第十三讲  不等式的解法

★★★高考在考什么

【考题回放】

1、（山东文）命题“对任意的”的否定是（    ）

A．不存在      B．存在

C．存在         D．对任意的

【答案】C【分析】注意两点：（1）全称命题变为特称命题；（2）只对结论进行否定。

2、（全国2理6）不等式:>0的解集为

(A)( -2, 1)                         (B) ( 2, +∞)

(C) ( -2, 1)∪  ( 2, +∞)                   (D) ( -∞, -2)∪  ( 1, +∞)

解．不等式:>0，∴ ，原不等式的解集为(-2, 1)∪(2, +∞)，选C。

3、(安徽文8)设a＞1,且,则的大小关系为

(A) n＞m＞p        (B) m＞p＞n   (C) m＞n＞p    (D) p＞m＞n

解析：设a＞1,∴ ，，,∴ 的大小关系为m＞p＞n，选B。

4．(安徽理3)若对任意R,不等式≥ax恒成立，则实数a的取值范围是

(A)a＜－1          (B)≤1             (C) ＜1            （D）a≥1

解析：若对任意R,不等式≥ax恒成立，当x≥0时，x≥ax，a≤1，当x<0时，－x≥ax，∴a≥－1，综上得，即实数a的取值范围是≤1，选B。

5、（北京理7）如果正数满足，那么（　　）

Ａ．，且等号成立时的取值唯一

Ｂ．，且等号成立时的取值唯一

Ｃ．，且等号成立时的取值不唯一

Ｄ．，且等号成立时的取值不唯一

解析：正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A。

6．（重庆理13）若函数f(x) = 的定义域为R，则的取值范围为_______.【答案】：

【分析】：恒成立，恒成立，

★★★高考要考什么

1. 绝对值不等式和无理不等式都是高考的重点内容，其难点是解无理不等式中去根号的方法和条件。因此要求学生熟练掌握去根号，去绝对值符号的方法。

  2. 处理指数、对数不等式方法一般是运用函数的单调性转化为有理不等式（组）来求解。因此本讲的重点是指数、对数函数的单调性，其难点是如何转化为有理数不等式组，特别是对数不等式中定义域条件的限制。

  3. 比较法是证明不等式的基本方法之一，是高考的重点，在运用比较法证明不等式时的难点是对差或商进行合理变形。

★★★ 突 破 重 难 点

【范例1】

    解析：由题可知：

    （1）若0<a<1时，原不等式等价于下列不等式组：

    （2）若a>1时，原不等式等价下列不等式组

    （3）若a=1时，原不等式可化为

    综上可知原不等式的解为：

    小结：    对于含参数的不等式，重点在于对参数的讨论，应做到正确分类（标准一致，不重不漏）。

【范例2】

    解：   

    则原不等式等价于下列不等式

【范例3】

    分析：首先应打开绝对值符号（由定义或等价变换均可）然后再解无理不等式，也可以用图形求解。

    解：

    解法二：

小结：从以上第一种解法知，此题既考查了绝对值不等式的解法，又考查了两种无理不等式的解法，不失为一道好题。选择解法一时，应特别注意等价变换、有序，最好不要一开始就讨论、略显杂乱，对于用图像法求解时，画图应规范，重要的点的坐标必须标出。

【范例4】

    分析：作差后既不易分解因式，也不易配方，可将差式中的b看作常数，为分解这个关于a的二次三项式，可用求根法，虽然方法特殊，但思路的出发点仍是将差式分解。

    证法一：作差并整理得：

    证法二：