湖南省长沙市一中2008-2009学年高三第七次月考数学——青夏教育精英家教网——

湖南省长沙市一中2008-2009学年高三第七次月考

数学（文科）

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．将正确答案的代号填入答卷的表格中)

1．设全集为U，集合，则下列关系一定正确的是（）

A． _UM B． _U M

C． D． _U M _U P = U

2．设，则a＞b的充分不必要条件是学科网(Zxxk.Com) （）

A．a³＞b³ B．＞0 C． a² ＞b² D.

3．函数学科网(Zxxk.Com) （）

A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数

C．周期2的奇函数 D．周期为2的偶函数

4．设a，b，c表示三条不同直线，表示两个不同平面，则下列命题中逆命题不成立的是: 学科网(Zxxk.Com) （）

A．，是在内的射影，若，则

B．，，若，则

C．，若，则

D．，若，则

5．在上，函数与在同一点取得相同的最小值，那么p、q的值分别为学科网(Zxxk.Com) （）

A．1,3 B．2,0 C．-2,4 D．-2,0

6．已知为等差数列，若且它的前n项和有最大值，那么当S_n取得最小正值时，n =（）

A．10 B．11 C．12 D．13

7．如右图，在平面直角坐标系xOy中，两个非零向量、与x轴正

x轴正半轴夹角的取值范围是（）

A． B．

C． D．

8. 某舞步每一节共六步，其中动作A两步，动作B两步，动作C两步，同一种动作不一定相邻。则这种舞步一节共有多少种不同的变化（）

A.种 B. 种 C. 种 D.种

9. 已知抛物线x² = 2py(p＞0)的焦点为F，P是抛物线上不同于顶点的任一点，过点P作抛物线的切线l交x轴于点Q，则? = （）

A．? 2p B．?p C．0 D．p

10．设f (x)和g (x) 是定义在同一个区间[a，b]上的两个函数，若对于任意的x∈[a，b]，都有| f (x) ? g (x)|≤1，则称f (x)与g (x)在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”．设f (x) = x² ? 3x + 4与g(x) = 2x ? 3在区间[a，b]上是“密切函数”，则它的密切区间可以是（）

A．[1，4] B．[2，3] C．[3，4] D．[2，4]

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．)

11．若的展开式只有第6项的系数最大，则n的值为 .

12．设为坐标原点，，若点满足，则取得最小值是 .

13．如右图所示，各棱长均为3的正三棱柱内接于球O中，则球O的表面积为．

14．指数函数y = a^x和对数函数y = log_ax(a＞0，a≠1)的图象分别为C₁、C₂，点M在曲线C₁上，线段OM(O为坐标原点)交曲线C₁于另一点N．若曲线C₂上存在一点P，使点P的横坐标与点M的纵坐标相等，点P的纵坐标是点N横坐标的2倍，则点P的坐标为．

15. 已知动点P（x，y）在椭圆上，若A点坐标为（3，0），且，则的最小值是．

三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）

16. （本小题满分12分）已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）将函数f(x)的图象沿向量平移得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调递减区间。

17．（本小题满分12分）已知关于x的不等式的解集分别为A和B，且，求实数a的取值范围.

18．（本小题满分12分）如右图，边长为3的正方形ABCD所在平面与平面CDO的交线为CD，线段CD为圆O的弦，A在平面CDO的射影是圆上并异于C、D的点E，且AE = ．

（1）求证：平面ABCD⊥平面ADE；

（2）求二面角A-CD-E的大小；

（3）求凸多面体ABCDE的体积．

19．（本小题满分13分）已知a、b均为正整数，等差数列{a_n}的首项为a，公差为b；等比数列{b_n}的首项为b，公比为a，且1＜a＜b，b₂＜a₃．在数列{a_n}和数列{b_n}中各存在一项a_m与b_n，使得a_m + 1 = b_n，又．

（1）求a、b的值；

（2）求数列{c_n}中的最小项，并说明理由．

20．（本小题满分13分）函数f (x) =，其图象在点A(1，f (1))、B(m，f (m))处的切线斜率分别为0、1．

（1）求证：-1＜≤0；（2）若x≥k时，恒有f′(x)＜1，求k的最小值.

21．（本小题满分13分）设双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是双曲线右支上一点，△PF₁F₂的内切圆与x轴切于点Q(1，0)，且|F₁Q| = 4．

（1）求双曲线的方程；

（2）设A、B分别为双曲线的左、右顶点，R是直线x =上异于点的任意一点，若直线AR，BR与双曲线分别交于点M、N，试判断点A与以MN为直径的圆的位置关系，并证明你的结论．

一、选择题：B B AD C/ BDBCB

二、填空题：

11、10 12、3 13、21 14、4 15、

三、解答题：

16、【解析】(1)……………………3分

的最小正周期;……………………6分

(2) 将函数f(x)沿向量得到函数g(x)= ……9分

当即时，函数g(x)单调递减，

故所求区间为.………………………………………12分

17、解：∵∴

①…………5分

又∵

∴②……10分

由①②知，即a的取值集合M=[2，3].……………………12分

18、【解析】（1）证明：由已知AE⊥面CDO，，所以CD⊥AE

又CD⊥AD，AD∩AE =A

故CD⊥平面ADE，

故平面ABCD⊥平面ADE；…………………………………………4分

（2）由（1）知CD⊥AD，CD⊥ED，

故∠ADE为二面角A-CD-E的平面角．…………………………………………6分

在Rt△ADE中，sin∠ADE=,∠ADE=

故平面ABCD与平面CDE所成角的平面角的大小为……………………………………8分

（3）凸多面体ABCDE为四棱锥E?ABCD，V_E_?ABCD = ．………………………………12分

19、【解析】（1）由b₂＜a₃，得ab＜a + 2b．………………………………1分

∵1＜a＜b，∴ab＜3b，则1＜a＜3．………………………………3分

又a为正整数，∴a = 2．………………………………4分

∵a_m + 1 = b_n，∴2 + (m ? 1)b + 1 = b?2ⁿ^{? 1}．

∴b =．………………………………6分

∵b∈N*，2ⁿ^{? 1} ? m + 1 = 1．

故b = 3．………………………………8分

（2）∵a_n = 2 + (n ? 1)?3 = 3n ? 1，b_{2n + 1} = 3?2²ⁿ，………………………………10分

∴c_n ==．

∴当n = 2或n = 3时，c_n取得最小值，最小值为?12．………………………………13分

20、【解析】（1）依题意，f ′(1) = -1 + 2b + c = 0，f ′(m) = -m² + 2bm + c = 1．………………………1分

∵-1＜b＜c，∴-4＜-1+ 2b + c＜4c，∴c＞0．

将c = 1 ? 2b代入-1＜b＜c，得?1＜b＜．………………………………3分

将c = 1? 2b代入-m² + 2bm + c = 1，得 -m² + 2bm ? 2b = 0．

由= 4b² - 8b≥0，得b≤0或b≥2．………………………………5分

综上所述，-1＜≤0．………………………………6分

（2）由f′(x)＜1，得 -x² + 2bx ? 2b＜0．

∴x² ，………………………………8分

易知为关于的一次函数．………………………………9分

依题意，不等式g()＞0对-1＜≤0恒成立，

∴得x≤或x≥．………………………………12分

∴k≥，即k的最小值为．………………………………13分

21、【解析】（1）设△PF₁F₂的内切圆与PF₁、PF₂的切点分别为D、E，则|PD| = |PE|，|F₁D| =|F₁Q|，

|F₂E| = |F₂Q|．

∵|PF₁| ? |PF₂| = 2a，∴|F₁Q| ? |F₂Q| = 2a，

∴Q(1，0)为双曲线的右顶点，即a = 1．………………………………3分

又|F₁Q| = a + c = 4，∴c = 3，则b² = c² ? a² = 8．

故双曲线方程为．………………………………5分

（2）设R(t≠0)、N(x₀，y₀)，由R、B、N三点共线，得，即=，于是解得，则R．………………………………6分

∵，，

∴．………………………………8分

又点N在双曲线上，∴．

∴．………………………………9分

∵x₀≥1，∴AN?AR＜0，∴∠RAN为钝角．

又∠RAN与∠MAN互补，∴∠MAN为锐角．………………………………11分

故点A在以MN为直径的圆的外部．………………………………13分