第五讲 等差等比

★★★高考在考什么

【考题回放】

1.在等差数列6ec8aac122bd4f6e中,6ec8aac122bd4f6e,则6ec8aac122bd4f6e(  A )

A.6ec8aac122bd4f6e       B.6ec8aac122bd4f6e          C.6ec8aac122bd4f6e        D. -1或1

2.(安徽)直角三角形三边成等比数列,公比为6ec8aac122bd4f6e,则6ec8aac122bd4f6e的值为( D  )

A.6ec8aac122bd4f6e       B. 6ec8aac122bd4f6e     C. 6ec8aac122bd4f6e   D. 6ec8aac122bd4f6e

3.已知数列{6ec8aac122bd4f6e}的前6ec8aac122bd4f6e项和6ec8aac122bd4f6e,第6ec8aac122bd4f6e项满足6ec8aac122bd4f6e,则6ec8aac122bd4f6e( B )

  A.6ec8aac122bd4f6e         B.6ec8aac122bd4f6e          C. 6ec8aac122bd4f6e         D.6ec8aac122bd4f6e

4.已知两个等差数列6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e的前6ec8aac122bd4f6e项和分别为A6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,且6ec8aac122bd4f6e,则使得6ec8aac122bd4f6e为整数的正整数6ec8aac122bd4f6e的个数是( D )

A.2      B.3      C.4      D.5

5.设等差数列6ec8aac122bd4f6e的公差6ec8aac122bd4f6e不为0,6ec8aac122bd4f6e.若6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e的等比中项,则6ec8aac122bd4f6e( B )

A.2      B.4      C.6      D.8

6. 等比数列6ec8aac122bd4f6e的前6ec8aac122bd4f6e项和为6ec8aac122bd4f6e,已知6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e成等差数列,则6ec8aac122bd4f6e的公比为      6ec8aac122bd4f6e

★★★高考要考什么

等差数列的证明方法:1. 定义法:2.等差中项:对于数列6ec8aac122bd4f6e,若6ec8aac122bd4f6e

等差数列的通项公式:6ec8aac122bd4f6e------该公式整理后是关于n的一次函数

等差数列的前n项和 1.6ec8aac122bd4f6e     2.  6ec8aac122bd4f6e   3.6ec8aac122bd4f6e

等差中项: 如果6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e成等差数列,那么6ec8aac122bd4f6e叫做6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e的等差中项。即:6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

等差数列的性质:1.等差数列任意两项间的关系:如果6ec8aac122bd4f6e是等差数列的第6ec8aac122bd4f6e项,6ec8aac122bd4f6e是等差数列的第6ec8aac122bd4f6e项,且6ec8aac122bd4f6e,公差为6ec8aac122bd4f6e,则有6ec8aac122bd4f6e

2.     对于等差数列6ec8aac122bd4f6e,若6ec8aac122bd4f6e,则6ec8aac122bd4f6e。也就是:6ec8aac122bd4f6e

3.若数列6ec8aac122bd4f6e是等差数列,6ec8aac122bd4f6e是其前n项的和,6ec8aac122bd4f6e,那么6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e成等差数列。如下图所示:6ec8aac122bd4f6e

4.设数列6ec8aac122bd4f6e是等差数列,6ec8aac122bd4f6e是奇数项的和,6ec8aac122bd4f6e是偶数项项的和,6ec8aac122bd4f6e是前n项的和,则有如下性质:

1当n为偶数时,6ec8aac122bd4f6e, 2当n为奇数时,则6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

等比数列的判定方法:①定义法:若6ec8aac122bd4f6e等比中项:若6ec8aac122bd4f6e,则数列6ec8aac122bd4f6e是等比数列。

等比数列的通项公式:如果等比数列6ec8aac122bd4f6e的首项是6ec8aac122bd4f6e,公比是6ec8aac122bd4f6e,则等比数列的通项为6ec8aac122bd4f6e

等比数列的前n项和:16ec8aac122bd4f6e   26ec8aac122bd4f6e   3当6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e

等比中项:如果使6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e成等比数列,那么6ec8aac122bd4f6e叫做6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e等比中项。那么6ec8aac122bd4f6e

 

等比数列的性质:

1.等比数列任意两项间的关系:如果6ec8aac122bd4f6e是等数列的第6ec8aac122bd4f6e项,6ec8aac122bd4f6e是等差数列的第6ec8aac122bd4f6e项,且6ec8aac122bd4f6e,公6ec8aac122bd4f6e,则有6ec8aac122bd4f6e

2.     对于等比数列6ec8aac122bd4f6e,若6ec8aac122bd4f6e,则6ec8aac122bd4f6e也就是:6ec8aac122bd4f6e

3.若数列6ec8aac122bd4f6e是等数列,6ec8aac122bd4f6e是其前n项的和,6ec8aac122bd4f6e,那么6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e成等数列。如下图所示:6ec8aac122bd4f6e

★     ★★ 突 破 重 难 点

【范例1】6ec8aac122bd4f6e是等差数列6ec8aac122bd4f6e的前n项和,已知6ec8aac122bd4f6e的等比中项为6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e的等差中项为1,求数列6ec8aac122bd4f6e的通项.

解析 由已知得6ec8aac122bd4f6e,   即6ec8aac122bd4f6e

解得6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e  6ec8aac122bd4f6e 或 6ec8aac122bd4f6e

经验证 6ec8aac122bd4f6e 或 6ec8aac122bd4f6e均满足题意,即为所求.

【点睛】若6ec8aac122bd4f6e是等差数列6ec8aac122bd4f6e的前n项和,则数列6ec8aac122bd4f6e也是等差数列.本题是以此背景设计此题.

【变式】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比相等,且都等于dd>0,d≠1).若a1=b1a3=3b3a5=5b5,求anbn

解:由已知6ec8aac122bd4f6e①②

由①,得a1(3d2-1)=2d          ③

由②,得a1(5d4-1)=4d          ④

因为d≠0,由③与④得2(3d2-1)=5d4-1, 即5d4-6d2+1=0,解得d=±1,d=±6ec8aac122bd4f6e

d>0,d≠1,∴d6ec8aac122bd4f6e.代入③,得a1=-6ec8aac122bd4f6e,故b1=-6ec8aac122bd4f6e.

an=-6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6en-1)=6ec8aac122bd4f6en-6),bn=-6ec8aac122bd4f6e×(6ec8aac122bd4f6en-1

本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质,方程(组)的解法以及运算能力和分析能力.

 

【范例2】下表给出一个“三角形数阵”:

6ec8aac122bd4f6e

                      6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

                      6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

                      …  …   …  …

已知每一列的数成等差数列;从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为aij ( ijijN*).

(1) 求a83

(2) 试写出a ij关于ij的表达式;

(3) 记第n行的和为An,求6ec8aac122bd4f6e

解析 (1)由题知6ec8aac122bd4f6e成等差数列,且6ec8aac122bd4f6e,所以公差6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e成等比数列,且6ec8aac122bd4f6e.又公比都相等,∴每行的公比是6ec8aac122bd4f6e.∴6ec8aac122bd4f6e. 

(2)由(1)知,6ec8aac122bd4f6e,∴6ec8aac122bd4f6e. 

(3)6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

【点睛】在新颖背景――数表中运用数列知识.

【文】在等比数列{a n}中,前n项和为Sn,若Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列,则am, am+2, am+1成等差数列6ec8aac122bd4f6e

   (1)写出这个命题的逆命题;(2)判断逆命题是否为真,并给出证明6ec8aac122bd4f6e

解析(1)逆命题:在等比数列{an}中,前n项和为Sn,若am, am+2, am+1成等差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列6ec8aac122bd4f6e

   (2)设{an}的首项为a1,公比为q.    由已知得2am+2= am + am+1

    ∴2a1qm+1=a16ec8aac122bd4f6e+a1qm    ∵a1≠0  q≠0 ,∴2q2-q-1=0 ,  ∴q=1或q=-6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

当q=1时,∵Sm=ma1, Sm+2= (m+2)a1,Sm+1= (m+1)a1

∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2,      ∴Sm,Sm+2,Sm+1不成等差数列6ec8aac122bd4f6e

当q=-6ec8aac122bd4f6e时, 6ec8aac122bd4f6e

6ec8aac122bd4f6e

∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 ,     ∴Sm,Sm+2,Sm+1成等差数列6ec8aac122bd4f6e

综上得:当公比q=1时,逆命题为假;当公比q≠1时,逆命题为真6ec8aac122bd4f6e

【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处.

【变式】等差数列6ec8aac122bd4f6e的前6ec8aac122bd4f6e项和为6ec8aac122bd4f6e

(Ⅰ)求数列6ec8aac122bd4f6e的通项6ec8aac122bd4f6e与前6ec8aac122bd4f6e项和6ec8aac122bd4f6e

(Ⅱ)设6ec8aac122bd4f6e,求证:数列6ec8aac122bd4f6e中任意不同的三项都不可能成为等比数列.

解:(Ⅰ)由已知得6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e, 故6ec8aac122bd4f6e

(Ⅱ)由(Ⅰ)得6ec8aac122bd4f6e

    假设数列6ec8aac122bd4f6e中存在三项6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e互不相等)成等比数列,则6ec8aac122bd4f6e

    即6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e  6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e   6ec8aac122bd4f6e.    与6ec8aac122bd4f6e矛盾.

    所以数列6ec8aac122bd4f6e中任意不同的三项都不可能成等比数列.

【范例3】若有穷数列6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e是正整数),满足6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e是正整数,且6ec8aac122bd4f6e),就称该数列为“对称数列”。

(1)已知数列6ec8aac122bd4f6e是项数为7的对称数列,且6ec8aac122bd4f6e成等差数列,6ec8aac122bd4f6e,试写出6ec8aac122bd4f6e的每一项

(2)已知6ec8aac122bd4f6e是项数为6ec8aac122bd4f6e的对称数列,且6ec8aac122bd4f6e构成首项为50,公差为6ec8aac122bd4f6e的等差数列,数列6ec8aac122bd4f6e的前6ec8aac122bd4f6e项和为6ec8aac122bd4f6e,则当6ec8aac122bd4f6e为何值时,6ec8aac122bd4f6e取到最大值?最大值为多少?

(3)对于给定的正整数6ec8aac122bd4f6e,试写出所有项数不超过6ec8aac122bd4f6e的对称数列,使得6ec8aac122bd4f6e成为数列中的连续项;当6ec8aac122bd4f6e时,试求其中一个数列的前2008项和6ec8aac122bd4f6e

解:(1)设6ec8aac122bd4f6e的公差为6ec8aac122bd4f6e,则6ec8aac122bd4f6e,解得 6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e数列6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

(2)6ec8aac122bd4f6e 6ec8aac122bd4f6e,  

    6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e取得最大值为626.

  (3)所有可能的“对称数列”是:

      ① 6ec8aac122bd4f6e;  ② 6ec8aac122bd4f6e

      ③ 6ec8aac122bd4f6e; ④ 6ec8aac122bd4f6e

对于①,当6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e.   

 当6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e

 6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.     

 对于②,当6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e.当6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

 对于③,当6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e;当6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

 对于④,当6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e;当6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

 【点睛】在看懂题目意思基础上,注意各种情况的讨论,考察观察,分析,运用能力

【文】如果有穷数列6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e为正整数)满足条件6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e,…,6ec8aac122bd4f6e,即6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e),我们称其为“对称数列”.

例如,数列6ec8aac122bd4f6e与数列6ec8aac122bd4f6e都是“对称数列”.

(1)设6ec8aac122bd4f6e是7项的“对称数列”,其中6ec8aac122bd4f6e是等差数列,且6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.依次写出6ec8aac122bd4f6e的每一项;

(2)设6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e项的“对称数列”,其中6ec8aac122bd4f6e是首项为6ec8aac122bd4f6e,公比为6ec8aac122bd4f6e的等比数列,求6ec8aac122bd4f6e各项的和6ec8aac122bd4f6e

(3)设6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e项的“对称数列”,其中6ec8aac122bd4f6e是首项为6ec8aac122bd4f6e,公差为6ec8aac122bd4f6e的等差数列.求6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e项的和6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

解:(1)设数列6ec8aac122bd4f6e的公差为6ec8aac122bd4f6e,则6ec8aac122bd4f6e,解得 6ec8aac122bd4f6e

    6ec8aac122bd4f6e数列6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e.   

(2)6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

           6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e67108861. 

(3)6ec8aac122bd4f6e.由题意得 6ec8aac122bd4f6e是首项为6ec8aac122bd4f6e,公差为6ec8aac122bd4f6e的等差数列.

  当6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

  当6ec8aac122bd4f6e时,6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e 

                      6ec8aac122bd4f6e6ec8aac122bd4f6e

综上所述,6ec8aac122bd4f6e