吉林省吉林一中2009年高三阶段验收

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

 

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

 

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选择出符合题目要求的一项．

１．已知M={|=(1,2)+(3,4)，∈R}，N={|=(-2,-2)+μ(4,5)，μ∈R}，则

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MN=                                                             （    ）

A．{(1,1)}               B．{(1,1),(-2,-2)}     C．{(-2,-2)}             D．φ

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2．(理)等于                                                      （    ）

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A．         B．          C．           D．

   (文)函数y=(x+1)2(x-1)在x=1处的导数等于                                 （    ）

       A．1              B．2                C．3                  D．4

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3．已知f(x)=sin(x+)，g(x)=cos(x-)，则下列结论中正确的是                 （    ）

      A．函数y=f(x)?g(x)的最大值为1

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       B．函数y=f(x)?g(x)的对称中心是(,0)，∈Z

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       C．当x∈[-,]时，函数y=f(x)?g(x)单调递增

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       D．将f(x)的图象向右平移单位后得g(x)的图象

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4．已知当x∈R时，函数y=f(x)满足f(2.1+x)=f(1.1+x) + ，且f(1)=1，则f(100)

    的值为                                                            （    ）

       A．                   B．                     C．34                    D．

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5．设四面体的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4，它们的最大值为S，记，

   则有                                                                          （    ）

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       A．2<≤4           B．3<≤4             C．2.5<≤4.5      D．3.5<≤5.5

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6．已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=2，BC=2，则球心

   到平面ABC的距离为                                                                                 （    ）

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       A．1                    B．               C．                D．2

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7．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其它10个小长方形面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为              （    ）

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       A．32             B．0.2                 C．40                D．0.25

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8．函数y=x3-2ax+a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是               （    ）

      A．(0,3)            B．(-∞,3)           C．(0,+∞)         D．(0,)

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9．(理)已知有相同两焦点F1、F2的椭圆 + y2=1(m>1)和双曲线 - y2=1（n>0），P是它们

   的一个交点，则ΔF1PF2的形状是                                                                    （    ）

A．锐角三角形     B．直角三角形     C．钝有三角形    D．随m、n变化而变化

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  (文)已知有相同两焦点F1、F2的椭圆+ y2=1和双曲线- y2=1，P是它们的一个交点，

   则ΔF1PF2的形状是                                                               （    ）

       A．锐角三角形      B．直角三角形       C．钝有三角形      D．等腰三角形

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10．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y=f(x)，另一种是平

均价格曲线y=g(x)(如f(2)=3是指开始买卖后二个小时的即时价格为3元；g(2)=3

表示二个小时内的平均价格为3元)，下图给出的四个图像，其中实线表示y=f(x)，

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虚线表示y=g(x)，其中可能正确的是                                             （    ）

 

 

 

 

A                   B                C                D

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11．有20张卡片分别写着数字1,2,…,19,20，将它们放入一个盒中，有4个人从中各抽

取一张卡片，取到两个较小数字的二人在同一组，取得两个较大数字的二人在同一

组，若其中二人分别抽到5和14，则此二人在同一组的概率等于           （    ）

A．              B．                  C．                     D．

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12．如图，在杨辉三角形中，斜线的上方，

从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形

数列：1,3,3,4,6,5,10,…，记其前n项和

为Sn，则S19等于 （    ）

A．129            B．172

C．228            D．283

 

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

 

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二、填空题: 本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．

13．抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程为__________________．

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14．对于任意一个非零实数，它的倒数的倒数是它的本身．也就是说，连续施行两次倒数

变换后又回到施行变换前的对象，我们把这样的变换称为回归变换．在中学数学范围内写出这样的变换（写对一个变换给2分，最多得4分）                            ．

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15．已知x>0，由不等式≥2?=2，=≥=3,

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…，启发我们可以得出推广结论：≥n+1 (n∈N*)，则a=_______________．

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16．在平行六面体的一个面所在的平面内，任意画一条直线，则与它异面的平行六

面体的棱的条数可能是_________________(填上所有可能结果)．

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三、解答题: 本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤．

17．（本题满分12分）

已知函数y=sinωx•cosωx(ω>0) (ω>0)的周期为 ,　

（I） 求ω 的值；

（II） 当0≤x≤ 时，求函数的最大值和最小值及相应的x的值．

 

 

 

 

 

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18．（本题满分12分）

质点A位于数轴x=0处，质点B位于x=2处．这两个质点每隔1秒钟都向左或

向右平移一个单位，设向左移动的概率为，向右移动的概率为.

（I）求3秒后，质点A在点x=1处的概率；

（II）求2秒后，质点A、B同时在x=2处的概率．

 

 

 

 

 

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19．（本题满分12分）

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如图，已知直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC1的中点，A1D⊥BE．

（I）求证：A1D⊥平面BDE；

（II）求二面角B?DE?C的大小；

（III）求点B到平面A1DE的距离    

 

 

 

 

 

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20．某汽车销售公司为促销采取了较灵活的付款方式，对购买10万元一辆的轿车在一年

内将款全部付清的前提下，可以选择以下两种分期付款方案购车：

方案1：分3次付清，购买后4个月第一次付款，再过4个月第二次付款，再过4个月第三次付款．方案2：分12次付清，购买后1个月第一次付款，再过1个月第二次付款，……购买后12个月第十二次付款．

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现规定分期付款中，每期付款额相同，月利率为0.8%，每月利息按复利计息，试比较以上两种方案的哪一种方案付款总数较少？(参考数据：1.0083=1.024，1.0084=1.033，1.00811=1.092，1.00812=1.1)

 

 

 

 

 

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21．（理）如图，|AB|=2，O为AB中点，直线过B且垂直于AB，过A的动直线与交于点C，点M在线段AC上，满足=.

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   （1）求点M的轨迹方程；

   （2）若过B点且斜率为- 的直线与轨迹M交于

点P，点Q(t,0)是x轴上任意一点，求当

ΔBPQ为锐角三角形时t的取值范围．

 

 

 

 

 

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21．（文）已知:函数f(x)=a+ (a>1) 

   （1） 证明：函数f(x)在(-1,+∞ )上为增函数；

   （2）证明方程f(x)=0没有负根．

 

 

 

 

 

 

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22．（本题满分14分）

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（理）已知数列{an}的前n项和，且=1，

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.

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）已知定理：“若函数f(x)在区间D上是凹函数，x>y(x,y∈D)，且f’(x)存在，则有

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< f’(x)”．若且函数y=xn+1在(0,+∞)上是凹函数，试判断bn与bn+1的大小；

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（III）求证：≤bn<2.

 

 

 

 

 

 

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22．（本题满分14分）

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(文)如图，|AB|=2，O为AB中点，直线过B且垂直于AB，过A的动直线与交于点C，点M在线段AC上，满足=.

（I）求点M的轨迹方程；

（II）若过B点且斜率为- 的直线与轨迹M交于

         点P，点Q(t,0)是x轴上任意一点，求当ΔBPQ为

         锐角三角形时t的取值范围．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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一、选择题（12’×5=60’）

1．C

2．理D  文D

3．D

4．C. 提示：{f(n)}是等差数列(n∈N*)

5．A. 提示：当S1=S2=S3=S4=S时，λ=4；当高趋向于零时，λ无限接近2

6．A

7．A

8．D

9．B. 提示：∵|PF1|+|PF2|=2，|PF1|-|PF2|=±2，又m-1=n+1，

∴|PF1|2+|PF2|2=2(m+n)=4(m-1)=|F1F2|2

10．C

11．D

12．D. 提示：第一行C22，第二行C31+C32=C42，第三行C41+C42=C52，…，故S19=C22+C42+C52+…+C122=C133-C32=283.

 

二、填空题(4’×4=16’)

13．y=-

14．答案：相反数的相反数是它本身，集合A的补集的补集是它本身，一个复数的共轭的共轭是它本身，等等.

15．nn

16．4或6或7或8

 

三、解答题

17．解：(1) y=sin2ωx+ cos2ωx+ = sin(2ωx+ )+                   （4）

∵ T=             ∴ ω =2                                 （6）      

 (2) y=sin(4x+ )+  

∵  0≤x≤    ∴ ≤4x+ ≤π +                          （8）

∴  当x= 时，y=0  当x=时，y=                              （12）

 

18．(1)质点n次移动看作n次独立重复试验，记向左移动一次为事件A，

则P(A)=，P()=3秒后，质点A在点x=1处的概率P1=P3(1)=C31?p(1-p)2=3××()2=              (6’)

    (2)2秒后，质点A、B同在x=2处，即A、B两质点各做二次移动，其中质点A向右移动2次，质点B向左、向右各移动一次，故P2=P2(0)?P2(1)=C20?()2?C21??=          (12’)

考点解析：本题考查n次独立重复试验及独立事件同时发生的概率，但需要一定的分析、转化能力．

 

19．(1)∵AA1⊥面ABCD，∴AA1⊥BD，

又BD⊥AD，∴BD⊥A1D        (2’)

又A1D⊥BE，

∴A1D⊥平面BDE                (3’)

(2)连B1C，则B1C⊥BE，易证RtΔCBE∽RtΔCBB1，

∴=，又E为CC1中点，∴BB12=BC2=a2，

∴BB1=a          (5’)

取CD中点M，连BM，则BM⊥平面CD1，作MN⊥DE于N，连NB，则∠BNM是二面角B?DE?C的平面角                (7’)

RtΔCED中，易求得MN=，RtΔBMN中，tan∠BNM==，∴∠BNM=arctan (10’)

(3)易证BN长就是点B到平面A1DE的距离    (11’)

BN==a        (12’)

    (2)另解：以D为坐标原点，DA为x轴、DB为y轴、DD1为z轴建立空间直角坐标系

则B(0,a,0)，设A1(a,0,x)，E(-a,a,)，=(-a,0,-x)，=(-a,0,)，∵A1D⊥BE

∴a2-x2=0，x2=2a2，x=a，即BB1=a.

考点解析：九(A)、九(B)合用一道立体几何题是近年立几出题的趋势，相比较而言，选用九(B)体系可以避开一些逻辑论证，取之以代数运算，可以减轻多数学生学习立体几何的学习压力．

 

20．若按方案1付款，设每次付款为a(万元)

则有a+a(1+0.8%)4+a(1+-0.8%)8=10×(1+0.8%)12        (4’)

即a×=10×1.00812，a=

付款总数S1=3a=9.9×1.00812                       (6’)

若按方案2付款，设每次付款额为b(万元)，同理可得：b=    (8’)

付款总额为S2=12b=9.6×1.00812，故按有二种方案付款总额较少.   (12’)

考点解析：复习中要注意以教材中研究性学习内容为背景的应用问题．

 

21．（理）(1)设M(x,y)，C(1,y0)，∵=，∴=           (2’)

又A、M、C三点一线，∴=       ②                    (4’)

由(1)、(2)消去y0，得x2+4y2=1(y≠0)                          (6’)

   

      

 

(2)P(0,)是轨迹M短轴端点，∴t≥0时∠PQB或∠PBQ不为锐角，∴t<0

又∠QPB为锐角，∴?>0，∴(t,- )(1,- )=t+ >0，∴- <t<0         (12’)

考点解析：解析几何题注意隐藏的三点共线关系；平面向量运算也常常设置在解析几何考题当中．

 

21．(文)证明：(1) 设-1<x­1<x2<+∞

f(x1)-f(x2) =a-a + -

=a-a +          （4）

 ∵  -1<x1<x2 ,a>0

 ∴  a-a<0     <0

 ∴  f(x1)-f(x2)<0  即  f(x1)<f(x2) ,函数f(x)在(-1,+∞ )上为增函数．       （6）

 (2)  若方程有负根x0 (x0≠-1)，则有a= -1

   若  x0<-1 , -1<-1   而 a>0    故  a ≠ -1           （10）

   若 -1<x0<0 ,   -1>2    而 a<a0=1  a ≠ -1

综上所述，方程f(x)=0没有负根．  

                                                                          （12）

 

22．（理）(1)Sn=an，∴Sn+1=an+1，an+1=Sn+1-Sn=an+1-an，∴= (n≥2)         (2’)

∴==…==1，∴an+1=n，an=n-1 (n≥2)，又a1=0，∴an=n-1                  (4’)

   （2）bn+1=(1+ )n+1，bn=(1+ )n，

∵<(n+1)?(1+ )n                                   (7’)

整理即得：(1+ )n<(1+ )n+1，即bn<bn+1                              (8’)

(3)由(2)知bn>bn-1­>…>b­1=                                               (10’)

又Cnr?()r=(??…)?()r≤()r，(0≤r≤n)，

∴bn≤1+ +()2+…+()n=2-()n<2，∴≤bn<2                          (14’)

考点解析：这种“新概念”题需要较好的理解、分析能力，放缩法证明不等式是不等式证明的常用方法，也具有一定的灵活性，平时要注重概念的学习，常见题型的积累，提高思维能力和联想变通能力．

22．（文）见21（理）．