武汉市2007届高中毕业生二月调研测试
理科数学试卷 2007.2.5
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数z= 的值为( )
A. (1＋i) B. －(1＋i) C. (1－i) D. －(1－i)
2.在等比数列{an}中, a3= , S3= , 则首项a1=( )
A. B. － C. 6或－ D. 6或
3.已知角α的正切线是单位长度的有向线段,那么角α的终边在( )
A. x轴上 B. y轴上 C.直线y=x上 D.直线y=x 或y=－x上
4.已知全集U=R, A= {x| ≥0}, 则CuA=( )
A.{x|－1<x≤0} B. {x|－1<x<0} C. {x|－1≤x<0} D. {x|－1≤x≤0}
5.在正方体ABCD－A1B
A.0 B
6.若AB过椭圆 ＋ =1 中心的弦, F1为椭圆的焦点, 则△F1AB面积的最大值为( )
A. 6 B
7.在△ABC中, D为AC边的中点, E为AB上一点, BC、CF交于一点F, 且
, 若, 
, 则实数λ的值为( )
A. B. C. D.
8.将4个相同的小球投入3个不同的盒内, 不同的投入方式共有( )
A. 43种 B. 34种 C. 15种 D. 30种
9.如果实数x、y满足
, 目标函数z=kx＋y的最大值为12, 最小值3, 那么实数k的值为( )
A. 2 B. －
10. 函数y=|cos2x|＋|cosx|的值域为( )
A. [, 2] B. [,2] C. [, ] D.[,2]
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.(1＋x)6(1－x) 展开式中x2项的系数是________
12. x→1lim
= _________
13.如果直线l 过定点M(1,2)且与抛物线y=2x2有且仅有一个公共点, 那么直线l的方程为_______
14.正四棱锥S－ABCD内接于一个半径为R的球, 那么这个正四棱锥体积的最大值为_____
15. 函数f(x)=x3－3x2＋6x－7的图象是中心对称图形, 其对称中心的坐标为_________
三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写了文字说明，证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
如图, 在平面四边形ABCD中, AB=AD=1, ∠BAD=θ, 而△BCD是正三角形,
(1) 将四边形ABCD面积S表示为θ的函数;
(2) 求S的最大值及此时θ角的值.
17. (本小题满分12分)
如图, 在斜三棱柱ABC－A1B
(1) 求证: AA1⊥BD;
(2)若面A1DB⊥面DC1B, 求侧棱AA1之长.
18. (本小题满分12分)
A袋中装有大小相同的红球1个, 白球2个, B袋中装有与A袋中相同大小的红球2个, 白球3个. 先从A中取出1个球投入B中, 然后从B中取出2个球. 设ξ表示从B中取出红球的个数.
(1) 求ξ=2时的概率;
(2)求ξ的分布列和数学期望
19. (本小题满分13分)
如图, 直线l : y= (x－2) 和双曲线C: － = 1 (a>0,b>0) 交于A、B两点, |AB|= , 又l关于直线l1: y= x对称的直线l2与x轴平行.
(1)求双曲线C的离心率；
(2)求双曲线C的方程.
20. (本小题满分13分)
已知数列{an}的前n项之和Sn与an满足关系式: nSn＋1=(n＋2)Sn＋an＋2 (n∈N＋)
(1)若a1=0 , 求a2,a3的值;
(2) 求证: a1=0是数列{an}为等差数列的充要条件.
21. (本小题满分13分)
已知函数f(x)=x2＋2x＋alnx
(1)若函数f(x)在区间(0,1)上恒为单调函数, 求实数a的取值范围;
(2) 当t≥1时, 不等式f(2t－1) ≥
1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.B 7.B 8.C 9.A 10.B
11.9 12. 13.x=1 或y=4x－2 14. R3 15. (1,－3)
16.解: (1)△ABD的面积S= absinC=?1?1?sinθ= sinθ
∵△BDC是正三角形, 则△BDC面积=BD2 : 而由△ABD及余弦定理可知:
BD2=12＋12＋2?1?1?cosθ= 2－2cosθ
于是四边形ABCD面积S= sinθ ＋ (2－2cosθ)
S= ＋ sin(θ－) 其中0<θ<π
(2)由 S= ＋ sin(θ－) 及0<θ<π 则－<θ－<
在θ－= 时, S取得最大值 1＋ 此时θ= ＋ =
17.(1) 在斜三棱柱ABC－A1B
(2)在底面ABC, △ABC是等腰三角形, D为底边AC上中点, 故DB⊥AC, 又面ABC⊥面A
∴DB⊥面A
∵面A1DB面DC1B, 则∠A1DC1=Rt∠, 将平面A1ACC1放在平面坐标系中(如图), ∵侧棱AA1和底面成60°, 设A
知: (－, a)?( ＋, a)=0 , ∴a2=3, a=
故所求侧棱AA1长为
18.(1) ξ=2表示从B中取出两个红球.
① 从A中取一红球放入B中, 再从B中取2红球的概率P= ? =
② 从A中取一白球放入B中, 再从B中取2红球的概率P=? =
∴P(ξ=2)= ＋ =
(2) 由(1)的方式可知: P(ξ=0)= ? ＋? =
P(ξ=1)= ? ＋ ? =
ξ
0
1
2
P
∴ξ的概率分布列为:
Eξ=1? ＋ 2? = =
19. 解: (1) 设双曲线一、三象限渐近线l1: － =0 的倾 斜角为α ∵l和l2关于直线l1对称, 记它们的交点为P. 而l2与x轴平行, 记l2与y轴交点为Q 依题意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α(锐角)又AB: y= (x－2), 故tan2α= 则 = , 求得tanα= , tanα=－2(舍) ∴ = , e2= = 1＋()2 = ,因此双曲线C的离心率 .
(2) ∵ = , 故设所求双曲线方程 － =1 将 y= (x－2),代入 x2－4y2=4k2,
消去y得: x2－ x＋ ＋ k2=0 设A(x1,y1), B(x2,y2)
|AB| = |x1－x2| = ?= ?
= , 化简得到: = , 求得k2=1 .
故所求双曲线C的方程为: －y2=1
20.解: (1)由 nSn＋1=(n＋2)Sn＋an＋2 (*)
变形为n(Sn＋1－Sn)=2Sn＋an＋2, 而Sn是{an}前n项和, 于是有nan＋1=2Sn＋an＋2, a1=0,
在n=1, a2=
(2)充分性: 由(1)可猜测到: an=2n－2. 下面先用数学归纳法证明: an=2n－2
① 在n=1时, a1=2×1－2=0 与已知 a1=0一致 故n=1时, an=2n－2成立.
②假设n≤k时, an=2n－2成立,
∴Sk=a1＋a2＋……＋ak=0＋2＋4＋…＋(2k－1)=k(k－1)
∵ (*)式 nan＋1=2Sn＋an＋2恒成立, 则kan＋1=2Sk＋ak＋2 = 2k(k－1)＋(2k－2)＋2=2k2
∴ ak＋1=2k=2[(k＋1)－1]
故n=k＋1时, an=2n－2成立, 综合①②可知: an=2n－2成立对n∈N*恒成立.
∴数列{an}的通项为an=2n－1, ∴an－an－1=2(n≥2, n∈N＋)
由等差数列定义可知{an}是等差数列, 从而充分性得证.
必要性: 由(1)可知 nan＋1=2Sn＋an＋2恒成立, 则(n－1)an=2Sn－1＋an－1＋2(n≥2)(**)
若{an}是等差数列, 则an－an－1=d(n≥2),且an=a1＋(n－1)d. 代入(**) 式中有:
n(an＋1－an)=2an－an－1 ∴ nd=an＋d=a1＋(n－1)d＋d ∴a1=0 从而必要性得证.
因此a1=0 是数列{an}为等差数列的充分条件.
21. 解: (1)由 f(x)=x2＋2x＋alnx 求导数得f '(x)=2x＋2＋
f(x)在(0,1)上恒单调,只需f '(x) ≥ 0 或≤0在(0,1)上恒成立.
只需2x2＋2x＋a≥0 , 或2x2＋2x＋a≤0恒成立
即只需 a ≥ －(2x2＋2x) 或a≤－(2x2＋2x) 在(0,1)上恒成立.
又记g(x)=－2x(x＋1) , 0<x≤1 可知: －4 ≤g(x)<0 ∴所求a≥0 或a≤－4
(2) ∵ f(x) =x2＋2x＋alnx 由f(2t－1)≥
(2t－1)2＋2(2t－1)＋aln(2t－1)≥2(t2＋2t＋alnt)－3
化简为: 2(t－1)2≥a?ln ①
∵t>1时, 有t2>2t－1, 则ln >0 . a≤ ②
构造函数m(x)=ln(1＋x)－x(x>－1), 求导m '(x) = －1=
则m(x)在x=0时取极大值, 同时也是最大值.故m(x)≤m(0).
从而ln(1＋x)≤x在x>－1上恒成立.
∴ln = ln(1＋ )≤ < (t－1)2 ③
在t>1时恒成立, 而t=1时③式取等号.
∴ln ≤ (t－1)2 ④
在t≥1时恒成立. 因此由②④可知实数a取值范围: a≤2.