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第二十一讲 圆锥曲线中的最值和范围问题(一)

★★★高考在考什么

【考题回放】

1.已知双曲线6ec8aac122bd4f6e(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是(C )

A.( 1,2)          B. (1,2)           C.6ec8aac122bd4f6e           D.(2,+∞)

2. P是双曲线6ec8aac122bd4f6e的右支上一点,M、N分别是圆(x+5)2y2=4和(x-5)2y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为( D  )

A. 6              B.7              C.8                D.9

3.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( A )

A.6ec8aac122bd4f6e               B.6ec8aac122bd4f6e           C.6ec8aac122bd4f6e               D.6ec8aac122bd4f6e

4.已知双曲线6ec8aac122bd4f6e的左、右焦点分别为F1F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为:(B)

    (A)6ec8aac122bd4f6e           (B)6ec8aac122bd4f6e           (C)6ec8aac122bd4f6e          (D)6ec8aac122bd4f6e

5.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y12+y22的最小值是   32       .

6.对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点Pa,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是( B )

(A)(-∞,0)     (B)(-∞,26ec8aac122bd4f6e     (C)[0,2]         (D)(0,2)

 

★★★高考要考什么

【热点透析】

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决:

(1)结合定义利用图形中几何量之间的大小关系;

(2)不等式(组)求解法:利用题意结合图形(如点在曲线内等)列出所讨论的参数适合的不等式(组),通过解不等式组得出参数的变化范围;

(3)函数值域求解法:把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数,通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

(4)利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用,往往需要创造条件,并进行巧妙的构思;

(5)结合参数方程,利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程,它们的一个共同特点是均含有三角式。因此,它们的应用价值在于:

① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标;

② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题;

(6)构造一个二次方程,利用判别式D³0。

 

★★★突破重难点

【例1】已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件6ec8aac122bd4f6e.记动点6ec8aac122bd4f6e的轨迹为W.

(Ⅰ)求W的方程;

(Ⅱ)若ABW上的不同两点,O是坐标原点,求6ec8aac122bd4f6e的最小值.

解:(Ⅰ)依题意,点P的轨迹是以MN为焦点的双曲线的右支,

所求方程为:6ec8aac122bd4f6ex>0)

(Ⅱ)当直线AB的斜率不存在时,设直线AB的方程为xx0

此时Ax06ec8aac122bd4f6e),Bx0,-6ec8aac122bd4f6e),6ec8aac122bd4f6e=2

当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kxb

代入双曲线方程6ec8aac122bd4f6e中,得:(1-k2)x2-2kbxb2-2=0

依题意可知方程1°有两个不相等的正数根,设A(x1,y1),B(x2,y2),则

6ec8aac122bd4f6e解得|k|>1,

6ec8aac122bd4f6ex1x2y1y2x1x2+(kx1b)(kx2b

=(1+k2x1x2kbx1x2)+b26ec8aac122bd4f6e>2

综上可知6ec8aac122bd4f6e的最小值为2

【例2】给定点A(-2,2),已知B是椭圆6ec8aac122bd4f6e上的动点,F是右焦点,当6ec8aac122bd4f6e取得最小值时,试求B点的坐标。

解:因为椭圆的6ec8aac122bd4f6e,所以6ec8aac122bd4f6e,而6ec8aac122bd4f6e为动点B到左准线的距离。故本题可化为,在椭圆上求一点B,使得它到A点和左准线的距离之和最小,过点Bl的垂线,垂点为N,过A作此准线的垂线,垂点为M,由椭圆定义

6ec8aac122bd4f6e

于是 6ec8aac122bd4f6e为定值

其中,当且仅当BAM与椭圆的定点时等点成立,此时B6ec8aac122bd4f6e

所以,当6ec8aac122bd4f6e取得最小值时,B点坐标为6ec8aac122bd4f6e

 

【例3】已知P点在圆x2+(y-2)2=1上移动,Q点在椭圆6ec8aac122bd4f6e上移动,试求|PQ|的最大值。

解:故先让Q点在椭圆上固定,显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大,因此要求|PQ|的最大值,只要求|O1Q|的最大值.设Q(xy),则|O1Q|2= x2+(y-4)2   ①

Q在椭圆上,则x2=9(1-y2)     ②

将②代入①得|O1Q|2= 9(1-y2)+(y-4)2 6ec8aac122bd4f6e

因为Q在椭圆上移动,所以-1£y£1,故当6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e

此时6ec8aac122bd4f6e

 

点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关;

 

 

2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法,其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等,值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视

【例4】已知椭圆的一个焦点为F1(0,-26ec8aac122bd4f6e),对应的准线方程为6ec8aac122bd4f6e,且离心率e满足:6ec8aac122bd4f6e成等差数列。

(1)求椭圆方程;

(2)是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点MN,且线段MN恰被直线6ec8aac122bd4f6e平分,若存在,求出l的倾斜角的范围;若不存在,请说明理由。

(1)解:依题意e 6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

    ∴a=3,c=26ec8aac122bd4f6e,b=1,

    又F1(0,-26ec8aac122bd4f6e),对应的准线方程为6ec8aac122bd4f6e

    ∴椭圆中心在原点,所求方程为6ec8aac122bd4f6e

 (2)假设存在直线l,依题意l交椭圆所得弦MN被6ec8aac122bd4f6e平分

∴直线l的斜率存在。 设直线l:y=kx+m

6ec8aac122bd4f6e消去y,整理得 (k2+9)x2+2kmx+m2-9=0

∵l与椭圆交于不同的两点M、N,

∴Δ=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0  即m2-k2-9<0       ①

M(x1,y1),N(x2,y26ec8aac122bd4f6e   6ec8aac122bd4f6e   ②

把②代入①式中得6ec8aac122bd4f6e

∴k>6ec8aac122bd4f6e或k<-6ec8aac122bd4f6e

∴直线l倾斜角6ec8aac122bd4f6e

第二十二讲圆锥曲线中的最值和范围问题(二)

【例5】长度为6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e)的线段6ec8aac122bd4f6e的两个端点6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e分别在6ec8aac122bd4f6e轴和6ec8aac122bd4f6e轴上滑动,点6ec8aac122bd4f6e在线段6ec8aac122bd4f6e上,且6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e为常数且6ec8aac122bd4f6e).

(1)求点6ec8aac122bd4f6e的轨迹方程6ec8aac122bd4f6e,并说明轨迹类型;

(2)当6ec8aac122bd4f6e=2时,已知直线6ec8aac122bd4f6e与原点O的距离为6ec8aac122bd4f6e,且直线6ec8aac122bd4f6e与轨迹6ec8aac122bd4f6e有公共点,求直线6ec8aac122bd4f6e的斜率6ec8aac122bd4f6e的取值范围.

答案:(1)设6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,则

6ec8aac122bd4f6e,由此及6ec8aac122bd4f6e,得

6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e (*)

①当6ec8aac122bd4f6e时,方程(*)的轨迹是焦点为6ec8aac122bd4f6e,长轴长为6ec8aac122bd4f6e的椭圆.

②当6ec8aac122bd4f6e时,方程(*)的轨迹是焦点为6ec8aac122bd4f6e,长轴长为6ec8aac122bd4f6e的椭圆.

③当6ec8aac122bd4f6e时,方程(*)的轨迹是焦点为以O点为圆心,6ec8aac122bd4f6e为半径的圆.

(2)设直线6ec8aac122bd4f6e的方程:6ec8aac122bd4f6e,据题意有6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

因为直线6ec8aac122bd4f6e与椭圆6ec8aac122bd4f6e有公共点,所以6ec8aac122bd4f6e 

又把6ec8aac122bd4f6e代入上式得 :6ec8aac122bd4f6e

【例6】椭圆E的中心在原点O,焦点在6ec8aac122bd4f6e轴上,其离心率6ec8aac122bd4f6e, 过点C(-1,0)的直线6ec8aac122bd4f6e与椭圆E相交于A、B两点,且满足点C分向量6ec8aac122bd4f6e的比为2.

(1)用直线6ec8aac122bd4f6e的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面积;(2)当△OAB的面积最大时,求椭圆E的方程。

解:(1)设椭圆E的方程为6ec8aac122bd4f6e( ab>0 ),由e =6ec8aac122bd4f6e

a2=3b2   故椭圆方程x2 + 3y2 = 3b2

A(x1,y1)、B(x2,y2),由于点C(-1,0)分向量6ec8aac122bd4f6e的比为2,

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e             即6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e消去y整理并化简得    (3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2=0

由直线l与椭圆E相交于Ax1,y1), B(x2,y2)两点得:

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e  

SOAB6ec8aac122bd4f6e  ⑤

由①③得:x2+1=-6ec8aac122bd4f6e,代入⑤得:SOAB  = 6ec8aac122bd4f6e

(2)因SOAB=6ec8aac122bd4f6e,

当且仅当6ec8aac122bd4f6eSOAB取得最大值

此时 x1 + x2 =-1, 又∵ 6ec8aac122bd4f6e =-1    ∴x1=1,x2 =-2

x1,x2k2 = 6ec8aac122bd4f6e代入④得3b2 = 5 ∴椭圆方程x2 + 3y2 = 5

【例7】设直线6ec8aac122bd4f6e过点P(0,3),和椭圆6ec8aac122bd4f6e顺次交于A、B两点,若6ec8aac122bd4f6e试求l的取值范围.

解:当直线6ec8aac122bd4f6e垂直于x轴时,可求得6ec8aac122bd4f6e;

6ec8aac122bd4f6e与x轴不垂直时,设6ec8aac122bd4f6e,直线6ec8aac122bd4f6e的方程为:6ec8aac122bd4f6e,代入椭圆方程,消去6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

解之得  6ec8aac122bd4f6e

因为椭圆关于y轴对称,点P在y轴上,所以只需考虑6ec8aac122bd4f6e的情形.

6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

所以 6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.

由  6ec8aac122bd4f6e, 解得 6ec8aac122bd4f6e

所以   6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e综上  6ec8aac122bd4f6e.

【例8】我们把由半椭圆6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e与半椭圆6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e合成的曲线称作“果圆”,其中6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

如图,设点6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e是相应椭圆的焦点,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e是“果圆” 与6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e轴的交点,6ec8aac122bd4f6e是线段6ec8aac122bd4f6e的中点.

(1)       若6ec8aac122bd4f6e是边长为1的等边三角形,求该“果圆”的方程;

(2)设6ec8aac122bd4f6e是“果圆”的半椭圆6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e上任意一点.求证:当6ec8aac122bd4f6e取得最小值时,6ec8aac122bd4f6e在点6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e处;

(3)若6ec8aac122bd4f6e是“果圆”上任意一点,求6ec8aac122bd4f6e取得最小值时点6ec8aac122bd4f6e的横坐标.

解:(1)6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e,于是6ec8aac122bd4f6e

所求“果圆”方程为6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e. 

(2)设6ec8aac122bd4f6e,则

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

     6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e的最小值只能在6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e处取到.

     即当6ec8aac122bd4f6e取得最小值时,6ec8aac122bd4f6e在点6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e处.                   

    (3)6ec8aac122bd4f6e,且6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e同时位于“果圆”的半椭圆6ec8aac122bd4f6e和半椭圆6ec8aac122bd4f6e上,所以,由(2)知,只需研究6ec8aac122bd4f6e位于“果圆”的半椭圆6ec8aac122bd4f6e上的情形即可.

6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

    当6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e的最小值在6ec8aac122bd4f6e时取到,

此时6ec8aac122bd4f6e的横坐标是6ec8aac122bd4f6e.                                       

    当6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e时,由于6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e时是递减的,6ec8aac122bd4f6e的最小值在6ec8aac122bd4f6e时取到,此时6ec8aac122bd4f6e的横坐标是6ec8aac122bd4f6e.                               

综上所述,若6ec8aac122bd4f6e,当6ec8aac122bd4f6e取得最小值时,点6ec8aac122bd4f6e的横坐标是6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e,当6ec8aac122bd4f6e取得最小值时,点6ec8aac122bd4f6e的横坐标是6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e