第五讲 等差等比
★★★高考在考什么
【考题回放】
1.在等差数列中,,则( A )
A. B. C. D. -1或1
2.(安徽)直角三角形三边成等比数列,公比为,则的值为( D )
A. B. C. D.
3.已知数列{}的前项和,第项满足,则( B )
A. B. C. D.
4.已知两个等差数列和的前项和分别为A和,且,则使得为整数的正整数的个数是( D )
A.2 B.
5.设等差数列的公差不为0,.若是与的等比中项,则( B )
A.2 B.4 C.6 D.8
6. 等比数列的前项和为,已知,,成等差数列,则的公比为 .
★★★高考要考什么
等差数列的证明方法:1. 定义法:2.等差中项:对于数列,若
等差数列的通项公式:------该公式整理后是关于n的一次函数
等差数列的前n项和 1. 2. 3.
等差中项: 如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项。即:或
等差数列的性质:1.等差数列任意两项间的关系:如果是等差数列的第项,是等差数列的第项,且,公差为,则有
2. 对于等差数列,若,则。也就是:,
3.若数列是等差数列,是其前n项的和,,那么,,成等差数列。如下图所示:
4.设数列是等差数列,是奇数项的和,是偶数项项的和,是前n项的和,则有如下性质:
1当n为偶数时,, 2当n为奇数时,则,,
等比数列的判定方法:①定义法:若②等比中项:若,则数列是等比数列。
等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是,公比是,则等比数列的通项为。
等比数列的前n项和:1 2 3当时,
等比中项:如果使,,成等比数列,那么叫做与的等比中项。那么。
等比数列的性质:
1.等比数列任意两项间的关系:如果是等比数列的第项,是等差数列的第项,且,公比为,则有
2. 对于等比数列,若,则也就是:。
3.若数列是等比数列,是其前n项的和,,那么,,成等比数列。如下图所示:
★ ★★ 突 破 重 难 点
【范例1】是等差数列的前n项和,已知的等比中项为,的等差中项为1,求数列的通项.
解析 由已知得, 即 ,
解得或 或
经验证 或 均满足题意,即为所求.
【点睛】若是等差数列的前n项和,则数列也是等差数列.本题是以此背景设计此题.
【变式】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比相等,且都等于d(d>0,d≠1).若a1=b1,a3=3b3,a5=5b5,求an,bn.
解:由已知①②
由①,得a1(3d2-1)=2d ③
由②,得a1(5d4-1)=4d ④
因为d≠0,由③与④得2(3d2-1)=5d4-1, 即5d4-6d2+1=0,解得d=±1,d=±.
∵d>0,d≠1,∴d=.代入③,得a1=-,故b1=-.
an=-+(n-1)=(n-6),bn=-×()n-1.
本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质,方程(组)的解法以及运算能力和分析能力.
【范例2】下表给出一个“三角形数阵”:
,
,,
… … … …
已知每一列的数成等差数列;从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为aij ( i≥j, i, j∈N*).
(1) 求a83;
(2) 试写出a ij关于i, j的表达式;
(3) 记第n行的和为An,求
解析 (1)由题知成等差数列,且,所以公差。
又成等比数列,且.又公比都相等,∴每行的公比是.∴.
(2)由(1)知,,∴.
(3).
【点睛】在新颖背景――数表中运用数列知识.
【文】在等比数列{a n}中,前n项和为Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列,则am, am+2, am+1成等差数列
(1)写出这个命题的逆命题;(2)判断逆命题是否为真,并给出证明
解析(1)逆命题:在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若am, am+2, am+1成等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列
(2)设{an}的首项为a1,公比为q. 由已知得2am+2= am + am+1
∴
当q=1时,∵Sm=ma1, Sm+2= (m+2)a1,Sm+1= (m+1)a1,
∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2, ∴Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列
当q=-时, ,
∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 , ∴Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列
综上得:当公比q=1时,逆命题为假;当公比q≠1时,逆命题为真
【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处.
【变式】等差数列的前项和为.
(Ⅰ)求数列的通项与前项和;
(Ⅱ)设,求证:数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
解:(Ⅰ)由已知得,, 故.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
假设数列中存在三项(互不相等)成等比数列,则.
即. ,
. 与矛盾.
所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列.
【范例3】若有穷数列(是正整数),满足即(是正整数,且),就称该数列为“对称数列”。
(1)已知数列是项数为7的对称数列,且成等差数列,,试写出的每一项
(2)已知是项数为的对称数列,且构成首项为50,公差为的等差数列,数列的前项和为,则当为何值时,取到最大值?最大值为多少?
(3)对于给定的正整数,试写出所有项数不超过的对称数列,使得成为数列中的连续项;当时,试求其中一个数列的前2008项和
解:(1)设的公差为,则,解得 ,数列为.
(2) ,
,当时,取得最大值为626.
(3)所有可能的“对称数列”是:
① ; ② ;
③ ; ④ .
对于①,当时,.
当时,
.
对于②,当时,.当时,.
对于③,当时,;当时,.
对于④,当时,;当时,.
【点睛】在看懂题目意思基础上,注意各种情况的讨论,考察观察,分析,运用能力
【文】如果有穷数列(为正整数)满足条件,,…,,即(),我们称其为“对称数列”.
例如,数列与数列都是“对称数列”.
(1)设是7项的“对称数列”,其中是等差数列,且,.依次写出的每一项;
(2)设是项的“对称数列”,其中是首项为,公比为的等比数列,求各项的和;
(3)设是项的“对称数列”,其中是首项为,公差为的等差数列.求前项的和.
解:(1)设数列的公差为,则,解得 ,
数列为.
(2)
67108861.
(3).由题意得 是首项为,公差为的等差数列.
当时, .
当时,
.
综上所述,