山东省都进中学2009届高三年级第三次模拟考试
数学理科卷 2009.03
注意事项：
1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟．
2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上．考试结束，试题
和答题卡一并收回．
3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）
涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．
第Ⅰ卷 （共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
1．设复数
为实数时，则实数
的值是 （ ）
A．3
B．
D．
或5
2．函数
的零点个数为 （ ）
A．0 B．
3．若集合
，
，则
等于 （ ）
A．
B．
C．
D．{1}
4．设m<0，两直线
与
垂直，则
的最大值为（ ）
A．-2 B．
5．运载“神州七号”宇宙飞船的火箭在点火第一分钟通过的路程为
程增加
时间是 （ ）
A．10分钟 B．12分钟 C．15分钟 D．18分钟
6．在
的展开式中，
的幂的指数是整数的项共有 （ ）
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
7．已知函数
,若
则
的值是 （ ）
A．-4 B．
8．若函数
的图象关于直线
对称,则
的值是 （ ）
A．0 B．
C．
D．
9．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数
为b，设向量
则向量
与向量
垂直的概率为 （ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知变量
满足
则
的最大值为 （ ）
A．4
B．
11．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为 （ ）
A．
B．
C．
D．
12．右图是计算
的值算法框图，
其中在判断框中应填入的条件是 （ ）
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷
把答案填在横线上．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．
13．已知
，若
则
.
14．在直角坐标系中，点A在圆
上，点B在直线
上，则
的最小
值为 .
15．已知
是水平放置的边长为a的正三角形ABC的斜二测平面直观图，那么
的面积为
.
16．右图是2008年“华东”杯第13届CCTV青年歌手电视大奖赛上某位
选手得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据
的方差为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知函数
．
（1）求
的最值；
（2）求的单调增区间.
18．（本小题满分12分）如图，四棱锥
中，底面
是直角梯形，
，
，
，侧面
底面，且
为等腰直角三角
形，
，
为
的中点．
（1）求证：
；
（2）求证：
平面
；⑶求二面角
的正切值.
19、（本小题满分12分）在一次考试中共有８道选择题，每道选择题都有4个选项，其中有
且只有一个选项是正确的．评分标准规定：“每题只选一个选项，选对得5分，不选或
选错得０分”．某考生已确定有4道题答案是正确的，其余题中：有两道只能分别判断2
个选项是错误的，有一道仅能判断１个选项是错误的，还有一道因不理解题意只好乱猜，
求：
（1）该考生得40分的概率；
（2）该考生得多少分的可能性最大？⑶该考生所得分数的数学期望．
20．（本小题满分12分）已知数列
中，
，
（
且
）.
（1）若数列
为等差数列，求实数
的值；
（2）求数列的前
项和
.
21．（本小题满分12分）设函数
，其中
为常数．
（1）当
时，判断函数在定义域上的单调性；
（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点.
22．（本小题满分14分）已知椭圆
的方程为 
，过其左焦点
，斜率为1的直线交椭圆于
两点．
（1）若
与
＝（－3，1）共线，求椭圆C的方程；
（2）已知直线
：
，在上求一点
，使以椭圆的焦点为焦点且过点
的双曲线
的实轴最长，求点的坐标和此双曲线的方程。
参 考 答 案
一、选择题
1．
解得
.
2．函数
与
的图象有两个交点,故有两个零点.
3．集合
，集合
，
.
4．由
得
.
5．设这一过程大约需要t分钟，火箭发射后每分钟通过的路程分别为
一等差数列，根据等差数列求和公式得：
，即
，解
得：
.
6．
,故当
时,幂指数为整数,共5项.
7．由
，
.
.
8．由题知
，即选项D.
9．
，满足条件的
有序实数对由（2，1），（4，2），（6，3），则垂
直的概率为
.
10．求目标函数
的最大值，如图所示，可知
，所以
.
11．有三视图可知该正三棱柱底面正三角形的高为
，棱柱高为2,可得底面边长为4,从而
可求得棱柱的表面积.
12．此结构为直到型循环结构，当
时停止循环。
二、填空题
13．3 解析： 
.
14．
解析：圆心坐标为（0，1）到直线
的距离为
，圆的半径为1,
故所求最小距离为.
15．
解析：
的高为
，所以面积为
.
16．
解析：根据方差计算公式可得.
三、解答题
17．
------------- 2分
--------------------4分
------------------------6分
（1）的最大值为
、最小值为
；---------------------- 8分
（2）由
， ----------- 10分
得
，
从而的单调增区间为
----------12分
18．解法一：(1)取
的中点
，连结
，
--------------2分
，且
，
是正三角形，
． ------ 3分
平面
． ---------------- 4分
（2）取
的中点
，联结
，
分别为
的中点，
，且
----------- 6分
∵
且
，
且
．
∴四边形
是平行四边形
．
------------- 7分
平面
，
平面PCB,
平面 ----------------
8分
（3）取
的中点，联结
∵四边形
是直角梯形且，
，
,
又
,
平面
，
，
是二面角
的平面角． -------------10分
设
，则
;
、分别为
、
中点，
是等腰直角三角形
斜边的中点，
-----------11分
，
∴二面角的正切值为
---------------12分
解法二：（1）同解法1;
（2）∵侧面
底面，
又
，
底面
∴直线
两两互相垂直，故可以分别以直线为轴、
轴
和
轴建立如图所示的空间直角坐标系
. -------5分
设
，则可求得
，则
.
设
,则
,
，
,
，即
----------6分
设
是平面
的法向量，则
且
,
取
，得
-----------------7分
是
的中点， 
,
------------8分
平面 平面
---------------9分
（3）
平面， 
是平面的法向量， ----------10分
------------11分
∴二面角的正切值为
------------12分
19．解：（1）设选对一道“可判断２个选项是错误的”题目为事件A，“可判断１个选项是错误
的”该题选对为事件B，“不能理解题意的”该题选对为事件C.则
------------2分
所以得４０分的概率
---------3分
（2）该考生得20分的概率
=
--------4分
该考生得25分的概率
=
-----------6分
该考生得30分的概率
=
=
-----------8分
该考生得35分的概率
=
∵
∴该考生得25分或30分的可能性最大------10分
（3）该考生所得分数的数学期望
=
---------12分
20．（1）因为（且），
所以
----------2分
显然，当且仅当
，即
时，数列为等差数列；---5分
（2）由（1）的结论知：数列
是首项为
，公差为1的等差数列，
故有
，-------6分
即
（）--------7分
因此，有
，
,------9分
两式相减，得
，-----10分
（）-----------------12分
21．（1）由题意知，的定义域为
，
--------- 2分
当
时， 
，函数在定义域上单调递增 ------ 4分
（2）①当时，由（1）知函数在上单调，无极值点; -------5分
②当
时，
有两个相同的解
，
时，
时，函数在
上无极值点 ----------- 6分
③当
时，
有两个不同解:
---7分
若
，则
,此时随在定义域上的变化情况如下表：
减
极小值
增
由表可知：有惟一极小值点
， -----9分
若
，则0<
<1，此时，，随的变化情况如下表：
增
极大值
减
极小值
增
由表可知：有一个极大值点和一个极小值点
； -------11分
综上所述：b的范围是
.
时，有惟一最小值点
；
时，有一个极大值点
和一个极小值点
------ 12分
22．（1）将直线
的方程为：
代入
，可得：
；
令
则
---------2分
由
，
与=（－3，1）共线，得
∴
，
∴
，即
，∴
； --------- 4分
又
，∴
,所以椭圆C的方程为
;---6分
（2）椭圆的右焦点为
，
直线的方程为：，因为在双曲线上，要双曲线的实轴最长，只
须
最大， ----------------- 8分
设
关于直线的对称点为
，则可求（
，－），
则直线
与直线的交点为所求，---------------------------------10分
易得直线：
，由
，得M（
，－
）；------ 12分
故双曲线的长轴最长为：
，
∴
，又
，
，
故所求双曲线方程为： 
.
----------- 14分