江苏省南京市2009年高三二模模拟考试
数学
(考试时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．
1.已知
,则
=
2.定义运算
，则符合条件
的复数
为 ___ _
3.已知圆
截
轴所得弦长为16，则
的值是
4.设
，函数
有意义, 实数m取值范围
5.已知
则当
取得最小值时，椭圆
的离心率是____
6.已知命题p:“
”，命题q:“
”若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是
．
7.给出幂函数①
；②
；③
；④
；⑤
．
其中满足条件
>
（
）的函数的序号是
8.一个几何体的三视图如图所示，其中主视图
中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为
正六边形，那么该几何体的体积为_____
9.若已知不等式
的取值都成立，则的取值范围为
10.
的内角
的对边分别为
，若
，
，则
的取值范围是
11.如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒末，它从原点运动到（0，1），接着它按如图所示的x轴、y轴的平行方向来回运动，（即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…），且每秒移动一个单位，那么第2009秒末这个粒子所处的位置的坐标为_
12.若正方形
边长为1，点
在线段
上运动， 则
的最大值是
13.执行右边的程序框图，若
＝0.9，则输出的
14.已知：M={a|函数
在[
]上是增函数}，N={b|方程
有实数解}，设D=
，且定义在R上的奇函数
在D内没有最小值，则m的取值范围是
说明、证明过程或演算步骤．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
15.（本小题满分14分）
如图，已知三棱锥P―ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB中点，M为PB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．
（I）求证：
平面
；
（II）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（Ⅲ）若M为PB的中点，求三棱锥M―BCD的体积．
16.（本小题满分14分）
已知函数
且给定条件
（Ⅰ）在条件
下求
的最大值及最小值；
（Ⅱ）若又给条件
且是
的充分条件，求实数
的取值范围
17.（本小题满分14分）
某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置.设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）.
（1）写出g（x），h（x）的解析式；
（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式；
（3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？
18.（本小题满分16分）
设椭圆
的左右焦点分别为
、
，
是椭圆
上的一点，且
，坐标原点
到直线
的距离为
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设
是椭圆上的一点，过点的直线
交轴于点
，交
轴于点
，若
，求直线的斜率．
19.（本小题满分16分）
已知数列
中，
，
，其前
项和
满足
其中（
，
）．
（1）求数列的通项公式；
（2）设
为非零整数，），试确定
的值，使得对任意，都有
成立．
20.（本小题满分16分）
已知函数
．
（I）当
时，求函数
的极值；
（II） 若函数的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2，求证：
；
（III）对任意
的图像在
处的切线的斜率为
，求证：
是
成立的充要条件．
江苏省2009届高三南京二模模拟考试一
1. －
2. 
3.
4.
5. 
6.
或
7. ④
8. 
9. 
10. （２，４］ 11. （28，44） 12. 
13. 5 14. m>
15.（1）【证明】∵△PAB中， D为AB中点，M为PB中点，∴
∵DM
平面
，PA
平面，∴
平面
……3分
（2）【证明】∵D是AB的中点，△PDB是正三角形，AB=20，
∴
……4分
∴△PAB是直角三角形，且AP⊥PB，……5分
又∵AP⊥PC，
……6分
∴AP⊥平面PBC．∴AP⊥BC．……8分
又∵AC⊥BC， AP∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．……9分
∵
∴平面PAC⊥平面ABC．……10分
（3）【解】由（1）知，由（2）知PA⊥平面PBC，
∴DM⊥平面PBC．……11分
∵正三角形PDB中易求得
，
……13分
∴
……14分
16．解：（Ⅰ）∵
………………………………………………………………4分
又∵
……………………………………6分
即 
∴ymax=5， ymin=3 …………………………………………………………………8分
（Ⅱ）∵
……………………………10分
又∵P为q的充分条件 ∴ 
………………………………………13分
解得 3<m<5 ……………………………………………………………………14分
17. 解：（1）由题意知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，（216－x）人.
∴g（x）=
，h（x）=
，
即g（x）=
，h（x）=
（0＜x＜216，x∈N*）. ……………………4分
（2）g（x）－h（x）=－=
.
∵0＜x＜216，
∴216－x＞0.
当0＜x≤86时，432－5x＞0，g（x）－h（x）＞0，g（x）＞h（x）；
当87≤x＜216时，432－5x＜0，g（x）－h（x）＜0，g（x）＜h（x）.
∴f（x）=
……………………8分
（3）完成总任务所用时间最少即求f（x）的最小值.
当0＜x≤86时，f（x）递减，
∴f（x）≥f（86）=
=
.
∴f（x）min=f（86），此时216－x=130.
当87≤x＜216时，f（x）递增，
∴f（x）≥f（87）=
=.
∴f（x）min=f（87），此时216－x=129.
∴f（x）min=f（86）=f（87）=.
∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、129……………………14分
18. （Ⅰ）由题设知
由于
，则有
，所以点
的坐标为
……..2分
故
所在直线方程为
…………3分
所以坐标原点
到直线的距离为
又
，所以
解得：
…………5分
所求椭圆的方程为
…………6分
（Ⅱ）由题意可知直线
的斜率存在，设直线斜率为
直线的方程为
，则有
…………8分
设
，由于
、
、
三点共线，且
根据题意得
,解得
或
…………14分
又在椭圆
上，故
或
解得
,综上，直线的斜率为
或
…………16分
19. 解：（1）由已知，
（
，
），
即
（，），且
．
∴数列
是以
为首项，公差为1的等差数列．
∴
．
（2）∵，∴
，要使
恒成立，
∴
恒成立，
∴
恒成立，
∴
恒成立．
（?）当
为奇数时，即
恒成立，
当且仅当
时，
有最小值为1，
∴
．
（?）当为偶数时，即
恒成立，
当且仅当
时，
有最大值
，
∴
．
即
，又
为非零整数，则
．
综上所述，存在，使得对任意，都有
．
20.解：（I）
2分
由
得，
或
而
，列出下表
0
―
0
+
0
―
递减
极小值
递增
极大值
递减
所以，当时，取得极小值，极小值等于
；
当时，取得极大值，极大值等于
；
6分
（II）设函数
、
， 不妨设
（注：若直接用
来证明至少扣1分）
10分
（III）
时，
16分