2分
∴
， -------5分
∵
，∴
。
-------7分
（Ⅱ）∵,∴最长边为
，
--------8分
∵
，∴
，
--------10分
∴为最小边，由余弦定理得
，解得
，
∴
，即最小边长为1 --------13分
17.【解】（Ⅰ）由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20，故可认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同，设池塘中两种鱼的总数是
，则有
，
------------4分
即 
，
所以，可估计水库中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25000． ------------7分
（Ⅱ）显然，
，
-----------9分
其分布列为
0
1
2
3
4
5
---------11分
数学期望
．
-----------13分
18.【解】（Ⅰ）∵
，∴
，--------2分
要使
有极值，则方程
有两个实数解，
从而△＝
，∴
．
------------4分
（Ⅱ）∵在
处取得极值，
∴
，
∴
．
------------6分
∴
，
∵
，
∴当
时，
，函数单调递增，
当
时，
，函数单调递减．
∴
时，在处取得最大值
， ------------10分
∵时，
恒成立，
∴
，即
，
∴
或
，即
的取值范围是
．------------13分
19.【解】法一：（Ⅰ）∵
，∴
．
∵三棱柱
中,
平面
．
，∴
平面
．
∵
平面，∴
，而
，则
．---------2分
在
与
中，
∴
，--------4分
∴
．∴
．即
．
∵
，∴
平面
．
--------------6分
（Ⅱ）如图，设
,过
作
的垂线，垂足为
，连
，
平面,
为二面角
的平面角．
----------------9分
在
中，
，
，
∴
，∴
;
在
中，，
，
∴
，
∴
.------------11分
∴在
中，
，
．
故锐二面角的余弦值为
.
即平面
与平面所成的锐二面角的余弦值为． ----------13分
法二：（Ⅰ）∵，∴．
∵三棱柱中
平面
∴
．
∵
，∴平面．
以
为坐标原点，
、
、
所在的直线分别为轴、
轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．---------------------2分
易求得
，
，
，
，
，
，
．-----4分
（Ⅰ）
，
，
，
∵
，
，
∴
，
，即
，
．
∵
，∴平面．
---------------------6分
（Ⅱ）设
是平面
的法向量，由
得
取
，则
是平面的一个法向量．
--------------------9分
又是平面的一个法向量，
-----------------11分
．
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．----------13分
20．【解】（Ⅰ）法1：依题意，显然
的斜率存在,可设直线
的方程为
，
整理得
． ① ---------------------2分
设
是方程①的两个不同的根，
∴
， ②
----------------4分
且
，由
是线段的中点，得
，∴
．
解得
，代入②得，
的取值范围是（12，+∞）． --------------6分
于是，直线的方程为
，即
--------------7分
法2：设
，
，则有
--------2分
依题意，
，∴
．
---------------------4分
∵是的中点，
∴
，
，从而
．
又由在椭圆内，∴
，
∴
的取值范围是
．
----------------6分
直线的方程为，即． ----------------7分
（Ⅱ）∵
垂直平分，∴直线的方程为
，即
，
代入椭圆方程，整理得
． ③
-----------------9分
又设
，的中点为
，则
是方程③的两根，
∴
．-----12分
到直线的距离
，故所求的以线段的中点为圆心且与直线相切的圆的方程为：
．-----------14分
21．【解】（Ⅰ）由
求导得
，
∴曲线：在点
处的切线方程为
，即
．
此切线与轴的交点
的坐标为
，
∴点
的坐标为
．即
．
-------------------2分
∵点
的坐标为
（
），在曲线上，所以
，
∴曲线：在点处的切线方程为
，---4分
令
，得点
的横坐标为
．
∴数列
是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴
（）．
---------------------6分
（Ⅱ）设
、
、
，
∵
--------9分
=
=
(定值)--------11分
（Ⅲ）设、
、
则
=
=
--------13分
，
∵
为常数
，∴
=
为定值. -----------14分