考试内容：
集合.子集、交集、并集、补集.
映射.函数(函数的记号、定义域、值域).
幂函数.函数的单调性.函数的奇偶性.
反函数.互为反函数的函数图象间的关系.
指数函数.对数函数.换底公式.简单的指数方程和对数方程.
二次函数.
考试要求：
(1)理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.
(2)了解映射的概念，在此基础上理解函数及其有关的概念掌握互为反函数的函数图象间的关系.
(3)理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象.
(4)掌握幂函数、指数函数、对数函数及二次函数的概念及其图象和性质，并会解简单的指数方程和对数方程.
1.在下面给出的函数中，哪一个既是区间(0，)上的增函数，又是以π为周期的偶函数(85(3)3分)
A.y＝x2 B.y＝|sinx| C.y＝cos2x D.y＝esin2x
B
2.函数y＝(0.2)－x＋1的反函数是(86(2)3分)
A.y＝log5x＋1 B.y＝logx5＋1 C.y＝log5(x－1) D.y＝log5x－1
C
3.
在下列各图中，y＝ax2＋bx与y＝ax＋b的图象只可能是(86(9)3分)
A. B. C. D.
D
4.设S，T是两个非空集合，且SËT，TËS，令X＝S∩T，那么S∪X＝(87(1)3分)
A.X B.T C.Φ D.S
D
5.在区间(－∞，0)上为增函数的是(87(5)3分)
A.y＝－log0.5(－x) B.y＝ C.y＝－(x＋1)2 D.y＝1＋x２
B
6.集合{1，2，3}的子集总共有(88(3)3分)
A.7个 B.8个 C.6个 D.5个
B
7.如果全集I＝{a，b，c，d，e}，M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，则＝(89(1)3分)
A.φ B.{d} C.{a，c} D.{b，e}
A
8.与函数y＝x有相同图象的一个函数是(89(2)3分)
A.y＝ B.y＝ C.y＝a
(a＞0且a≠1) D.y＝logaax(a＞0且a≠1)
D
9.已知f(x)＝8＋2x－x2，如果g(x)＝f(2－x2)，那么g(x)(89(11)3分)
A.在区间(－1，0)上是减函数 B.在区间(0，1)上是减函数
C.在区间(－2，0)上是增函数 D.在区间(0，2)上是增函数
A
10.方程2
的解是(90(1)3分)
A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝9
A
11.设全集I＝{(x，y)|x，y∈R}，M＝{(x，y)|＝1}，N＝{(x，y)|y≠x＋1}，则＝(90(9)3分)
A.φ B.{(2，3)} C.(2，3) D.{(x，y)|y＝x＋1}
B
12.如果实数x，y满足等式(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是(90(10)3分)
A. B. C. D.
D
13.函数f(x)和g(x)的定义域为R，“f(x)和g(x)均为奇函数”是“f(x)与g(x)的积为偶函数”的(90上海)
A.必要条件但非充分条件 B.充分条件但非必要条件
C.充分必要条件 D.非充分条件也非必要条件
B
14.如果loga2＞logb2＞0，那么(90广东)
A.1＜a＜b B.1＜b＜a C.0＜a＜b＜1 D.0＜b＜a＜1
A
15.函数y＝(x＋4)2在某区间上是减函数，这区间可以是(90年广东)
A.(－∞，－4] B.[－4，＋∞) C.[4，＋∞) D.(－∞，4]
A
16.如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是(91(13)3分)
A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5
C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5
B
17.设全集为R，f(x)＝sinx，g(x)＝cosx，M＝{x|f(x)≠0}，N＝{x|g(x)≠0}，那么集合{x|f(x)g(x)＝0}等于(91年⒂3分)
A. B.∪N C.∪N D.
D
18.等于(92(1)3分)
A. B.1 C. D.2
A
19.图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线c1，c2，c3，c4的n依次是(92(6)3分)
A.－2，－，2 B.2，，－2
C.－，－2，2， D.，2，－2，－
B
20.
函数y＝的反函数(92(16)3分)
A.是奇函数，它在(0，＋∞)上是减函数 B.是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数
C.是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数 D.是偶函数，它在(0，＋∞)上是增函数
C
21.如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(92(17)3分)
A.f(2)＜f(1)＜f(4) B.f(1)＜f(2)＜f(4)
C.f(2)＜f(4)＜f(1) D.f(4)＜f(2)＜f(1)
A
22.
当0＜a＜1时，函数y＝ax和y＝(a－1)x2的图象只可能是(92年上海)
A. B. C. D.
D
23.设全集I＝R，集合M＝{x|＞2}，N＝|logx7＞log37}，那么M∩＝(92年三南)
A.{x|x＜－2} B.{x|x＜－2或x≥3} C.{x|x≥3} D.{x|－2≤x＜3}
B
24.对于定义域为R的任何奇函数f(x)都有(92年三南)
A.f(x)－f(－x)＞0(x∈R) B.f(x)－f(－x)≤0(x∈R)
C.f(x)f(－x)≤0(x∈R) D.f(x)f(－x)＞0(x∈R)
C
25.F(x)＝[1＋]f(x)，(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x)(93(8)3分)
A.是奇函数 B.是偶函数
C.可能是奇函数也可能是偶函数 D.不是奇函数也不是偶函数
A
26.设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么(93(16)3分)
A. B. C. D.
B
27.
函数y＝x＋a与y＝logax的图象可能是(93年上海)
A. B. C. D.
C
28.集合M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，则(93年三南)
A.M＝N B.NÌM C.MÌN D.M∩N＝φ
C
29.设全集I＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{2，3，4}，则＝(94(1)4分)
A.{0} B.{0，1} C.{0，1，4} D.{0，1，2，3，4}
C
30.
设函数f(x)＝1－(－1≤x≤0)，则函数y＝f－1(x)的图象是(94(12)5分)
A. y B. y 1 C. y D. y 1 x
1
x 1
O
－1
－1 O x O
1 x －1
B
31.定义在R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和，如果f(x)＝lg(10x＋1)，x∈R，那么(94(15)5分)
A.g(x)＝x，h(x)＝lg(10x＋10－x＋1) B.g(x)＝，h(x)＝
C.g(x)＝，h(x)＝lg(10x＋1)－ D.g(x)＝－，h(x)＝
C
32.
当a＞1时，函数y＝logax和y＝(1－a)x的图像只可能是(94上海)
A. y B. y C. y D. y
0 1 x 0 1 x 0 1 x 0 1 x
B
33.设I是全集，集合P，Q满足PÌQ，则下面结论中错误的是(94年上海)
A.P∪Q＝Q B.∪Q＝I C.P∩＝φ D.
D
34.如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是(94上海)
A.(1－a)
＞(1－a)
B.log(1－a)(1＋a)＞0 C.(1－a)3＞(1＋a)2 D.(1－a)1＋a＞1
A
35.已知I为全集，集合M，NÌI，若M∩N＝N，则(95(1)4分)
A. B.ÍN C. D.ÊN
C
36.
函数y＝－的图象是(95(2)4分)
A. y B.
y C. y D. y
O 1 x
－1 O x O 1 x －1 O x
B
37.已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是(95(11)5分)
A.(0，1) B.(1，2) C.(0，2) D.[2，＋∞)
B
38.如果P＝{x|(x－1)(2x－5)＜0}，Q＝{x|0＜x＜10}，那么(95年上海)
A.P∩Q＝φ B.PÌQ C.QÌP D.P∪Q＝R
B
39.已知全集I＝N，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈N}，则(96(1)4分)
A.I＝A∪B B.I＝∪B C.I＝A∪ D.I＝
C
40.
当a＞1时，同一直角坐标系中，函数y＝a－x，y＝logax的图象是(96(2)4分)
A. y B. y C. y D. y
1
1
1
1
O 1 x O 1 x O 1 x O 1 x
A
41.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1，f(x)＝x，则f(7.5)＝(96(15)5分)
A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5
B
42.如果loga3＞logb3＞0，那么a、b间的关系为(96上海)
A.0＜a＜b＜1 B.1＜a＜b C.0＜b＜a＜1 D.1＜b＜a
B
43.
在下列图像中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝()x的图像只可能是(96上海)
A. B. C. D.
A
44.设集合M＝{x|0≤x＜2}，集合N＝{x|x2－2x－3＜0}，集合M∩N＝(97(1)4分)
A.{x|0≤x＜1} B.{x|0≤x＜2} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2}
B
45.将y＝2x的图象
A.先向左平行移动1个单位 B.先向右平行移动1个单位
C.先向上平行移动1个单位 D.先向下平行移动1个单位
再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2(x＋1)的图象.(97(7)4分)
D
46.定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)重合.设a＞b＞0，给出下列不等式:
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)
其中成立的是(97(13)5分)
A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④
C
47.三个数60.7，0.76，log0.76的大小关系为(97上海)
A.0.76＜log0.76＜60.7 B.0.76＜60.7＜log0.76
C.log0.76＜60.7＜0.76 D.log0.76＜0.76＜60.7
D
48.
函数y＝a|x|(a＞1)的图像是(98(2)4分)
A.
y B. y C. y D. y
1 1
1
o x
o x o x
o x
B
49.函数f(x)＝(x≠0)的反函数f－1(x)＝(98(5)4分)
A.x(x≠0) B.(x≠0) C.－x(x≠0) D.－(x≠0)
B
50.如果实数x，y满足x2＋y2＝1，那么(1－xy)(1＋xy)有(98年广东)
A.最小值和最大值1 B.最大值1和最小值
C.最小值而没有最大值 D.最大值1而没有最小值
B
51.
如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是
A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S
C.(M∩P)∩ D.(M∩P)∪(99(1)4分)
C
52.已知映射f:AàB，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是(99(2)4分)
A.4 B.5 C.6 D.7
A
53.若函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，f(a)＝b，ab≠0，则g(b)＝(99(3)4分)
A.a B.a－1 C.b D.b－1
A
54.设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f下，象20的原象是(2000⑴5分)
A.2 B.3 C.4 D.5
C
55.《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分别累进计算.
全月应纳税所得额
税率
不超过500元的部分
5%
超过500元至2000元的部分
10%
超过2000元至5000元的部分
15%
…
…
某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于(2000⑹5分)
A.800～900元 B.900～1200元 C.1200～1500元 D.1500～2800元
C
56.设全集I＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么是(2000春京、皖(2)4分)
A.Φ B.{d} C.{a，c} D.{b，e}
A
57.已知f(x6)＝log2x，那么f(8)等于(2000春京、皖)
A. B.8 C.18 D.
D
58.
函数y＝lg|x|(2000春京、皖(7)4分)
A.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B.是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
C.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D.是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
B
59.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如右图，则(2000春京、皖(14)5分)
A.b∈(－∞，0) B.b∈(0，1) C.b∈(1，2) D.b∈(2，＋∞)
A
60.若集合S＝{y|y＝3x，x∈R}，T＝{y|y＝x2－1，x∈R}，则S∩T是(2000上海(15)4分)
A.S B.T C.Φ D.有限集
A
61.已知集合A＝{1，2，3，4}，那么A的真子集的个数是(2000广东)
A.15 B.16 C.3 D.4
A
62.设集合A和B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f:A→B把集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在映射f下，象(2，1)的原象是(2000年江西、天津(1)5分)
A.(3，1) B.() C.() D.(1，3)
B
63.集合M＝{1，2，3，4，5}的子集个数是(2001年春京、皖、蒙(1)5分)
A.32 B.31 C.16 D.15
A
64.函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)对于任意的实数x、y都有(2001春京、皖、蒙(2)5分)
A.f(xy)＝f(x)f(y) B.f(xy)＝f(x)＋f(y)
C.f(x＋y)＝f(x)f(y) D.f(x＋y)＝f(x)＋f(y)
C
65.函数y＝－的反函数是(2001春京、皖、蒙(4)5分)
A.y＝x2－1(－1≤x≤0) B.y＝x2－1(0≤x≤1)
C.y＝1－x2(x≤0) D.y＝1－x2(0≤x≤1)
C
66.已知f(x6)＝log2x，那么f(8)等于(2001春京、皖、蒙(7)5分)
A. B.8 C.18 D.
D
67.若定义在区间(－1， 0) 内的函数f(x)＝log2a(x＋1) 满足f(x)＞0， 则a的取值范围是(2001年(4)5分)
A.(，＋∞) B.(0，] C.(0，) D.(0，＋∞)
C
68.设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题:(2001年(10)5分)
①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递增;
②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增;
③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减;
④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减;
其中，正确的命题是
A.②③ B.①④ C.①③ D.②④
A
69.满足条件M∪{1}＝{1，2，3}的集合M的个数是(2002年北京(1)5分)
A.1 B.2 C.3 D.4
B
70.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(，π)上为减函数的是(2002年北京(3)5分)
A.y＝cos2x B.y＝2|sinx| C.y＝()cosx D.y＝－cotx
B
71.
如图所示，fi(x)(i＝1，2，3，4)是定义在[0， 1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0， 1]中任意的x1和x2，任意l∈[0， 1]， f[lx1＋(1－l)x2]≤lf(x1)＋(1－l)f(x2)恒成立”的只有(2002年北京(12)5分)
A.f1(x)， f3(x) B.f2(x) C.f2(x)， f3(x) D.f4(x)
A
72.
一般地，家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的关系，用图(1)表示某年12个月中每月的平均气温，图(2)表示某家庭在这年12个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是(2002年上海(16)4分)
图(1)
图(2)
A.气温最高时，用电量最多 B.气温最低时，用电量最少
C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加
D.当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加
C
73.集合M＝{x|x＝，k∈Z}，N＝{x|x＝，k∈Z}，则(2002年全国(5)、广东(5)、天津(6)5分)
A.M＝N B.MÌN C.NÌM D.M∩N＝φ
B
74.函数f(x)＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是(2002年广东(7)5分)
A.ab＝0 B.a＋b＝0 C.a＝b D.a2＋b2＝0
D
75.函数y＝1－(2002年广东(9)5分)
A.在(－1，＋∞)内单调递增 B.在(－1，＋∞)内单调递减
C.在(1，＋∞)内单调递增 D.在(1，＋∞)内单调递减
C
76.函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是(2002年全国(9)、天津(8)5分)
A.b≥0 B.b≤0 C.b＞0 D.b＜0
A
77.据2002年3月9日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95 933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十?五”期间(2001年――2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十?五”末我国国内年生产总值约为(2002年全国(12)、广东(12)、天津(12)5分)
A.115 000亿元 B.120 000亿元 C.127 000亿元 D.135 000亿元
C
78.
函数y＝1－的图像是(2002年全国(10)5分)
A． B. C. D.
B
79.若集合M＝{y|y＝2－x}，P＝{y|y＝}，则M∩P＝(2003年春北京(1)5分)
A．{y|y＞1} B．{y|y≥1} C．{y|y＞0} D．{y|y≥0}
C
80.若f(x)＝，则方程f(4x)＝x的根是(2003年春北京(2)5分)
A． B．－ C．2 D．－2
A
81.关于函数f(x)＝(sinx)2－，有下面四个结论：
(1)f(x)是奇函数 (2)当x＞2003时， f(x)＞恒成立
(3)f(x)的最大值是 (4)f(x)的最小值是－
其中正确结论的个数为(2003年春上海(16)4分)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
A
1. 设函数f(x)的定义域是[0，1]，则函数f(x2)的定义域为________.(85(10)4分)
答：[－1，1]
2. 已知圆的方程为x2＋(y－2)2＝9，用平行于x轴的直线把圆分成上下两个半圆，则以上半圆(包括端点)为图像的函数表达式为_____________(85广东)
答：y＝2＋
3. 方程
的解是__________.(86(11)4分)
答：x1＝
4. 方程9－x－2?31－x＝27的解是_________.(88(17)4分)
答：x＝－2
5. 函数y＝的反函数的定义域是__________.(89(15)4分)
答：(－1，1)
6. 函数y＝的值域为_______________(89广东)
答：y≥0
7. 函数y＝的定义域是________________(90上海)
答：[－4，－2)∪(－2，＋∞)
8. 设函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，若当x≤1时，y＝x2＋1，则当x＞1时，y＝_________(91年上海)
答：(x－2)2＋1
9. 设函数f(x)＝x2＋x＋的定义域是[n，n＋1](n是自然数)，那么在f(x)的值域中共有_______个整数(91年三南)
答：2n＋2
10.
方程＝3的解是___________.(92(19)3分)
答：x＝－1
11.
设含有10个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，则的值为__________.(92(21)3分)
答：
12.
已知函数y＝f(x)的反函数为f－1(x)＝－1(x≥0)，那么函数f(x)的定义域为_________(92上海)
答：x≥－1
13. 设f(x)＝4x－2x＋1(x≥0)，f－1(0)＝_________.(93(23)3分)
答：1
注:原题中无条件x≥0，此时f(x)不存在反函数.
14. 函数y＝x2－2x＋3的最小值是__________(93年上海)
答：2
15. 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到a1，a2，…an，共n个数据，我们规定所测物理量的“最佳近似值”a是这样一个量:与其它近似值比较，a与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a1，a2，…an推出的a＝_______. (94(20)4分)
答：
16. 函数y＝lg的定义域是________________(95上海)
答：(lg2，＋∞)
17. 1992年底世界人口达到54.8亿，若人口的年平均增长率为x%，2000年底世界人口数为y(亿)，那么y与x的关系式为___________(96上海)
答：y＝54.8(1＋x%)8
18. 方程log2(9x－5)＝log2(3x－2)＋2的解是x＝________(96上海)
答：1
19. 函数y＝的定义域为____________(96上海)
答：(1，2)
20. lg20＋log10025＝________(98上海)
答：2
21. 函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a＝______(98上海)
答：
22. 函数y＝的最大值是__________(98年上海)
答：4
23. 函数y＝log2的定义域为____________(2000上海(2)4分)
答：(，3)
24. 已知f(x)＝2x＋b的反函数为y＝f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像经过点Q(5，2)，则b＝_______(2000上海(5)4分)
答：1
25. 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP是值国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP预期增长9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP与人口均按这样的速度增长，则要使本市人均GDP达到或超过1999年的2倍，至少需要_________年(2000上海(6)4分)
(按：1999年本市常住人口总数约1300万)
答：9
26. 
设函数y＝f(x)是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图像为如图所示的线段AB，则在区间[1，2]上，f(x)＝_____(2000上海(8)4分)
答：x
27. 函数
的反函数
______．(2001年春上海(1)4分)
答：－(x≥1)
28. 关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：(2001年春上海(11)4分)
(1)对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；
(2)不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；
(3)存在φ，使f(x)是奇函数；
(4)对任意的φ，f(x)都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_______。因为当φ=_______时，该命题的结论不成立。
答：(1)，kπ(k∈Z)；(1)，＋kπ(k∈Z)；(4)，＋kπ(k∈Z)等。(两个空格全填对时才能得分，其中k也可以写成任何整数)
29. 方程log3(1－2?3x)＝2x＋1的解x＝_____________.(2002年上海(3)4分)
答：－1
30. 已知函数y＝f(x)(定义域为D，值域为A)有反函数y＝f－1(x)，则方程f(x)＝0有解x＝a，且f(x)＞x(x∈D)的充要条件是y＝f－1(x)满足___________(2002年上海(12)4分)
答：_f－1(0)＝a且f－1(x)＜x(x∈A)；y＝f－1(x)的图像在直线y＝x的下方，且与y轴的交点为(0，a)；……
31. 函数y＝(x∈(－1，＋∞))图象与其反函数图象的交点坐标为________。(2002年天津(13)4分)
答：(0，0)，(1，1)
32. 函数y＝ax在[0，1]上的最大值和最小值之和为3，则a＝______(2002年全国(13)4分)
答：2
33. 已知函数f(x)＝，那么f(1)＋f(2)＋f()＋f(3)＋f()＋f(4)＋f()＝________(2002年全国(16)、广东(16)、天津(16)4分)
答：
34. 若存在常数p＞0，使得函数f(x)满足f(px)＝f(px－)(x∈R)，则f(x)的一个正周期为_________.(2003年春北京(16)4分)
答：(填的任何一个正整数倍均可)
35. 已知函数f(x)＝＋1，则f－1(3)＝___________.(2003年春上海(1)4分)
答：4
36. 已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}且AÍB，则实数a的取值范围是____________.(2003年春上海(5)4分)
答：(－∞，－2)
37. 若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝__________.(2003年春上海(11)4分)
答：6
1. 解方程 log4(3－x)＋log0.25(3＋x)＝log4(1－x)＋log0.25(2x＋1).(85(11)7分)
解：由原对数方程有意义，可得x的取值范围是－0.5＜x＜1，
原方程化为log4 即
解这个方程得x1＝0，x2＝7.
其中x1＝0∈(－，1)是原方程的解，x2＝7Ï(－，1)，应舍去.
2. 设a，b是两个实数，A＝{(x，y)|x＝n，y＝na＋b，n是整数}，B＝{(x，y)|x＝m，y＝3m2＋15，m是整数}，C＝{(x，y)|x2＋y2≤144}是xoy平面内的集合，讨论是否存在a和b使得①A∩B≠φ，②(a，b)∈C同时成立.(85(17)12分)
解法一:如果存在实数a和b使得①式成立，则存在整数m和n使得
(n，na＋b)＝(m，3m2＋15)
即n＝m， na＋b＝3m2＋15
∴na＋b＝3n2＋15
这个等式表明点P(a，b)在直线l:nx＋y＝3n2＋15上
原点O到直线l的距离d＝
∴d≥12，当且仅当n2＝3时取等号，而n∈Z，∴n2≠3，故只有d＞12
∴点P到原点的距离|PO|＝＞d＞12，即a2＋b2＞144.
而②成立要求a2＋b2≤144.
由此可知，同时满足①②的a，b不存在.
解法二:如果存在实数a，b能同时满足①②，
同解法一，由①成立知，存在整数n使得na＋b＝3n2＋15，即b＝3n2－na＋15， (*)
由②成立得a2＋b2≤144
将(*)式代入上式，并按a整理得关于a的二次不等式
(1＋n2)a2－2n(3n2＋15)a＋(3n2＋15)2－144≤0
它的判别式△＝4n2(3n2＋15)2－4(1＋n2)[(3n2＋15)2－144]＝－36(n2－3)
∵n∈Z，∴n2－3≠0，于是△＜0
又因1＋n2＞0，故这个关于a的不等式不可能有实数解
即是说不存在实数a，b，使得①②同时成立.
解法三:如果存在实数a，b能同时满足①②，同解法一，由①成立知，存在整数n使得
3n2－an－(b－15)＝0
(*)
于是它的判别式应非负，即△＝a2＋12b－180≥0
(**)
由此得12b－180≥－a2
由②成立知a2＋b2≤144，
(***)
即
－a2≥b2－144
因此有12b－180≥b2－144
即(b－6)2≤0
只有b＝6
将b＝6代入判别式(**)得出a2≥108
但将b＝6代入(***)式得出a2≤108
于是只有a2＝108，此时从(*)式解出n＝ÏZ
所以不存在实数a，b，使得①②同时成立.
3. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数:①CÍA∪B，且C中含有3个元素，②C∩A≠φ(φ表示空集)(86(20)10分)
解法一:以为A，B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，因此A∪B的元素个数是12＋12－4＝20个，所以满足条件①的集合个数是C
，在上面集合中，还满足A∩C＝φ的集合C的个数是C
，因此所求集合C的个数为
＝1084.
解法二:由题目条件可知，属于B而不属于A的元素个数是12－4＝8，因此，在A∪B中只含A中1个元素的所求集合C的个数为C
；同理，含A中2个元素和3个元素的集合C的个数分别为C
和C
，总数为C
＝1084.
4. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝(x∈R且x≠)，证明:
①经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴；
②这个函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形.(88(24)12分)
证法一:①设M1(x1，y1)，M2(x2，y2)是这个函数图象上任意两个不同点，则x1≠x2，且
y2－y1＝
＝
∵a≠1且x1≠x2，∴y2－y1≠0
从而直线M1M2的斜率k＝≠0，因此直线M1M2不平行于x轴.
②设点P(x1，y1)是这个函数的图象上任意一点，则x1≠ (i)
易知点P(x1，y1)关于直线y＝x的对称点P1的坐标为(y1，x1)
由(i)式得 y1(ax1－1)＝x1－1
变形得 x1(ay1－1)＝y1－1
(ii)
假如ay1－1＝0，则y1≠，代入(i)得 Þ a＝1
这与已知a≠1矛盾，∴ay1－1≠0
于是由(ii)式得 x1= 这说明点P1(y1，x1)也在已知函数的图象上
因此这个函数的图象关于直线y＝x成轴对称图形.
证法二:①设M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，是这个函数图象上任意两个不同点，则x1≠x2，
假如直线M1M2平行于x轴，那么y1＝y2，即
去分母整理得 a(x1－x2)＝x1－x2，
∵x1≠x2，所以a＝1，这与已知矛盾，因此M1M2不平行于x轴.
②先求所给函数的反函数.
由 y＝ (x∈R且x≠)
得 y(ax－1)＝x－1 即 x(ay－1)＝y－1
假如ay－1＝0，则y＝，代入所给函数的解析式，得
即ax－a＝ax－1 所以a＝1，这与已知矛盾，故ay－1≠0
于是x＝
所以原函数的反函数为y＝(x≠)，与原函数相同.
由于函数y＝f(x)的图象和它的反函数y＝f－1(x)的图象关于y＝x对称，
所以函数 y＝ (x∈R且x≠)的图象关于y＝x对称.
证法三:①任取一条与x轴平行的直线l，设其方程为y＝c(c为常数)
下面考虑l与所给函数的图象是否相交，以及交点个数的情况:
将y＝c代入y＝
整理得 (ca－1)x＝c－1
若ca－1＝0，即c＝时，上式变为0＝c－1，即c＝1 Þ a＝1
这与已知矛盾，故此时l与函数图象无交点；
当ca－1≠0时，得x＝
这说明原方程只有一个解，从而直线l与函数图象只有一个交点(，c)，
综上所述，平行于x轴的直线l不可能同时经过所给函数图象上的两个不同点，
因此，经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于x轴.
5. 
已知a＞0且a≠1，试求使方程loga(x－ak)＝loga2(x2－a2)有解的k的取值范围.(89(22)12分)
解法一:由对数函数的性质可知，原方程的解x应满足
当①②同时成立时，③显然成立，因此只须联立解①②即可.
由①得2kx＝a(1＋k2)
④
当k＝0时，由a＞0知④无解，因而原方程无解；
当k≠0时，④的解为x＝ ⑤
将⑤代入②得 ＞ak
当k＜0时得k2＞1，即k＜－1； y y1
当k＞0时得k2＜1，即0＜k＜1；
y2
y2
综合得k∈(－∞，－1)∪(0，1)时原方程有解.
解法二:原方程等价于 x－ak＝ (x2＞a2)
ak －a o a x
记y1＝x－ak，y2＝ (x≠±a)
则y2是双曲线x2－y2＝a2在双曲线上方的部分其渐近线为y＝±x，
y1是一条在x轴上截距为ak的直线，且平行于双曲线的一条渐近线，
如图，当y1与y2有公共点时原方程有解，可得
ak＜－a或0＜ak＜a，
由a＞0得k＜－1或0＜k＜1；
即当k∈(－∞，－1)∪(0，1)时原方程有解.
注:用数形结合法解题时应说明或论证出图象与本题有关的主要性质，否则要扣分.
6. 设f(x)是定义在R上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间(2k－1，2k＋1]，已知当x∈I0时，f(x)＝x2.(89(24)10分)
①求f(x)在Ik上的解析表达式；
②对自然数k，求集合Mk＝{a|使方程f(x)＝ax在Ik上有两个不相等的实根}
解：①解:设x∈Ik，则x－2k∈I0，又f(x)是以2为周期的函数，
∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)2，
即对于k∈Z，当x∈Ik时，f(x)＝(x－2k)2，
②解法一:当k∈N且x∈Ik时，由①可得方程为(x－2k)2＝ax
整理得 x2－(4k＋a)x＋4k2＝0
它的判别式△＝(4k＋a)－16k2＝a(a＋8k)
且 x1，2＝
于是，f(x)＝ax在区间Ik上恰有两个不相等实数根的充要条件是a满足
化简得
由(i)知a＞0或a＜－8k (∵k∈N，∴k＞0)
当a＞0时，因2＋a＞2－a，故从(ii)(iii)可得 a(a＋8k)≤(2－a)2
即 即 即0＜a≤
当a＜－8k时，2＋a＜2－8k＜0，易知 a(a＋8k)＜(2＋a)2
无解，
综上所述，a应满足0＜a≤，故所求集合为 Mk＝{a|0＜a≤}
解法二:由①可得方程为(x－2k)2＝ax (i) y
记y1＝ax，y2＝(x－2k)2，
y1 y2
要使方程(i)在Ik＝(2k－1，2k＋1]上有两个相异实数解， 1
只须y1与y2的图象在内有两个相异交点.
o Ik x
当x∈Ik时，y1是一条线段，其所在直线过原点，斜率为a，
y2是一段抛物线，顶点在(2k，0)，开口向上，如图:
当y1夹在x轴与l之间时满足题意，其斜率应满足0＜a≤.
故所求集合为 Mk＝{a|0＜a≤}
7. 
设f(x)＝lg，其中a是实数，n是任意给定的自然数，且n≥2.
①如果f(x)当x∈(－∞，1]时有意义，求a的取值范围；
②如果a∈(0，1]，证明2f(x)＜f(2x)当x≠0时成立.(90(24)10分)
①解:f(x)当x∈(－∞，1]时有意义的条件是
1＋2x＋3x＋……＋(n－1)x＋nxa＞0 x∈(－∞，1] n≥2
即a＞－[(] x∈(－∞，1]
(i)
因为 －()x (k＝1，2，3，……，n－1)在(－∞，1]上都是增函数，
所以－[(]在(－∞，1]上也都是增函数，
从而它在x＝1时取得最大值，为－[(.
因此(i)式等价于a＞－.
也就是的取值范围为{a|a＞－}.
②证法一: 2f(x)＜f(2x)
a∈(0，1]， x≠0，即
[1＋2x＋3x＋……＋(n－1)x＋nxa]2＜n[1＋22x＋32x＋……＋(n－1)2x＋n2xa]
a∈(0，1]，x≠0，
现在用数学归纳法证明该不等式: