直线和圆的方程(教师版)
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．全国Ⅰ）已知直线
过点（－2，0），当直线与圆
有两个交点时，其斜率k的取值范围是 （ C ）
A．
) B．
C．（
）
D．（
）
2．（大连检测）从点P(m,3)向圆C：
，引切线，则切线长的最小值为（A ）
A．2
B．
C．
D．5
3．(江西高考)
为双曲线
的右支上一点，M、N分别是圆
和
上的点，则
的最大值为
（ D ）
A．6
B．
4．(天津高考)设直线
与圆
相交于A、B两点，且弦AB的长为
，则
。（0）
5．如果实数
满足条件
，那么
的最大值为_______。(1)
6．过点(1,2)总可以作两条直线与圆
相切，则实数
的取值范围____
(
)
★ ★★热点透析
直线与圆在高考中主要考查三类问题：
一.基本概念题和求在不同条件下的直线方程，基本概念重点考查：
1）与直线方程特征值（主要指斜率，截距）有关的问题；
2）直线的平行和垂直的条件；
3）与距离有关的问题等。
此类题目大都属于中、低档题，以选择题和填空题形出现；
二.直线与圆的位置关系综合性试题，此类题难度较大，一般以解答题形式出现；
三.线性规划问题，在高考中极有可能涉及，但难度不会大
★★★ 突 破 重 难 点
【范例1】已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为
，点N到直线PM的距离为求直线PN的方程
解：设点P的坐标为（x，y），由题设有
，
即
．
整理得 x2+y2－6x+1=0． ①
因为点N到PM的距离为1，|MＮ|＝2，
所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为±
，
直线PM的方程为y=±（x＋1）．②
将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0．解得x＝2＋
，x＝2－．
代入②式得点P的坐标为（2＋，1＋）或（2－，－1＋）；
（2＋，－1－）或（2－，1－）．
直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1．
【范例2】已知点A(-1,1),B(1,1),点P是直线
=
-2上的一点，满足∠APB最大，求点P的坐标及∠APB的最大值.?
解：设P（
，－2），则kAP＝
，
当＜3
时，
tanAPB＝
≤1
当且仅当3－＝
，即＝1时等号成立，
?又当
∴P是(1,-1)时，∠APB有最大值
；
当＞3时，同法可求∠APB的最大值是arctan
结论：当P点的坐标是（－1，1）时，∠APB有最大值
变式：过点
作两条互相垂直的直线，分别交的正半轴于
，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB方程.(x+2y-5=0和2x+y-4=0)
【范例3】已知点
，
是抛物线
上的两个动点，O是坐标原点，向量
满足
设圆C的方程为
,证明：1）求圆心C的规迹方程；2）当圆C的圆心到直线
的距离的最小值为
时，求p的值。
解：设圆C的圆心为C(x,y)，则
,
又
,
,
=
所以圆心的轨迹方程为：
2）设圆心C到直线的距离为d,则
，所以当
,d有最小值，由题设
，所以p=2
变式：已知P是直线
上的动点，PA、PB是圆
的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。
解：
点P在直线上，所以设
，C点坐标为(1,1)
=2
=
四边形PACB的面积最小，而|PC|
=
，所以|PC|最小为3，所以最小为
变式：一束光线通过点
射到x轴上，再反射到圆C：
上，求反射光线在x轴上的活动范围。（反射点在
）