海南省海南中学2009届高三第六次月考
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数学(理科)试题学科网
时间：120分钟 满分：150分学科网
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第Ⅰ卷学科网
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
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只有一项是符合题目要求的）
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1．设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的（ ）学科网
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 学科网
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件学科网
2．设有直线m、n和平面
、
,下列四个命题中，正确的是( )
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A．若m∥,n∥,则m∥n B. 若m
,n,m∥,n∥,则∥学科网
C．若
，m,则m D．若，m，m
,则m∥ 学科网
3．若实数
满足
则
的最小值是（ ）学科网
A．0 B．
D．9学科网
4．已知
上是单调增函数，则a的最大值是（ ）学科网
A．0 B．学科网
5．已知双曲线
（a＞0,b＞0）的一条渐近线为
(k＞0),学科网
离心率
,则双曲线方程为（
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A ． 
－
=1
B． 
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C． 
D． 
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6．定义行列式运算
=
.
将函数
的图象向左学科网
平移
（
）个单位,所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为 ( ) 学科网
A．
B．
C．
D．
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7．长方体ABCD－A1B,
AA1=1,学科网
则顶点A、B间的球面距离是（ ）学科网
A.．2
B.． C
．
D．
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8.若定义在R上的函数
满足：对任意
，
有
(
)
,学科网
则下列说法一定正确的是（ ）学科网
A ．为奇函数 B ． 为偶函数学科网
C ． 
为奇函数 D ． 为偶函数 学科网
9．一个正方体的展开图如图所示，
为原正方体的顶点，
为原正方体一条棱的中点。在原来的正方体中，
与
所成角的余弦值为(
) 学科网
A．
B．
C．
D．
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10．若直线
和⊙
:
没有交点,则过点（
的直线学科网
与椭圆
的交点个数为（ ）学科网
A．至多一个
B．.2个 C．1个 D．0个学科网
11．如图，在正三棱锥A-BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，学科网
且BC=1，则正
三棱锥A-BCD的体积是（ ）学科网
A．
B．
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C．
D．
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12．已知抛物线
的焦点为
，准线与
轴的交点为
，点学科网
在
上且
，则
的面积为( )学科网
Ａ ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
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第Ⅱ卷学科网
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
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13．如图，
到
的距离分别是
和
，学科网
与
所成的角分别是
和
，在内的射影分别是
和
，若
，学科网
则与
的大小关系及m与n的大小关系分别为
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14．已知向量
，
，学科网
且
，则
= _____学科网
15．已知函数
(x)=
,等差数列{ax}的公差为2，若
(a2+a4+a6+a8+a10)=,则学科网
log2[f(a1)?f(a2)?f(a3)?…?f(a10)]=
.学科网
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16．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：学科网
第
棵树种植在点
处，其中
，
，当
时，学科网
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表示非负实数的整数部分，例如
，
．学科网
按此方案，第6棵树种植点的坐标应为
；第2008棵树种植点的学科网
坐标应为 ． 学科网
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，学科网
请把答案写在答题纸的指定区域内）学科网
17.（本小题12分）已知
中内角
的对边分别为
，且
，学科网
向量
,
且∥学科网
（Ⅰ）求锐角的大小，学科网
（Ⅱ）求的面积
的取值范围.学科网
18.（本小题12分）学科网
如图，在三棱锥
中，
，
，
，
．学科网
（Ⅰ）求证：
；学科网
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；学科网
（Ⅲ）求点到平面
的距离．学科网
19.（本小题12分）在数列
中，
，
.学科网
（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）令
，求数列
的前项和
.学科网
（Ⅲ）求数列的前项和
.学科网
20. (本小题12分)学科网
水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为学科网
V（t）=
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（Ⅰ）该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期.以i－1＜t＜i表示第i月份（i=1,2,…,12）,问一年内哪几个月份是枯水期？（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.学科网
21．（本小题12分）学科网
已知菱形
的顶点
在椭圆
上，对角线
所在直线的斜率为1．学科网
（Ⅰ）当直线过点
时，求直线
的方程；学科网
（Ⅱ）当
时，求菱形面积的最大值．学科网
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。学科网
22．（本小题10分）选修4－1：几何证明选讲学科网
从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于CD，结BE交CD于F。求证：BE平分CD.学科网
23．（本小题10分）选修4－4：坐标系与参数方程学科网
已知曲线C1：
，曲线C2：
.学科网
（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；学科网
（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线
，
。写出，的参数方程。与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.学科网
24．（本小题10分）选修4－5：不等式选讲学科网
已知函数
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（Ⅰ）作出函数
的图像；（Ⅱ）解不等式
.学科网
一、选择题:1-5 :A D B D C 6-10: C C C
D B 11-12: B B
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二、填空题: 13, 
14. 3 15.
16. （1，2），（3，402）学科网
三、解答题
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（12分）
解：（1）
∥
2分
4分
又
为锐角 
6分
（Ⅱ）
由 
得 
又
代入上式得：
（当且仅当
时等号成立。） 9分
（当且仅当时等号成立。） 11分
的面积的取值范围为.
12分
18．（12分）
解法一：
（Ⅰ）取
中点
，连结
．
，
．
，
．
，
平面
．
平面，
．
（Ⅱ），
，
．
又
，
．
又
，即
，且
，
平面
．
取
中点
．连结
．
，
．
是
在平面内的射影，
．
是二面角
的平面角．
在
中，
，
，
，
．二面角的余弦值为
（Ⅲ）由（Ⅰ）知
平面，
平面
平面．
过
作
，垂足为
．
平面
平面
，
平面
．
的长即为点到平面的距离．
由（Ⅰ）知
，又，且
，
平面
．
平面，
．
在
中，
，
，
．
．
点到平面的距离为
．
解法二：
（Ⅰ），，．
又，．
，平面．
平面，．
（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系
．
则
．设
．
，
，
．
取中点，连结．
，
，
，
．
是二面角的平面角．
，
，
，
．二面角的余弦值为．
（Ⅲ）
，
在平面内的射影为正
的中心，且
的长为点到平面的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．
，点的坐标为
．
．点到平面的距离为．
19.（12分）
解：（Ⅰ）由条件得
，又
时，
，
故数列
构成首项为1，公式为
的等比数列．从而
，即
．
（Ⅱ）由
得
，
，
两式相减得 ： 
，
所以 
．
（Ⅲ）由
得
所以
．
20.（12分）
解：（Ⅰ）①当0＜t
10时，V(t)=(－t2+14t－40)
化简得t2－14t+40>0,
解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.
②当10＜t12时，V（t）＝4（t－10）（3t－41）+50＜50,
化简得（t－10）（3t－41）＜0,
解得10＜t＜
，又10＜t12,故 10＜t12.
综合得0<t<4,或10<t12,
故知枯水期为1月，2月， 3月，4月，11月，12月共6个月.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到.
由V′（t）=
令V′(t)=0,解得t=8(t=－2舍去).
当t变化时，V′(t) 与V (t)的变化情况如下表：
t
(4,8)
8
(8,10)
V′(t)
+
0
－
V(t)
极大值
由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2+50－108.32(亿立方米).
故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米
21.（12分）
解：（Ⅰ）由题意得直线
的方程为
．
因为四边形
为菱形，所以
．
于是可设直线
的方程为
．
由
得
．
因为
在椭圆上，
所以
，解得
．
设两点坐标分别为
，
则
，
，
，
．
所以
．
所以的中点坐标为
．
由四边形为菱形可知，点在直线上，
所以
，解得
．
所以直线的方程为
，即
．
（Ⅱ）因为四边形为菱形，且
，
所以
．
所以菱形的面积
．
由（Ⅰ）可得
，
所以
．
所以当
时，菱形的面积取得最大值
．
22.（10分）解：从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于CD，连结BE交CD于F。求证：BE平分CD.
【分析1】构造两个全等△.
连结ED、AC、AF。
CF=DF←△ACF≌△EDF←
←
←∠PAB=∠AEB=∠PFB
【分析2】利用圆中的等量关系。连结OF、OP、OB.
←∠PFB=∠POB←
←
23.（10分）解：（Ⅰ）
是圆，
是直线．
的普通方程为
，圆心
，半径
．
的普通方程为
．
因为圆心到直线的距离为
，所以与只有一个公共点．
（Ⅱ）压缩后的参数方程分别为
：
（
为参数）； 
：
（t为参数）．
化为普通方程为：：
，：
，
联立消元得
，其判别式
，
所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．
24.（10分）解：
（Ⅰ）
图像如下：
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