第十二讲 平面向量及应用
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．（宁夏，海南）已知平面向量
，则向量
（ Ｄ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
2．（福建）对于向量
和实数
，下列命题中真命题是（ B ）
A．若
，则
或
B．若
，则
或
C．若
，则
或
D．若
，则
3．（北京）已知
是
所在平面内一点，
为
边中点，且
，那么（ Ａ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
4．（湖北）将
的图象按向量
平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
5．（江西文）在平面直角坐标系中，正方形
的对角线
的两端点分别为
，
，则
．
6．（陕西）如图，平面内有三个向量
、
、
,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且||＝||＝1，||＝
，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为
.
7．（全国Ⅱ）在中，已知内角
，边
．设内角
，周长为
．
（1）求函数
的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
解：（1）的内角和
，由
得
．
应用正弦定理，知
，
．
因为
，
所以
，
（2）因为
，
所以，当
，即
时，取得最大值
．
★★★高考要考什么
【考点透视】
本专题主要涉及向量的概念、几何表示、加法和减法，实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算，以及平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段的定比分点坐标公式和向量的平移公式.
【热点透析】
在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用。在复习中要重视教材的基础作用，加强基本知识的复习，做到概念清楚、运算准确，不必追求解难题。热点主要体现在平面向量的数量积及坐标运算以及平面向量在三角，解析几何等方面的应用.
★★★高考将考什么
【范例1】出下列命题：①若
，则
；
②若A、B、C、D是不共线的四点，则
是四边形为平行四边形的充要条件； ③若
，则
； ④的充要条件是且
∥
；
⑤若∥，∥
，则∥。 其中，正确命题的序号是_________________.
解析：
①不正确性。两个向量长度相同，但它的方向不一定相同。
②正确。∵且
，又A、B、C、D为不共线的四点，
∴ 四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，
则
，因此。
③正确。∵，∴、的长度相等且方向相同，又=，
∴、的长度相等且方向相同，∴、的长度相等且方向相同，故。
④不正确。当∥且方向相同，即使，也不能得到。
⑤不正确。考虑
这种极端情况。
答案：②③。
【点晴】本题重在考查平面的基本概念。
【范例2】平面内给定三个向量：
。回答下列问题：
（1）求
； （2）求满足
的实数m和n ；
（3）若
∥
，求实数k；
（4）设
满足
∥
且
，求
解：
（1）依题意，得=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6）
（2）∵
，∴（3，2）=m（-1,2）+n（4,1）=（-m+4n,
∴
解之得
（3）∵∥，且
=（3+4k，2+k），
=（-5，2）
∴（3+4k）×2-（-5）×（2+k）=0，∴
；
（4）∵
=（x-4，y-1），
=（2，4）， 又∵∥且，
∴
解之得
或
∴=（
，
）或=（
，
）
【点晴】根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。
变式：设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a?(a＋b).
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥
成立的x的取值集。
解：(Ⅰ)∵
∴
的最大值为
，最小正周期是
。
（Ⅱ）由(Ⅰ)知
即
成立的
的取值集合是
.
【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.
【范例3】已知射线OA、OB的方程分别为
，
，动点M、N分别在OA、OB上滑动，且
。
（1）若
，求P点的轨迹C的方程；
（2）已知
，
，请问在曲线C上是否存在动点P满足条件
，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。
解：（1）设
，
，
则
，
，
所以
，即
。
又因为，所以
，代入得：
。
（2）
，所以
，
因为，所以
，得
，
又
，联立得
，因为
，所以不存在这样的P点。
【点晴】本题是一道综合题，重在考查向量的概念及轨迹方程的求法。
变式：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点
，
，若点C满足
，点C的轨迹与抛物线
交于A、B两点；
（1）求点C的轨迹方程；
（2）求证：
；
（3）在x轴正半轴上是否存在一定点
，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）设
，由
知，点C的轨迹为
.
（2）由
消y得：
设
，
，则
，
,
所以
，所以
，于是
（3）假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为
,由
消x得：
，设
，
，
则
，
.
因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以
即
,所以
得
，所以存在.