第七讲  数列求和

★★★高考在考什么

【考题回放】

1.设，则等于（ D ）

   A.    B.     C.     D.

2. 等差数列{a_n}中，a₁=1,a₃+a₅=14，其前n项和S_n=100,则n=（　B　）

A．9      B．10       C．11       D．12

3.）数列的前项和为，若，则等于（　B　）

A．1      B．      C．      D．

4.设S_n是等差数列｛a_n｝的前n项和，若＝，则＝

A.           B.                  C.          D.

解析:由等差数列的求和公式可得且

所以,故选A

5.已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（　　）

A．55　　　　  B．70　　　　　C．85　　　　　D．100

解：数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于=，，∴

=，选C.

6.对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是　　

解：，曲线y=xⁿ(1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2^n-1-(n+1)2ⁿ

切点为（2，-2ⁿ）,所以切线方程为y+2ⁿ=k(x-2),令x=0得 a_n=(n+1)2ⁿ,令b_n=.数列的前n项和为2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2

　★★★高考要考什么

1．直接用等差、等比数列的求和公式求和。

    公比含字母时一定要讨论

(理)无穷递缩等比数列时，

2．错位相减法求和：如：

3．分组求和：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。

4．合并求和：如：求的和。

5．裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。

常见拆项：               

6．公式法求和       

7．倒序相加法求和

★     ★★ 突 破 重 难 点

【范例1】设数列满足，．

（Ⅰ）求数列的通项；  （Ⅱ）设，求数列的前项和．

解 (I)

验证时也满足上式，

(II) ，   ①

  ②   

   ①-② ：  ，

【变式】已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（Ⅰ）、求数列的通项公式；

（Ⅱ）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；

点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.

【范例2】已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．

（I）求，，，；   （II）求数列的前项和；

（Ⅲ）(理)记，，

求证：．

（I）解：方程的两个根为，，

当时，，所以；

当时，，，所以；

当时，，，所以时；

当时，，，所以．

（II）解：．

（III）证明：，

所以，．

当时，，

，

同时，

．

综上，当时，．

【变式】在数列中，，，．

（Ⅰ）证明数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和；

（Ⅲ）证明不等式，对任意皆成立．

解、（Ⅰ）证明：由题设，得，．

又，所以数列是首项为，且公比为的等比数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是数列的通项公式为．

所以数列的前项和．

（Ⅲ）证明：对任意的，

．

所以不等式，对任意皆成立．

【点睛】本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的概念、等比数列的通项公式及前项和公式、不等式的证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力．

【范例3】已知a₁=2，点(a_n,a_n+1)在函数f(x)=x²+2x的图象上，其中=1，2，3，…

（1）       证明数列｛lg(1+a_n)｝是等比数列；

（2）       设T_n=(1+a₁) (1+a₂) …(1+a_n)，求T_n及数列｛a_n｝的通项；

（3）       记b_n=，求｛b_n｝数列的前项和S_n，并证明S_n+=1.

解：（Ⅰ）由已知，       ，两边取对数得

        ，即

是公比为2的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知   （*）

                =

        由（*）式得

（Ⅲ）   

又

又.

【变式】已知数列满足，并且（为非零参数，）．

（Ⅰ）若成等比数列，求参数的值；

（Ⅱ）设，常数且．证明．

　　解：（I）由已知且

　　　若、、成等比数列，则即而解得

　　（II）证明：设由已知，数列是以为首项、为公比的等比数列，故 则　

　　因此，对任意

　　当且时，

所以