东城区2008―2009学年度第一学期期末教学目标检测
高三数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A＝{x∈Z 
x－3|＜2}，B＝{0，1，2}，则集合A∩B为
（ ）
A．{2} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{ 0，1，2，3}
2．已知a＝（3，4），b＝（－6，－8），则向量a与b （ ）
A．互相平行 B．夹角为60° C．夹角为30° D．互相垂直
3．a＞b是a＞
的 （ ）
A.充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知
∈
，sina＝
，则tan
的值为 （ ）
A．
B． D．-7
5．若f（x）是偶函数，且当x∈［0，＋∞）时，f（x）＝x－1，则不等式f（x－1）＜0的解集是
（ ）
A．{x｜－1＜x＜0} B．{x｜x＜0或1 ＜x＜2}
C．{ x｜0＜x＜2} D．{ x｜1＜x＜2}
6．在
的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是 （ ）
A．3 B．
7．把一颗六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体形的骰子投掷两次，观察其出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，设向量p=（m，n），向量q=（－2，1），则满足p
q的向量p的个数是 （ ）
A．6 B．
8．已知垂直竖在水平地面上相距
A．椭圆 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
第Ⅱ卷（选择题 共110分）
注意事项：
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
一
二
三
总分
1-8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
分数
得分
评卷人
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。
9．抛物线y2＝4x的准线方程为 ．
10．已知{an}为等差数列，若a1－a8＋a15＝20，则a3＋a13的值为 ．
11．在平面直角坐标系中，不等式组
，表示的平面区域的面积是 ．
12．一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于球半径的一半，若AB＝BC＝CA＝3，则球的半径是 ，球的体积为 ．
13．已知向量
＝（2，2），
＝（
cos，sin），则
的取值范围是 ．
14．已知函数f（x）＝x2－
，若f（－m2－1）＜f（2），则实数m的取值范围是 ．
得分
评卷人
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
已知函数f（x）＝cos2x－sin2x＋2
sinxcos＋1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调减区间；
（Ⅱ）若x∈
，求f（x）的最大值和最小值．
得分
评卷人
16．（本小题满分13分）
北京的高考数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）．评分标准规定：每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其两个选项是错误的，有一道题可以判断其一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这8道选择题，试求：
（Ⅰ）该考生得分为40分的概率；
（Ⅱ）通过计算说明，该考生得多少分的可能性最大？
得分
评卷人
17．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B
（Ⅰ）求证：ACBC1；
（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1；
（Ⅲ）求二面角C1－AB－C的大小；
得分
评卷人
18．（本小题满分13分）
设函数f（x）＝－x（x－m）2．
（Ⅰ）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线的方程；
（Ⅱ）当m＜0时，求函数f（x）的单调增区间和极小值．
得分
评卷人
19．（本小题满分13分）
已知点A（1，1）是椭圆
1（a＞b＞0）上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且满足
＝4．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）设点C、D是椭圆上的两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？并说明理由．
得分
评卷人
20．（本小题满分14分）
已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n∈N*）都在函数y＝
的图象上．
（Ⅰ）若数列{bn}是等差数列，求证数列{an}为等比数列；
（Ⅱ）若数列{an}的前n项和为Sn＝1－2－n，过点 Pn，Pn＋1的直线与两坐标轴所围成三角形面积为cn，求使cn≤t对n∈N*恒成立的实数t的取值范围．
东城区2008―2009学年度第一学期期末教学目标检测
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．A 2．A 3．B 4．A 5．C 6．D 7．D 8．B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．x＝－1 10．40 11．4 12．2，
13．
14．－1＜m＜1
注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：f（x）＝cos2x－sin2x＋2
sinxcosx＋1＝sin2x＋cos2x＋1
＝2sin
＋1. ……………………………………………4分
因此f（x）的最小正周期为
，由
＋2k≤2 x＋
≤
＋2 k，k∈Z得
＋k≤x≤
＋k，k∈Z．
故f（x）的单调递减区间为
， k∈Z．……………8分
（Ⅱ）当x∈
时，2x＋∈
，
则f（x）的最大值为3，最小值为0．………………………………………13分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为
，有一道题答对的概率为
，还有一道题答对的概率为
，所以得40分的概率为
P＝×××＝
． ………………………………………………6分
（Ⅱ）依题意，该考生得分的集合是{20，25，30，35，40}，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，所求概率为
P1＝××
×
＝
；
同样可求得得分为25分的概率为
P2＝
××××＋×××＋×××＝
；
得分为30分的概率为P3＝；
得分为35分的概率为P4＝
；
得分为40分的概率为P5＝．……………………………………………12分
所以得分为25分或30分的可能性最大． …………………………………13分
17．（本小题满分14分）
解法一：
（Ⅰ）在直三棱柱ABC－A1B
底面
ABC，BC1在底面上的射影为CB．
由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．
所以ACBC1． ……………………………4分
（Ⅱ）设BC1与CB1交于点O，
则O为BC1中点．连结OD．
在△ABC1中，D，O分别为AB，
BC1的中点，故OD为△ABC1的中位线，
∴OD∥AC1，又AC1中平面CDB1，
OD
平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1． ………………………9分
（Ⅲ）过C作CEAB于E，连结C1E．
由CC1底面ABC可得C1EAB．
故∠CEC1为二面角C1－AB－C的平面角．
在△ABC中，CE＝
，
在Rt△CC1E中，tan C1EC＝
＝
，
∴二面角C1－AB－C的大小为arctan．………………………………… 9分
解法二：
∵直三棱柱ABC－A1B
∴AC，BC，CC1两两垂直．如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．
（Ⅰ）∵
＝（－3，0，0），
＝（0，－4，4），
∴?＝0，故AC BC1.
…………………………………………4分
（Ⅱ）同解法一 …………………………………………………………………9分
（Ⅲ）平面ABC的一个法向量为m＝（0，0，1），
设平面C1AB的一个法向量为n＝（x0，y0，z0），
＝（－3，0，4），
＝（－3，4，0）．
由
得
令x0＝4，则z0＝3，y0＝3．
则n＝（4，3，3）．故cos＞m，n＞＝
＝
．
所求二面角的大小为arccos. ……………………………………14分
18.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）当m＝1时，f（x）＝?x（x?1）2＝?x3＋2x3－x，得f（2）＝－2由
f′（x）＝?3x3＋4x?1，得f′（2）2＝?5. ……………………4分
所以，曲线y＝?x（x?1）2在点（2，?2）处的切线方程是y＋2＝?5（x?2），整理得5x＋y?8＝0. …………………………………………6分
（Ⅱ）f（x）＝?x（x?m）2＝?x3＋2mx2?m2x，
f ′（x）＝?3 x 2＋
令f ′（x）＝0解得x＝
或x＝m. ……………………………………10分
由于m＜0，当x变化时，f ′（x）的取值情况如下表：
x
（－∞，m）
m
f ′（x）
―
0
＋
0
―
因此函数f（x）的单调增区间是，且函数f（x）在x＝m处取得 极小值f（m）＝0. ………………………………………………………13分
19.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由椭圆定义知
＋
＝1,将（1，1）代入得
b2＝
．故椭圆方程为＋
＝1．…………………………………4分
因此c2＝4－＝
，离心率e＝
． ………………………………6分
（Ⅱ）设C（xC，yC），D（xD，yD），由题意知，AC的倾斜角不为90°，
故设AC的方程为y＝k（x－1）＋1，联立
消去y得（1＋3k2）x
2－6k（k－1）x＋3k2－6k－1＝0
……………………………………………………………………………8分
由点A（1，1）在椭圆上，可知xC＝
．
因为直线AC，AD的倾斜角互补，
故AD的方程为y＝－k（x－1）＋1，同理可得xD ＝
．
所以xC－xD＝
．
又yC＝k （xC－1）＋1，yD＝－k （xD－1）＋1，yC－yD＝k （xC＋xD）－2k＝
，
所以kCD＝
＝，即直线CD的斜率为定值．……………13分
20．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为数列{bn}是等差数列，故设公差为d，
则bn＋1－bn＝d对n∈N*恒成立．依题意bn＝
an，an＝
．
由an＞0，
所以
＝
＝
是定值，从而数列{an}是等比数列.…5分
（Ⅱ）当n＝1时，a1＝S1＝，当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝
，当n＝1时也适合此式，即数列{an}的通项公式是an ．……………………… 7分
由bn＝an，数列{bn}的通项公式是bn＝n．…………………………8分
所以Pn
，Pn＋1
，过这两点的直线方程是y－n＝－2n＋1
，该直线与坐标轴的交点是An
和Bn（0，n＋2）．
cn＝
×
＝
．……………………………………11分
因为cn－cn＋1＝－
＝
＝
＞0．
即数列{cn}的各项依次单调递减，所以要使cn≤t对n∈N*恒成立，只要c1≤t，又c1＝
，可得t的取值范围是
． …………………13分
故实数t的取值范围是
． …………………………………14分