江苏省2009届高考数学精编模拟试题（一）
一．填空题
1．已知
为虚数单位，则
。
2．设集合
=
。
3．已知等比数列
=
。
4．图1所示程序框图运行后输出的结果为 。
5．图2是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是 。
 |
6．已知实数
则“
”是“
”的
条件。
7．已知函数
两函数的图像的交点个数为
。
8．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，
。
9. ．已知实数
的最小值为
10．．已知抛物线
，过焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线交于A，B两个点，则坐标原点与A、B两点构成的三角形的面积为
。
11．某地为了了解该地区10000户家庭的用电
情况，采用分层抽样的方法抽取了500户
家庭的月平均电用量，并根据这500户家
庭月平均用量画出频率分布直方图（如图），
则该地区1000户家庭中月平均用电度数
在[70，80]的家庭有 户。
12. ．设动直线
与函数
和
的图象分别交于
、
两点，则
的最大值为
．
13. 函数
的最小值是
．
14．已知一容器中有A、B两种菌，且在任何时刻A、B两种菌的个数乘积为定值1010。为了简单起见，科学家用
来记录A菌个数的资料，其中
为A菌的个数。则下列判断中正确的个数为
个。
①
②若今天的
值比明天的值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个
③假设科学家将B菌的个数控制为5万个，则此时5<<5.5
二．解答题
15. 在
中，
，
．
(Ⅰ)求
；
(11)设的外心为
，若
，求
，
的值．
16.如图，在长方体
中，
分别是
的中点，M、N分别是
的中点，
（1）求证：
面
（2）求三棱锥
的体积
17. 某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间
(单位：年)有关。若
，则销售利润为
元；若
，则销售利润为
元；若
，则销售利润为
元．设每台该种电器的无故障使用时间，及这三种情况发生的概率分别为
，
，
，叉知，是方程
的两个根，且
(1)求，，的值；
(2)记
表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求的期望．
18. 已知两点和分别在直线
和
上运动，且
，动点
满足：
(为坐标原点)，点的轨迹记为曲线
．
(Ⅰ)求曲线的方程，并讨论曲线的类型；
(Ⅱ)过点
作直线
与曲线交于不同的两点
、
，若对于任意
，都有
为锐角，求直线的斜率
的取值范围．
19. 已知函数
.
（Ⅰ）求函数
的单调区间及其极值;
（Ⅱ）证明：对一切
，都有
成立.
20
在数列
中，
，且
．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)令
，数列
的前项和为
，试比较
与的大小；
(Ⅲ)令
，数列
的前项和为
，求证：对任意
都有
试题答案
一．填空题
1．
2. 
3. 
4. 45
5. 
6. 充分不必要条件
7. 3 8. 
9.―3 10.
2 11.1200 12.
3 13. 1 14.1
二．解答题
15.
解: (Ⅰ)由余弦定理知:
,
.
(Ⅱ)由
,
知
为的外心，
.
同理
.
即
，
解得:
16. （1）证明：取PE中点F，连结MF、NF
MN
面MNF
所以MN||面
（2）过D作
的垂线，垂足为G
∵BC⊥面 ∴BC⊥DG
∴DG⊥面PNE
∴
17. 解：（1）由已知得
，∵，∴
∵、是方程的两个根，∴
∴
，
（2）的可能取值为0，100，200，300，400
，
，
，
，
即的分布列为：
故
18．解
（I）由
，得是
的中点.
设
依题意得:
消去
，整理得
．
当
时，方程表示焦点在
轴上的椭圆；
当
时，方程表示焦点在
轴上的椭圆；
当
时，方程表示圆．
（II）由，焦点在轴上的椭圆，直线与曲线恒有两交点，
直线斜率不存在时不符合题意；
可设直线的方程为
，直线与椭圆交点
.
.
要使为锐角，只需
.
即
，
可得
，对于任意恒成立.
而
，
所以的取值范围是
.
19. （Ⅰ）解：
，令
，得
.
0
增
极大值
减
由上图表知：
的单调递增区间为，单调递减区间为.
的极大值为
.
（Ⅱ）证明：对一切，都有成立
则有
由（Ⅰ）知，的最大值为
，并且
成立，当且仅当
时成立，
函数
的最小值大于等于函数的最大值，但等号不能同时成立.
所以，对一切，都有成立.
20. 解:(Ⅰ)
，
，
即
(
).
（II）
，
.
猜想当
时，
.
下面用数学归纳法证明:
①当
时，由上可知
成立；
②假设
时，上式成立，即
.
当
时，
所以当时成立.
由①②可知当
时,.
综上所述当
时, 
;
当
时, 
;
当时,.
（III）
当
时，
所以
＋
.
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