2009届黑龙江省大庆铁人中学高三上学期期末考试
数学（理科）2009.01.15
满分150分 考试时间120分钟 命题人 郭振亮
一、选择题（本大题共12个小题；每小题5分，共60分）
1.与集合
相等的集合是
A.
B.
C.
D.
2.
是△ABC所在平面内一点,且满足
,
则△ABC一定是
A.等边三角形 B.斜三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
3.已知：
均为正数，
，则使
恒成立的
的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
4.设
，函数
的导函数是
，
若是偶函数，则曲线
在原点处的切线方程为
A.
B. 
C. 
D. 
5.已知
，则下列不等式成立的是
A．
B．
C．
D．
6.已知
，
满足
且目标函数
的最大值为7，最小值为１，则
（ ）
Ａ．-２ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．-１
7.函数
的图象的大致形状是
8.若函数
是奇函数，且在
上是增函
数，则实数
可能是
A.
B.
C.
D.
9.数列｛an｝的前n项和
, 则
是数列｛an｝为等比数列的
A 充分非必要条件 B 必要非充分条件
C充分必要条件 D 既非充分又非必要条件
10.已知直线
交于A、B两点，O是坐标原点，向量
、
满足
，则实数a的值是 （ ）
A．2 B．－
或－ D．2或－2
11. 
的图象过点（2，1），则函数
的图象一定过点
A.
B.
C.
D.
12. 设
分别是双曲线
的左右焦点.若点P在双曲线上,且
则
A.
B. 
C. 
D. 
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．
.
14. 数列
,
,则的通项
15．设
，则
从小到大的
顺序是 .学
16．给出下列四个函数：①
；②
；
③
；④
，其中满足：“对任意
、
,不等式
总成立”的是
。（将正确的序中与填在横线上）
三、解答题：(本大题共6小题，共70分)
17. （本题满分10分）
已知，若关于
的方程
无实根，求
的取值范围
18.（本题满分12分）
已知函数
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求函数单调区间及值域.
19.(本题满分12分）
方向向量为
的直线
过椭圆C:
的焦点以及点(0,
),椭圆C的中心关于直线的对称点在椭圆C的右准线上,求椭圆C的方程.
20. (本题满分12分）
已知二次函数
的图像经过坐标原点,其导函数为
.数列
的前
项和为
，点
均在函数的图像上.
(1)求数列的通项公式；
(2)设
,
是数列
的前项和,
求使得
对所有
都成立的最小正整数
.
21．（本题满分12分）
已知函数
处的切线是
；
(1)求函数
的解析式及单调区间；
(2)若在
上至少存在一个
,使得
成立，求实数
的取值范围.
22.（本题满分14分）
已知双曲线
的离心率
,过点
A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为
(1)求双曲线的方程；
(2)直线
与该双曲线交于不同的两点
、
,且、两点都在以A为圆心的同一圆上,求m的取值范围.
1．C 2．D 3．A 4．A 5．C 6．A 7．D 8．A 9．C 10.D 11.D12.B
13．2 14．
15．
16．①③④
17. 
18．解：
⑴
.
⑵在
上单调递增，在
上单调递减.
所以,当
时，
；当
时，
.
故
的值域为
.
19.解：⑴直线
①，
过原点垂直于
的直线方程为
②
解①②得
，
∵椭圆中心O(0，0)关于直线的对称点在椭圆C的右准线上，
∴
，
…………………（分）
∵直线过椭圆焦点，∴该焦点坐标为(2，0)，
∴
，
故椭圆C的方程为
③…………………12分）
20.点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。
解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x2－2x.
又因为点
均在函数
的图像上，所以
＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－
＝6n－5.
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （
）
（Ⅱ）由（Ⅰ）
得知
＝
＝
，
故Tn＝
＝
＝（1－
因此，要使（1－
）<
（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.
21．（1）
（2）由
令
得，增区间为
和
，
减区间为
2
+
0
－
0
+
↑
↓
↑
由表可知：当
时，
解得：
的取值范围为
22.(1) 
（2）