扬州市2006~2007学年度第一学期期末调研测试
高三数学试题
注意事项：本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1. 若集合
，
，则“
”是“
”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2. 函数
（
）的反函数的解析表达式为
A．
B．
C．
D．
3. 已知
，
为钝角，则
的值为
A．
B．
C．
D．
4. 一家五口人：爷爷、奶奶、爸爸、妈妈和小孩坐成一排拍照片,小孩一定要紧靠在爷爷和奶奶中间坐,奶奶不坐在两端,共有不同的坐法
A．
种
B．
种
C．
种 D．
种
5. 一个与球心距离为
的平面截球所得圆的面积为
，则球的表面积为
A．
B．
C．
D．
6. 设变量
，
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为
A．
B．
C．
D．
7.以抛物线
上点
为切点的切线，与其准线交点的横坐标为
A．
B．
C．
D．
8. 将函数
的图象进行下列哪一种变换就变为一个奇函数的图象
A．向左平移
个单位
B．向左平移
个单位
C．向右平移个单位
D．向右平移个单位
9. 在长方体
中，
为
上任意一点，则一定有
A．
与
异面
B．与
垂直
C．与平面
相交 D．与平面平行
8
3
4
1
5
9
6
7
2
10. 将
个正整数
填入
方格中，使其每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，这个正方形叫做
阶幻方.记
为阶幻方对角线上数的和，如右图就是一个阶幻方，可知
.已知将等差数列：
前
项填入
方格中,可得到一个阶幻方,则其对角线上数的和等于
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 某地区有
、
、
三家养鸡场，养鸡的数量分别是
、
、
只，为了预防禽流感，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为
只的样本检查疫情，则应从、、三家养鸡场分别抽取的个体数为 ▲ ， ▲ ， ▲ .
12. 
▲ .
13. 某公司一年需购买某种货物
吨，每次都购买吨，运费为
万元/次，一年的总存储费用为
万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则
▲ 吨.
14. 
展开式中的常数项是 ▲ .（用数字作答）
15.某人射击一次击中目标的概率为
，经过次射击，此人至少有两次击中目标的
概率为 ▲ . （用分数表示）
16. 以下四个关于圆锥曲线的命题中
①过圆内一点（非圆心）作圆的动弦
，则中点的轨迹为椭圆；
②设、为两个定点，若
，则动点的轨迹为双曲线的一支；
③方程
的两个根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④无论方程
表示的是椭圆还是双曲线，它们都有相同的焦点.
其中真命题的序号为 ▲ . （写出所有真命题的序号）.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.（本题满分12分）
在
中，
，
，
.
（1）求
的值；（2）求
的值.
18.（本题满分14分）
已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条准线方程为
，一条渐近线的倾斜角为
.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线
与轴交于点，与双曲线交于、两点，求
的值.
19.（本题满分14分）
如图：
平面
，四边形是矩形，
，
与平面所成的角是
，点
是
的中点，点
在边
上移动.
（1）当点为的中点时，试判断
与平面
的位置关系，并说明理由；
（2）证明：不论点在边上何处，都有
；
（3）
等于何值时，二面角
的大小为
.
20.（本题满分16分）
已知二次函数
的二次项系数为，且不等式
的解集为
.
（1）若方程
有两个相等的实数根，求的解析式；
（2）若函数
在区间
内单调递减，求的取值范围；
（3）当
时，证明方程
仅有一个实数根.
21.（本题满分14分）
设
（
为常数，且
），
，
，(
).
（1）求
的值；
（2）求证：数列
是等比数列；
（3）设数列的前项和为
，
，
，试比较
与
的大小.
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题：
11. 
； 12. 
；
13. 
；
14. 
；
15. 
； 16. ③ ④ .
三、解答题：
17.解：（1）在
中，由
，得
， 又由正弦定理：
得：
.
……………………4分
（2）由余弦定理：
得：
，
即
，解得
或
（舍去），所以
.
……8分
所以，
即
.
…………………12分
18.解：（1）依题意，双曲线的方程可设为：
、
，
则
解之得：
，
所以双曲线的方程为：
.
……………………6分
（2）设
、
，直线
与
轴交于
点，此点即为双曲线的右焦点，由
消去
，得
，
此方程的
且
，
，
所以、两点分别在左、右支上，不妨设在左支、在右支上 ………9分
则由第二定义知：
，
， …………11分
所以
，即
. ………14分
（亦可求出、的坐标，用两点间距离公式求.）
19.（1）当点
为
的中点时，
与平面
平行.
∵在
中，、
分别为、
的中点
∴∥
又
平面，而
平面
∴∥平面.
……………………4分
（2）证明（略证）：易证
平面
，又是
在平面内的射影，
，∴
.
……………………8分
(3)∵
与平面
所成的角是
，∴
，
，
.
过作
于
，连
，则
. …………………10分
易知：
，
，设
，则
，
，
在
中，
，
得
.
………14分
解法二:（向量法）（1）同解法一
（2）建立图示空间直角坐标系，则
，
，
，
.
设，则
∴ （本小题4分）
（3）设平面
的法向量为
，由
，
得：
，
依题意
，∴
，
得.
（本小题6分）
20.解：（1）
，
∴可设
，
因而
①
由
得 
②
∵方程②有两个相等的根，
∴
，即
解得 
或
由于
，（舍去），将 代入 ① 得
的解析式
.
…………………6分
（2）
=
，
∵
在区间
内单调递减，
∴
在上的函数值非正，
由于，对称轴
，故只需
，注意到，∴
，得
或
（舍去）
故所求a的取值范围是
.
…………………11分
（3）时，方程
仅有一个实数根，即证方程
仅有一个实数根.令
，由
，得
，
，易知
在
，
上递增，在
上递减，的极大值
，的极小值
，故函数的图像与轴仅有一个交点，∴时，方程仅有一个实数根，得证.
……………………16分
21.解：（1）
， ……………………1分
=
.
……………………4分
（2）
，
……………………5分
，………7分
∴数列
是
为首项，
为公比的等比数列. ……………………8分
（3）由（2）知
， Sn =
， ……………9分
=
∵0<
<1，∴>0，
，0<
<1，
，
∴
，
……………………11分
又当
时，
，∴
， ……………………13分
∴
<
.……14分