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第二十一讲 圆锥曲线中的最值和范围问题(一)
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【考题回放】
1.已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(C )
A.( 1,2) B. (1,2) C. D.(2,+∞)
2. P是双曲线的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x-5)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( D )
A. 6
B
3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为:(B)
(A) (B) (C) (D)
5.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y12+y22的最小值是 32 .
6.对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( B )
(A)(-∞,0) (B)(-∞,2 (C)[0,2] (D)(0,2)
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【热点透析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决:
(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系;
(2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式组得出参数的变化范围;
(3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
(4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思;
(5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共同特点是均含有三角式。因此,它们的应用价值在于:
① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标;
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题;
(6)构造一个二次方程,利用判别式D³0。
★★★突破重难点
【例1】已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件.记动点的轨迹为W.
(Ⅰ)求W的方程;
(Ⅱ)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.
解:(Ⅰ)依题意,点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,
所求方程为: (x>0)
(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为x=x0,
此时A(x0,),B(x0,-),=2
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+b,
代入双曲线方程中,得:(1-k2)x2-2kbx-b2-2=0
依题意可知方程1°有两个不相等的正数根,设A(x1,y1),B(x2,y2),则
解得|k|>1,
又=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)
=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=>2
综上可知的最小值为2
【例2】给定点A(-2,2),已知B是椭圆上的动点,F是右焦点,当取得最小值时,试求B点的坐标。
解:因为椭圆的,所以,而为动点B到左准线的距离。故本题可化为,在椭圆上求一点B,使得它到A点和左准线的距离之和最小,过点B作l的垂线,垂点为N,过A作此准线的垂线,垂点为M,由椭圆定义
于是 为定值
其中,当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立,此时B为
所以,当取得最小值时,B点坐标为
【例3】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动,Q点在椭圆上移动,试求|PQ|的最大值。
解:故先让Q点在椭圆上固定,显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大,因此要求|PQ|的最大值,只要求|O1Q|的最大值.设Q(x,y),则|O1Q|2= x2+(y-4)2 ①
因Q在椭圆上,则x2=9(1-y2) ②
将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2
因为Q在椭圆上移动,所以-1£y£1,故当时,
此时
【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关;
2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。
【例4】已知椭圆的一个焦点为F1(0,-2),对应的准线方程为,且离心率e满足:成等差数列。
(1)求椭圆方程;
(2)是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线平分,若存在,求出l的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由。
(1)解:依题意e ,
∴a=3,c=2,b=1,
又F1(0,-2),对应的准线方程为
∴椭圆中心在原点,所求方程为
(2)假设存在直线l,依题意l交椭圆所得弦MN被平分
∴直线l的斜率存在。 设直线l:y=kx+m
由消去y,整理得 (k2+9)x2+2kmx+m2-9=0
∵l与椭圆交于不同的两点M、N,
∴Δ=4k
设 M(x1,y1),N(x2,y2) ②
把②代入①式中得,
∴k>或k<-
∴直线l倾斜角
第二十二讲圆锥曲线中的最值和范围问题(二)
【例5】长度为()的线段的两个端点、分别在轴和轴上滑动,点在线段上,且(为常数且).
(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹类型;
(2)当=2时,已知直线与原点O的距离为,且直线与轨迹有公共点,求直线的斜率的取值范围.
答案:(1)设、、,则
,由此及,得
,即 (*)
①当时,方程(*)的轨迹是焦点为,长轴长为的椭圆.
②当时,方程(*)的轨迹是焦点为,长轴长为的椭圆.
③当时,方程(*)的轨迹是焦点为以O点为圆心,为半径的圆.
(2)设直线的方程:,据题意有,即.
由得 .
因为直线与椭圆有公共点,所以
又把代入上式得 :.
【例6】椭圆E的中心在原点O,焦点在轴上,其离心率, 过点C(-1,0)的直线与椭圆E相交于A、B两点,且满足点C分向量的比为2.
(1)用直线的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面积;(2)当△OAB的面积最大时,求椭圆E的方程。
解:(1)设椭圆E的方程为( a>b>0 ),由e =
∴a2=3b2 故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C(-1,0)分向量的比为2,
由消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2=0
由直线l与椭圆E相交于A(x1,y1), B(x2,y2)两点得:
而S△OAB ⑤
由①③得:x2+1=-,代入⑤得:S△OAB =
(2)因S△OAB=,
当且仅当S△OAB取得最大值
此时 x1 + x2 =-1, 又∵ =-1 ∴x1=1,x2 =-2
将x1,x2及k2 = 代入④得3b2 = 5 ∴椭圆方程x2 + 3y2 = 5
【例7】设直线过点P(0,3),和椭圆顺次交于A、B两点,若试求l的取值范围.
解:当直线垂直于x轴时,可求得;
当与x轴不垂直时,设,直线的方程为:,代入椭圆方程,消去得
解之得
因为椭圆关于y轴对称,点P在y轴上,所以只需考虑的情形.
当时,,,
所以 ===.
由 , 解得 ,
所以 ,
综上 .
【例8】我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”,其中,,.
如图,设点,,是相应椭圆的焦点,,和,是“果圆” 与,轴的交点,是线段的中点.
(1) 若是边长为1的等边三角形,求该“果圆”的方程;
(2)设是“果圆”的半椭圆上任意一点.求证:当取得最小值时,在点或处;
(3)若是“果圆”上任意一点,求取得最小值时点的横坐标.
解:(1) ,
,于是,
所求“果圆”方程为,.
(2)设,则
,
, 的最小值只能在或处取到.
即当取得最小值时,在点或处.
(3),且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上,所以,由(2)知,只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可.
.
当,即时,的最小值在时取到,
此时的横坐标是.
当,即时,由于在时是递减的,的最小值在时取到,此时的横坐标是.
综上所述,若,当取得最小值时,点的横坐标是;
若,当取得最小值时,点的横坐标是或.