2009年湖南省宁乡一中高三4月份模拟考试试题
理科数学
命题责任人：吴敏 朱修龙 校对责任人：杨海燕
说明：①本次考试共3大题，分客观题和主观题，共150分，考试时间为120分钟；
②请考生将所有答案填写在答题卡规定位置，答在本卷本上的答案一律无效。
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合
，则
（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2. 不等式
的解集是（ ）
A. 
B. 
C.
D. 
3. 直线
与圆
相切，则
的值为（ ）
A. 
B.
C.
D.
4. 若
与
都是非零向量，则“
”是“
”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件
5. 函数
的单调减区间是（ ）
A. B. 
C.
D. 
6. 若函数
满足
，且
时，
，则函数
的图像与函数
的图像的交点的个数为（ ）
A. 
B.
C.
D.
7. 方程
在
内有解，则
的取值范围是（ ）
A.
B. 
C.
D. 
8. 已知正四面体A-BCD中，动点P在
内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为（ ）
A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 C. 抛物线的一部分 D. 一条线段
二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填写在答题卡相应位置）
9. 已知复数
,则化简复数
=
.
10. 设函数的反函数为
，且
的图像过点（
，1），则的图像必过定点的坐标是
.
11. 由圆
与平面区域
所围成的图形（包括边界）的面积为 .
12. 为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1┱2┱3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ．
13. 已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，A、B两点间的球面距离为
，B、C与A、C间的球面距离均为
，则球心O到平面ABC的距离为
.
14. 有五种不同颜色供选择，把右图中五块区域涂色，同一区域同一颜色，相邻区域不同颜色，共有
种不同的涂法.（结果用数值表示）
15. 七月过后，粮食丰收了。农民刘某家的原有粮仓显得太小了，他决定在屋内墙角（如图，墙角∠A = 60°）搭建一个急用粮仓。现有一块矩形木板BCDE，刘某在想，木板应该怎样放置才能使粮仓装粮最多？（假定粮仓顶面DEF水平并另用木板盖上）。
（1）若矩形木板边长分别为
（2）若矩形木板周长为
三、解答题：（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
16. （本小题满分12分）甲、乙两人按如下规则进行射击比赛，双方对同一目标轮流射击，若一方未击中，另一方可继续射击，甲先射，直到有人命中目标或两人总射击次数达4次为止. 若甲击中目标的概率为
，乙击中目标的概率为.
求：（1）甲在他第二次射击时胜出的概率；
（2）比赛停止时，甲、乙两人射击总次数
的分布列和期望。
17. （本小题满分12分）设的内角A、B、C所对的边分别为
，且
.
（1）求角
的大小；
（2）若
，求的周长
的取值范围.
18. （本小题满分12分）
如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，又CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=
（1）求证：AO
平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的大小；
（3）求点E到平面ACD的距离．
19. （本小题满分13分）
某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线
的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N，交曲线于点P，设
（1）将
（O为坐标原点）的面积
表示成
的函数
；
（2）若在
处，取得最小值，求此时
的值及的最小值.
20. （本小题满分13分）
已知方向向量为
的直线
过椭圆
的焦点以及点
，椭圆
的中心关于直线的对称点在椭圆的右准线上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的左焦点
作一条与两坐标轴都不垂直的直线
，交椭圆于P、Q两点，若点M在
轴上，且使
为
的一条角平分线，则称点M为椭圆的“左特征点”，求椭圆的左特征点M的坐标.
21. （本小题满分13分）
已知数列
满足：
，且
（1）设
，证明数列
是等差数列；
（2）求数列、的通项公式；
（3）设
，
为数列
的前
项和，证明
.
2009届高三4月份模拟考试试题答案
理科数学
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
答 案
C
A
B
C
B
C
C
A
二、填空题（每小题5分，共35分）
（2）的可能取值为1、2、3、4
表示甲第一次就击中目标
表示甲第一次未击中，乙第一次击中目标
表示甲、乙前一次都未击中，甲第二次击中目标
表示前三次射击未中 
…………………………..8分
的分布列为
1
2
3
4
P
…………..10分
…………….……..12分
17、（本小题满分12分）
解：（1）方法一：在中，有
由正弦定理得：
又
，即
，
又为的内角，
…………………………..5分
方法二：由得
即：
（2）由正弦定理得：
………………..7分
…………………………..10分
于是
故的周长的取值范围为
。
…………………………..12分
18、(本小题满分12分)
解：方法一：（1）证明：连结OC．
BO=DO，AB=AD，AOBD．
BO=DO，BC=CD，COBD．
在
AOC中，由已知可得AO=1，CO=
，
而AC=2，
，
AOC=90°，即AOOC．
，AO平面BCD．
…………………………..4分
（2）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，
由E为BC的中点知ME//AB，OE//DC．
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．
在OME 中,EM= AB=
，OE=DC=1，
OM是直角△AOC斜边Ac上的中线，OM=AC=1，
,异面直线AB与CD所成角的大小为
．
…………………………..8分
（3）设点E到平面ACD的距离为h．
在ACD中，CA=CD=2，AD=，
而
, 
点E到平面ACD的距离为
． ……………..…..12分
方法二：（1）同方法一．
（2）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（一1，0，0），C（0，,0），（0,0,l）,E（
），
=（一1，0，1），
（一1，一，0）．
， 异面直线AB与CD所成角的大小为arccos
．
（3）解：设平面ACD的法向量为
，
则
，
令y=I，得
是平面ACD的一个法向量．
又
点E到平面ACD的距离
19、（本小题满分13分）
解：（1）
，切线的斜率为
，切线的方程为
令
得
…………………..3分
,令
,得
的面积
…………………..6分
(2) 
…………………..8分
,由
,得
当
时, 
当
时, 
…………………..11分
已知在处, 
,故有
故当
时,
…………………..13分
20、（本小题满分13分）
解、（1）直线的方程为
①
…………………..2分
过原点垂直于的直线方程为
②
解①②得
椭圆中心O（0，0）关于直线的对称点在椭圆的右准线上，
…………………..4分
直线过椭圆的焦点，该焦点的坐标为
从而
故椭圆C的方程为
…………………..6分
（2）设左特征点的坐标为
，左焦点为
，可设直线PQ的方程为
由与,消去得
又设
,则
③
…………………..8分
因为
为
的角平分线,所以
,
即:
…………………..10分
将
与
代入上式化简,得
④
将③代入④中,得
,得
即左特征点为
…………………..13分
21、（本小题满分13分）
解：(1) 
,
为等差数列
…………………..3分
(2)由(1)
,从而
………………….6分
(3)
,
当
时,
,不等式的左边=7,不等式成立
当
时,
故只要证
,
………………….8分
如下用数学归纳法给予证明:
①当
时,
,
时,不等式成立;
②假设当
时,
成立
当
时, 
只需证: 
,即证: 
………………….10分
令
,则不等式可化为:
即
令
,则
在
上是减函数
又
在
上连续, 
,故
当
时,有
当时,所证不等式对的一切自然数均成立
综上所述,
成立.
………………….13分