北京市西城区 2009届高三4月抽样测试
高三数学试卷（理科） 2009.4
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.
题号
分数
一
二
三
总分
15
16
17
18
19
20
第Ⅰ卷(共40分)
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.
已知全集
，集合
，那么集合
等于（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
2.
设i是虚数单位，复数
i
，则
等于（ ）
A. 
i
B.
i
C. 
i
D. 
i
3.
若数列
是公比为4的等比数列，且
，则数列
是（ ）
A. 公差为2的等差数列
B. 公差为
的等差数列
C. 公比为2的等比数列
D. 公比为的等比数列
4.
设a为常数，函数
. 若
为偶函数，则
等于（
）
A. -2 B. 2
C. -1 D. 1
5.
已知直线a 和平面
，那么
的一个充分条件是（ ）
A. 存在一条直线b，
B. 存在一条直线b，
C. 存在一个平面
D. 存在一个平面
6.
与直线
和圆
都相切的半径最小的圆的方程是（ ）
A. 
B.
C. 
D.
7．设 
R， 且
，
，则 ( )
A. 
B.
C. 
D. 
8.
函数f
(x)的定义域为D，若对于任意
，当
时，都有
，则称函数
在D上为非减函数 .
设函数f (x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：
1
； 2
； 3
.
则
等于（
）
A. 
B.
C.
1
D. 
北京市西城区 2009年抽样测试
高三数学试卷（理科） 2009.4
第Ⅱ卷( 共110分)
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 .
9.
的值等于___________.
10.
的展开式中
的系数是___________；其展开式中各项系数之和为________.(用数字作答)
11.
不等式
的解集为_____________.
12. 设O为坐标原点，向量
. 将
绕着点 
按逆时针方向旋转 
得到向量 
, 则
的坐标为____________.
13. 给出下列四个函数：
① 
；
② 
；
③ 
；
④ 
.
其中在
上既无最大值又无最小值的函数是_________________.（写出全部正确结论的序号）
14. 已知函数由下表给出：
0
1
2
3
4
其中
等于在
中k所出现的次数.
则=______________；
___________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分12分）
某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生. 在研究学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言. 设每人每次被选中与否均互不影响.
（Ⅰ）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；
（Ⅱ）设
为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求的分布列和数学期望.
16.（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴正半轴上，直线AB的倾斜角为
，|OB|=2, 设
.
（Ⅰ）用
表示点B的坐标及
；
（Ⅱ）若
，求
的值.
17.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，
又
.
（Ⅰ）求证：
平面
；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；
（Ⅲ）求点B到平面PAD的距离.
18.（本小题满分14分）
设
R，函数
.
（Ⅰ）若函数在点
处的切线方程为
，求a的值；
（Ⅱ）当a<1时，讨论函数的单调性.
19.（本小题满分14分）
已知椭圆C 
，过点M(0, 3)的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B.
（Ⅰ）若l与x轴相交于点N，且A是MN的中点，求直线l的方程；
（Ⅱ）设P为椭圆上一点, 且
(O为坐标原点). 求当
时，实数
的取值范围.
20.（本小题满分14分）
设
，对于有穷数列(
), 令
为
中的最大值，称数列
为的“创新数列”. 数列中不相等项的个数称为的“创新阶数”. 例如数列
的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3.
考察自然数
的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列
.
（Ⅰ）若m=5, 写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列；
(Ⅱ) 是否存在数列，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）在创新阶数为2的所有数列中，求它们的首项的和.
高三数学试卷（理科） 2009.4
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
C
C
D
A
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.
9.
10. 10，243 11. 
12. 
13. 24 14. 
注：两空的题目，第一个空3分，第二个空2分.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.
15.（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：记 “2次汇报活动都是由小组成员甲发言” 为事件A. -----------------------------1分
由题意，得事件A的概率
，
即2次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率为
.
---------------------------5分
（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为2,0, ----------------------------6分
每次汇报时，男生被选为代表的概率为
，女生被选为代表的概率为
.
； 
；
所以，
的分布列为：
2
0
P
---------------------------10分
的数学期望
.
---------------------------12分
16.（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由三角函数的定义，得点B的坐标为
. ---------------------------1分
在
中，|OB|=2，
，
由正弦定理，得
，即
，
所以 
.
---------------------------5分
注：仅写出正弦定理，得3分. 若用直线AB方程求得
也得分.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得
， ------------------7分
因为
，
所以
，
----------------------------9分
又
，
---------------------------11分
所以
.
---------------------------12分
17.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：在
中，
，
，
，即
，
---------------------------1分
，
平面
.
---------------------------4分
（Ⅱ）方法一：
解：由（Ⅰ）知，
又
，
平面
，
---------------------------5分
如图，过C作
于M，连接BM，
是BM在平面PCD内的射影，
，
又
为二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------7分
在
中, 
, PC=1, 
，
，
又
，
，
. ---------------8分
在
中, 
, BC=1, 
,
,
二面角B-PD-C的大小为
.
---------------------------9分
方法二：
解：如图，在平面ABCD内，以C为原点， CD、CB、CP分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，
则
,
---------------------------5分
过C作
于M，连接BM，设
，
则
，
，
；
1
共线，
，
2
由12，解得
，
点的坐标为
，
，
，
,
，
又，
为二面角B-PD-C的平面角.
---------------------------7分
，，
，
二面角B-PD-C的大小为
.
--------------------------9分
（Ⅲ）解：设点B到平面PAD的距离为h，
，
，
平面ABCD，
，
，
在直角梯形ABCD中，
，
.
在
中，
，
，
，
，
的面积
，
---------------------------10分
三棱锥B-PAD的体积
，
，
---------------------------12分
即
，解得
，
点B到平面PAD的距离为
.
---------------------------14分
18.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：函数
的定义域为
，
---------------------------1分
.
---------------------------4分
因为
，所以
.
---------------------------5分
（Ⅱ）解：当
时，因为
，
所以
，故在
上是减函数； ------------------------7分
当a=0时，当
时，
，故在
上是减函数，
当
时，，故在
上是减函数，
因为函数在
上连续，
所以在上是减函数；
---------------------------9分
当0<a<1时，由
, 得x=
，或x=
. --------------------------10分
x变化时，
的变化如情况下表：
0
+
0
极小值
极大值
所以在
上为减函数、在
上为减函数；在
上为增函数.
------------------------13分
综上，当
时，在
上是减函数；
当0<a<1时，
在
上为减函数、在
上为减函数；在
上为增函数.
------------------------14分
19.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：设A(x1, y1)，
因为A为MN的中点，且M的纵坐标为3，N的纵坐标为0，
所以
，
---------------------------1分
又因为点A(x1, y1)在椭圆C上
所以
，即
，解得
，
则点A的坐标为
或
，
-------------------------3分
所以直线l的方程为
或
. --------------------------5分
（Ⅱ）解：设直线AB的方程为
或
，A(x1, y1)，B(x2, y2)，
，
当AB的方程为时，
，与题意不符.
--------------------------6分
当AB的方程为时：
由题设可得A、B的坐标是方程组
的解，
消去y得
，
所以
即
，
则
，
---------------------------8分
因为 
，
所以
，解得
，
所以
.
--------------------------10分
因为
，即
，
所以当
时，由
，得
，
上述方程无解，所以此时符合条件的直线
不存在； --------------------11分
当
时，
，
，
因为点
在椭圆上，
所以
，
-------------------------12分
化简得
，
因为，所以
，
则
.
综上，实数
的取值范围为
.
---------------------------14分
20.（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由题意，创新数列为3,4,4,5,5的数列
有两个，即：
（1）数列3，4，1，5，2； ---------------------------2分
（2）数列3，4，2，5，1. ---------------------------3分
注：写出一个得2分，两个写全得3分.
（Ⅱ）答：存在数列，它的创新数列为等差数列.
解：设数列的创新数列为
，
因为
为
中的最大值.
所以
.
由题意知：
为
中最大值，
为
中最大值，
所以
，且
.
若
为等差数列，设其公差为d，则
，且
N， -----------------5分
当d=0时，为常数列，又，
所以数列为
，此时数列是首项为m的任意一个符合条件的数列；
当d=1时，因为，
所以数列为
，此时数列是； --------------------7分
当
时，因为
，
又
，所以
，
这与矛盾，所以此时不存在，即不存在使得它的创新数列为的等差数列.
综上，当数列为：（1）首项为m的任意符合条件的数列；（2）数列时，它的创新数列为等差数列.