第九讲 三角函数的求值
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．（海南）若
，则
的值为（C）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
2．（天津）“
”是“
”的（A）
Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件
Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
3. 在△OAB中，O为坐标原点，
，则当△OAB的面积达最大值时，
（
D ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4．（江苏）若
，
，则
_____
5．（浙江）已知
，且
，则
的值是
6．已知函数f(x)＝－
sin2x＋sinxcosx．
(Ⅰ) 求f(
)的值； (Ⅱ) 设
∈(0，
)，f(
)＝
－
，求sin的值．
解：(Ⅰ) 
(Ⅱ) 
，
解得
★★★高考要考什么
【考点透视】
本专题主要涉及同角三角函数基本关系，诱导公式，两角和差公式，倍角公式，升幂缩角、降幂扩角公式等公式的应用.
【热点透析】
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一
通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍
★★★突破重难点
【范例1】设0£q£p,P=sin2q+sinq-cosq
（1） 若t= sinq-cosq,用含t的式子表示P;
（2） 确定t的取值范围，并求出P的最大值.
解析（1）由
有
（2）
即
的取值范围是
在
内是增函数，在
内是减函数.
的最大值是
【点晴】
间通过平方可以建立关系，“知其一，可求其二”．
【范例2】已知
为
的最小正周期，
，且
．求
的值．
解：因为
为
的最小正周期，故
．
因
，又
．
故
．
由于
，所以
【范例3】设
．
（Ⅰ）求
的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角
满足
，求
的值．
解：（Ⅰ）
．
故的最大值为
；
最小正周期
．
（Ⅱ）由得
，故
．
又由
得
，故
，解得
．
从而
．
【范例4】已知
的面积S 满足
且
与
的夹角为
.
(1) 求的取值范围；
(2) 求函数
的最小值.
解： （1）由题意知，
①
②
由②
①，得
即
由得
又为与的夹角，
（2）
＝
即
时，
的最小值为3
【范例5】已知函数
，
．
（I）求的最大值和最小值；
（II）若不等式
在上恒成立，求实数
的取值范围．
本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识，以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力．
解：（Ⅰ）
．
又
，
，即
，
．
（Ⅱ）
，
，
且
，
，即的取值范围是
．
【变式】已知f（x）=2asin2x－2
asinx+a+b的定义域是［0,
］，值域是［－5，1］,求a、b的值.
解析 令sinx=t，∵x∈［0，］，∴t∈［0，1］，
f（x）=g（t）=2at2－2at+a+b=
）2+b.
当a＞0时，则
解之得a=6，b=－5.
当a＜0时，则
解之得a=－6，b=1.
【点睛】注意讨论的思想