运城市2008―2009学年第二学期高三调研测试
数学试题(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．请在答卷页上作答。
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线
的焦点
的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知全集
，集合
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C
D．
3．已知非零实数
、
，满足
，则下列不等式恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知向量
，
，若
，则
为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在等比数列
中，
为其前项和，已知
，
，则此数列的公比
为（ ）
A．2 B．
6．设函数
，则其反函数
的图象是（ ）
7．已知在矩形
中，
，
，沿
将矩形折成一个直角二面角
，则四面体的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D
8．设
则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．若曲线
在点
处的切线为
，则点
到直线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若
同时具有以下两个性质：①是偶函数；②对于任意实数
，都有
，则的解析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．过双曲线
的右顶点
作斜率为1的直线，若与该双曲线的其中一条渐近线相交于点
，则该双曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是（ ）
A．234 B．
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．
的展开式中的的系数是
，
则= ．
14．已知某地教育部门为了解学生在数学答卷中的
有关信息，从上次考试的10000名考生的数学
试卷中，用分层抽样的方法抽取500人，并根据
这500人的数学成绩画出样本的频率分布直方图
(如图)，则这10000人中数学成绩在[140，150]中
的约有 人．
15．在棱长均相等的正三棱柱
中，
与平面
所成的角的正弦值为
．
16．若以原点为圆心的圆全部在区域
内，则圆面积的最大值为
。
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)
17．(本小题满分10分)
在
中，角、
、
的对边分别为、、
，且满足
．
(1)求角B的大小；
(2)已知函数
，求
的取值范围。
18．(本小题满分12分)
如图，已知
平面
，
，
是
正三角形，且
．
(1)若
为
中点，求证：
平面
；
(2)求平面与平面所成二面角的大小．
19．(本小题满分12分)
某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间
(单位：年)有关。若
，则销售利润为
元；若
，则销售利润为
元；若
，则销售利润为
元．设每台该种电器的无故障使用时间，及这三种情况发生的概率分别为
，
，
，叉知，是方程
的两个根，且
(1)求，，的值；
(2)求销售两台这种家用电器的销售利润总和为200元的概率．
20．(本小题满分12分)
设
的极小值为
，其导函数
的图象经过点，
，如图所示。
（1）求的解析式；
（2）若对
都有
恒成立，求实数
的取值范围。
21．(本小题满分12分)
数列的前项和为，
，
．求：
(1)数列的通项
；
(2)数列
的前项和
．
22．(本小题满分12分)
如图，在直角坐标系
中，已知椭圆：
的离心率
，左、右两个焦点分别为
、
。过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交、
两点，且
．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左顶点为，下顶点为，动点
满足
，试求点的轨迹方程，使点关于该轨迹的对称点落在椭圆上．
运城市2008―2009学年第二学期高三调研测试
1．D 2．D 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 1 0．C 11．A 12．B
13．
14．
15．
16．
提示：
1．D 由
，得
，所以焦点
2．D 解不等式
，得
，∴
，
∴
，故
3．D （法一）当
时，
推导不出
，排除C；故选D。
（法二）∵
，
为非零实数且满足，∴
，即
，故选D。
4．D 
，
，∴
，∴
．
5．B 两式相减得
，∴
，∴
．
6．C 令
，解得
，∴
．
7．C 可知四面体
的外接球以
的中点
为球心，故
8．C 由已知有
或
解得
或
9．B 
，∴
，又
，
∴切线
的方程为
，即
，∴点
到直线的距离为期不远
10．C 对于A、D，
与
，
不是对称轴；对于B，电
不是偶函数；对于C，
符合要求．
11．A 由题意知直线的方程为
，当
时，
，即点
是渐近线
上一点，∴
，即离心率
．
12． B 应先求出2人坐进20个座位的排法。排除2人相邻的情况即可。
共有11+12=23个座位，去掉前排中间3个不能入坐的座位，还有20个座位，则2人坐入20个座位的排法有
种，排除①两人坐前排相邻的12种情况；②两人坐后排相邻的22种情况，∴不同排法的种数有
（种）．
13． 展开式中的
的系数是
，
14．800 由图知成绩在
中的频率为
，所以在10000人中成绩在中的人有
人。
15． 设棱长均为2，由图知
与
到
的距离相等，而到平面的距离为
，故所成角的正弦值为
。
16． 求圆面积的最大值，即求原点到三条直线
，
和
距离的最小值，由于三个距离分别为
、
、
，最小值为，所以圆面积的最大值为
。
17．解：（1）由
，得
，…2分
∴
，∵
，∴
，∴
…………………………………………………………………………4分
∵
，∴
………………………………………5分
（2）∵，∴
，
∴
……………8分
∵
，∴
，∴
……………10分
18．解：（1）证明：延长
、
相交于点
，连结
。
∵
，且
，∴为
的中点，
为
的中点。
∵
为
的中点，由三角形中位线定理，有
∵
平面
，
平面，∴
平面…………………6分
（2）（法一）由（1）知平面
平面
。
∵为的中点，∴取的中点
，则有
。
∵
，∴
∵
平面
，∴
为
在平面上的射影，∴
∴
为平面与平面所成二面角的平面角。……………………10分
∵在
中，
，
，
∴
，即平面与平面所成二面角的大小为
。…………12分
（法二）如图，∵平面，，
∴
平面，
取的中点为坐标原点，以过且平行
的直线为
轴，
所在的直线为 轴，
所在的直线为
轴，建立空间直角坐标系。
设
，则
，
，
，
，
∴
，
设
为平面的法向量，
则
取
，可得
又平面的法向量为
，设
与
所成的角为
，………………… 8分
则
，
由图可知平面与平面所成二面角为锐角。
∴平面与平面所成二面角的大小为………………………………12分
19．解：（1）由已知得
，∵
，∴
∵
、
是方程
的两个根，∴
∴
，
…………………………………………6分
（2）设两台电器无故障使用时间分别为
、
，则销售利润总和为200元有三种情况：
，
；
，
；
，
，
其概率分别为
；
；
∴销售两台这种家用电器的销售利润总和为200元的概率为
………………………12分
20．解：（1）∵
，且
的图象经过点
，
，
∴
∴
∴
由图象可知函数
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
∴
，解得
，
∴
………………………6分
（2）要使对
都有
恒成立，只需
即可。
由（1）可知函数在
上单调递减，在上单调递增，
在
上单调递减，且
，
，、
∴
，
，
故所求的实数的取值范围为
………………………12分
21．解：（1）∵
，∴
，∴
又∵
，∴数列
是首项为1，公比为3的等比数列，
。
当
时，
（），∴
（2）
，
当
时，
；
当时，
，①
②
①-②得：
∴