资阳市2008―2009学年度高中三年级第二次高考模拟考试数学（理）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页．全卷共150分，考试时间为120分钟． （考试时间
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．
3．考试结束时，将本试卷和答题卡一并收回．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
.
如果事件A、B相互独立，那么
.
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
.
球的表面积
，其中R表示球的半径.
球的体积
，其中R表示球的半径.
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．
1．已知i为虚数单位，集合
，
，且
，则实数m的值为
（A）±2 （B）±1 （C）-1 （D）1
2．若
，则下列不等式不成立的是
（A）
（B）
（C）
（D）
3．函数
是
（A）最小正周期是π的偶函数 （B）最小正周期是π的奇函数
（C）最小正周期是2π的偶函数 （D）最小正周期是2π的奇函数
4．已知直线mÌ平面α，条件甲：直线l∥α，条件乙：l∥m，则甲是乙的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分又不必要条件
5．已知随机变量ξ的概率密度函数为
，则下列结论错误的是
（A）
（B）随机变量ξ的期望与标准差均为1
（C）
的渐近线方程为
（D）在区间
上是减函数
6．在右边的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行的数成等差数列，每一纵列的数成等比数列，那么
的值为
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
7．在
的展开式中，常数项等于
（A）70 （B）38 （C）-32 （D）-38
8．四面体ABCD的外接球球心在CD上，且
，
，在其外接球面上A、B两点间的球面距离是
（A）
（B）
（C）
（D）
9．已知向量
，向量
，曲线
上一点P到
的距离为6，Q为PF的中点，O为坐标原点，则
（A）5 （B）1 （C）10或2 （D）5或1
10．某班级要从6名男生、4名女生中选派6人参加某次社区服务，要求女生甲、乙要么都参加、要么都不参加，且至少一名女生参加，那么不同的选派方案总数为
（A）117 （B）107 （C）97 （D）82
11．已知点
，O是坐标原点，点
的坐标满足
设z为
在
上的投影，则z的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
12．已知函数
．规定：给定一个实数
，赋值
，若x1≤244，则继续赋值
，…，以此类推，若
≤244，则
，否则停止赋值．若最后得到的赋值结果为
，则称为赋值了n次
．如果赋值k次后该过程停止，那么
的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
资阳市2008―2009学年度高中三年级第二次高考模拟考试
数 学（理工农医类）
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
题号
二
三
总分
总分人
17
18
19
20
21
22
得分
注意事项：
1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上．
2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分． 把答案直接填在题目中的横线上．
13．已知函数
在R上连续，则
______．
14．图1是函数
的部分图象，则
_______．
15．如图2，已知A、D、B、C分别为过抛物线
焦点F的直线与该抛物线和圆
的交点，则
__________．
16．设
，函数
，其中a∈R，常数m∈N*，且
．如果不等式
在区间有解，则实数a的取值范围是________________.
三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，已知角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且直线l1：
与直线l2：
互相平行（其中
）．
（Ⅰ）求
；
（Ⅱ）若
，求△ABC面积的最大值．
18．（本小题满分12分）
一个口袋中装有分别标记着数字1、2、3、4的4个球，从这只口袋中每次取出1个球，取出后再放回，连续取三次，设三次取出的球中数字最大的数为随机变量ξ．
（Ⅰ）求ξ=3时的概率；
（Ⅱ）求ξ的概率分布列及数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图3，已知斜三棱柱ABC－A1B
的菱形，∠ACC1为锐角，侧面ABB
（Ⅰ）求证：AA1⊥BC1；
（Ⅱ）求A1到平面ABC的距离；
（Ⅲ）求二面角B－AC－C1的余弦值．
20．（本小题满分12分）
设向量
，
（
），函数
在
上的最小值与最大值的和为
；数列
的前n项和
满足：
．
（Ⅰ）求和
的表达式；
（Ⅱ）令
，试问：在数列
中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有
成立？证明你的结论．
21．（本小题满分12分）
如图4，已知椭圆C：
的左、右焦点分别是F1、F2，M是椭圆C的上顶点，椭圆C的右准线与x轴交于点N，且
，
．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若⊙O是以F
与⊙O相切，并与椭圆C交于不同的两点A、B．当
，且满足
时，求△AOB面积S的取值范围．
 |
22．（本小题满分14分）
已知函数
．
（Ⅰ）若函数在区间
（其中
）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当
时，不等式
恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证：
．
资阳市2008―2009学年度高中三年级第二次高考模拟考试
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．
1-5：DBADC； 6-10：BACDC； 11-12： BC.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分．
13．3； 14．-4； 15．1； 16．
．
三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答要写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：（Ⅰ）∵l1∥l2，
，
∴
，????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
∴
，
∴
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）∵
且
，
∴
，∴
，当且仅当
时取＂＝＂．??????????? 8分
∵
，∴
，?????????????????????????????????????????? 10分
∴
，当且仅当时取＂＝＂．
故△ABC面积取最大值为
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
18．解：（Ⅰ）ξ=3表示取出的三个球中数字最大者为3．
①三次取球均出现最大数字为3的概率
；??????????????????????????????????????? 1分
②三次取球中有2次出现最大数字3的概率
；???????????????????? 3分
③三次取球中仅有1次出现最大数字3的概率
．????????????????? 5分
∴P(ξ=3)=P1＋P2＋P3=
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）在ξ＝k时, 利用（Ⅰ）的原理可知：
（k=1、2、3、4）．???????? 8分
则ξ的概率分布列为：
ξ
1
2
3
4
P
??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
∴ξ的数学期望Eξ=1×＋2×＋3×＋4× = ．???????????????????????????????? 12分
19．（Ⅰ）证明：∵四边形AA
∵侧面ABB
，知C到AA1的距离为，
，∴△AA
∴AA1⊥面BOC1，又BC1Ì面BOC1．∴AA1⊥BC1．???????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA、OC1、OB两两垂直，以O为原点，建立如图空间直角坐标系，则
，
，
，
，
．则
，
，
，
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 5分
设
是平面ABC的一个法向量，
则
即
令
，则
．设A1到平面ABC的距离为d．
∴
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 8分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知平面ABC的一个法向量是，又平面ACC1的一个法向量
． 9分
∴
．???????????????????????????????????????????????????????????? 11分
∴二面角B－AC－C1的余弦值是
．???????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
20．解：（Ⅰ）
，对称轴方程为
，故函数
在[0,1]上为增函数，∴
．?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
当
时，
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
∵
①
∴
②
②-①得
，即
，?????????????????????????????????????????????????? 4分
则
，∴数列
是以
为首项，
为公比的等比数列．
∴
，∴
．?????????????????????????????????????????????????? 6分
（Ⅱ）∵
，∴
．
∵
???????????????????????????????????????????????????????? 7分
可知：当
时，
；当
时，
；当
时，
．
即
?????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
可知存在正整数
或6，使得对于任意的正整数n，都有
成立．???????????? 12分
21．解：（Ⅰ）设
，
，
，
，
，
，
，
，
．∵
，
∴
，∴
，∴
．??????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
则N(c，0)，M(0，c)，所以
，
∴
，则
，
．
∴椭圆的方程为
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 4分
（Ⅱ）∵圆O与直线l相切，则
，即
,????????????????????????????????? 5分
由
消去y得
．
∵直线l与椭圆交于两个不同点，设
，
，
∴
，
，???????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
∴
，
由
，
，
．?????????????????? 8分
．???????????????????????????????????????? 9分
（或
）．
设
，则
，
，
，
令
，则
，
∴
在时单调递增，????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
∴S关于μ在区间
单调递增，
，
，
∴
．??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
（或
，
∴S关于u在区间单调递增，?????????????????????????????????????????????????????????????????????? 11分
∵，，
．）????????????????????????????????????????????????????????? 12分
22．解：（Ⅰ）因为
，
，则
， 1分
当
时，
；当
时，
．
∴在
上单调递增；在
上单调递减，
∴函数在
处取得极大值．????????????????????????????????????????????????????????????????????? 2分
∵函数在区间
（其中
）上存在极值，
∴
解得
．????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 3分
（Ⅱ）不等式
，即为
，?????????????????????????????????????????? 4分
记
，∴
，??????? 5分
令
，则
，∵
，∴
，
在
上递增，
∴
，从而
，故
在上也单调递增，
∴
，
∴
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
恒成立，即
，??????????? 8分
令
则
，????????????????????????????????????????????????????? 9分
∴
，
，
，
………
，?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 10分
叠加得：
．???????????????????????????????????????????????????????????????????????? 12分
则
，
∴
.????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 14分