2009福州市高中毕业班单科质量检查
数学(文科)试卷
注意事项：
1.本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名；
2.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
参考公式：
样本数据
，
，
，
的标准差：
，其中
为样本平均数；
柱体体积公式：
，其中
为底面面积、
为高；
锥体体积公式：
，其中为底面面积，为高；
球的表面积、体积公式：
，
，其中
为球的半径.
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的）
1．已知复数
（
为虚数单位）则复数
在复平面对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C第三象限． D．第四象限
2．集合
，
，则
是（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．已知
是两条不同直线，
是三个不同平面，下列命题中正确的是（
）．
A．
B．
C．
D．
4．如果执行右面的程序框图，那么输出的
（ ）．
A．10 B22． C．46 D．
5．函数
的零点一定位于区间（ ）．
A． B．
C．
D．
6．下列有关命题的说法正确的是 ( )．
A．命题“若
，则
”的否命题为：“若，则
”．
B．“
”是“
”的必要不充分条件．
C．命题“
使得
”的否定是：“
均有”．
D．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题．
7．将函数
的图象按向量
平移，则平移后的函数图象（ ）．
Ａ．关于直线
对称 Ｂ．关于直线
对称
Ｃ．关于点
对称 Ｄ． 关于点
对称
8．已知函数
，则
是（ ）．
A．最小正周期为
的奇函数
B．最小正周期为
的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的偶函数
9．某简单几何体的一条对角线长为
，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为
的线段，则
（ ）．
A． B．
C．
D．
10．已知数列
的通项
则
（ ）．
A．2246 B．
11．若函数
分别是上的奇函数、偶函数，且满足
，则有（ ）．
A．
B．
C．
D．
12．若抛物线
的焦点是
,准线是
,点
是抛物线上一点,则经过点、
且与相切的圆共有（ ）．
A.
个
B.个
C.个
D.
个
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题后的横线上．）
13．过点
且与直线
垂直的直线方程是 ．
14．已知
，若
，则
．
15．已知
，
，若向区域
上随机投1个点，这个点落入区域
的概率
= ．
16．观察以下三个等式：⑴
；
⑵
；⑵
，
归纳其特点可以获得一个猜想是：
．
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且
，
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若
最大边的边长为
，且
，求最小边长，
18．（本小题满分12分）
已知实数
，函数
．
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若有极大值－7求实数
的值．
19．（本小题满分12分）
已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼．为了估计池塘中这两种鱼的数量，养殖人员从水库中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1000只，给每只鱼作上不影响其存活的记号，然后放回池塘，经过一定时间，，再每次从池塘中随机地捕出1000只鱼，,分类记录下其中有记号的鱼的数目，随即将它们放回池塘中．这样的记录作了10次.并将记录获取的数据做成以下的茎叶图，
（Ⅰ）根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数，并估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量;
（Ⅱ）随机地从池塘逐只有放回地捕出5只鱼，求其中至少有一只中国金鱼的概率．
20．（本小题满分12分）
如图所示，在三棱柱
中，
平面
，
，
，
．
（Ⅰ）求三棱锥
的体积；
（Ⅱ）若
是棱
的中点，棱
的中点为
，证明
平面
21．（本小题满分12分）
设、
是椭圆
上的两点，点
是线段的中点，线段的垂直平分线与椭圆相交于
、两点．
（Ⅰ）求直线的方程；
（Ⅱ）求以线段
的中点
为圆心且与直线相切的圆的方程．
22．（本小题满分14分）
如图，已知曲线：
在点
处的切线与
轴交于点
，过点作轴的垂线交曲线于点
，曲线在点处的切线与轴交于点
，过点作轴的垂线交曲线于点
，……，依次得到一系列点、、……、
，设点的坐标为
（
）．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）求三角形
的面积
（Ⅲ）设直线
的斜率为
，求数列
的前n项和
，并证明
．
2009福州市高中毕业班单科质量检查
一.选择题 1-5 6-10 11-12 BCDCA DADBC AC
二．填空题 13. 
; 14. 
;
15. 
;
16. 
三、解答题
17．【解】（Ⅰ）由
整理得
，
即
，------2分
∴
， -------5分
∵
，∴
。
-------7分
【解】（Ⅱ）∵,∴最长边为
，
--------8分
∵
，∴
，
--------10分
∴为最小边，由余弦定理得
，解得
，
∴
，即最小边长为1
--------12分
18．【解】（Ⅰ）∵
，∴
．---2分
令
，得
，
∵
，∴
，即
，∴
，------4分
当
时，
，的单调递增区间为
；------5分
当
时，
．------6分
的单调递减区间为
和
．------7分
（Ⅱ）∵
时，；------8分
时，；
时，，------9分
∴
处取得极大值－7． ------10分
即
，解得
．------12分
19．【解】（Ⅰ）由茎叶图可求出10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20，故可认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同，设池塘中两种鱼的总数是
，则有
，
------------3分
即 
，
所以，可估计水库中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25000． ------------6分
（Ⅱ）从上述对总体的估计数据获知，从池塘随机捕出1只鱼，它是中国金鱼的概率为
．随机地从池塘逐只有放回地捕出5只鱼，5只鱼都是红鲫鱼的概率是
，所以其中至少有一只中国金鱼的概率
．------12分
20．【解】在
中，
，
，∴
．
∵
，∴四边形
为正方形．
----6分
（Ⅱ）当点
为棱
的中点时，
平面
．
------8分
证明如下：
如图，取
的中点，连
、
、
，
∵
、、分别为
、、的中点，
∴
．
∵
平面，
平面，
∴
平面． ------10分
同理可证
平面．
∵
，
∴平面
平面．
∵
平面，∴平面． ------12分
21．【解】（Ⅰ）法1：依题意显然
的斜率存在，可设直线的方程为
，
整理得 
． ① ---------------------2分
设
是方程①的两个不同的根，
∴
， ②
----------------4分
且
，由
是线段的中点，得
，∴
．
解得
，这个值满足②式，
于是，直线的方程为
，即
--------------6分
法2：设
，
，则有
--------2分
依题意，
，∴
．
---------------------4分
∵是的中点，
∴
，
，从而
．
直线的方程为，即． ----------------6分
（Ⅱ）∵
垂直平分，∴直线的方程为
，即
，
代入椭圆方程，整理得
． ③
---------------8分
又设
，的中点为
，则
是方程③的两根，
∴
，
．-----10分
到直线的距离
，故所求的以线段的中点为圆心且与直线相切的圆的方程为：
．-----------12分
22．【解】（Ⅰ）由
求导得
，
∴曲线
：在点
处的切线方程为
，即
．
此切线与轴的交点
的坐标为
，
∴点
的坐标为
．即
．
-------------------2分
∵点
的坐标为
（
），在曲线上，所以
，
∴曲线：在点处的切线方程为
---4分
令
，得点
的横坐标为
．
∴数列
是以2为首项，2为公比的等比数列．
∴
（）．
------------------6分
（Ⅱ）∵
；
，
∴
．---------10分
（Ⅲ）因为
，所以
，
所以数列
的前n项和
的前n项和为
①，
---------12分
②，
①―②得
，
所以
---------14分