1．（浙江）若是两条异面直线外的任意一点，则（B    ）

A．过点有且仅有一条直线与都平行

B．过点有且仅有一条直线与都垂直

C．过点有且仅有一条直线与都相交

D．过点有且仅有一条直线与都异面

2．（06湖南）如图，过平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁任意两条棱的中

点作直线,其中与平面DBB₁D₁平行的直线共有( D )

A.4条     B.6条      C.8条      D.12条

3．（湖北）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：

①；     

②；

③与相交与相交或重合；

④与平行与平行或重合．

其中不正确的命题个数是（　Ｄ　）

Ａ．1       Ｂ．2       Ｃ．3       Ｄ．4

4.（湖北）关于直线、与平面、，有下列四个命题：（D  ）

①且，则；    ②且，则；

③且，则；   ④且，则.

其中真命题的序号是：

  A. ①、②            B. ③、④             C. ①、④             D. ②、③

5．在正方形中，过对角线的一个平面交于E，交于F，则(     )

①       四边形一定是平行四边形

②       四边形有可能是正方形

③       四边形在底面ABCD内的投影一定是正方形

④       四边形有可能垂直于平面

以上结论正确的为  ①③④   。（写出所有正确结论的编号）

6．（上海）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种． 已知是两个相交平面，空间两条直线在上的射影是直线，在上的射影是直线．用与，与的位置关系，写出一个总能确定与是异

面直线的充分条件：  ，并且与相交（，并且与相交）     

★ ★★高考要考什么

线与面的位置关系:平行、相交、线在面内；

面与面的位置关系:平行、相交；

   二．转化思想：

  ；

★★★高考将考什么

【范例1】如图，在四棱锥中，底面，，，是的中点．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）证明平面；

（Ⅲ）求二面角的大小．

（Ⅰ）证明：在四棱锥中，

因底面，平面，故．

，平面．

而平面，．

（Ⅱ）证明：由，，可得．

是的中点，．

由（Ⅰ）知，，且，所以平面．

而平面，．

底面在底面内的射影是，，．

又，综上得平面．

（Ⅲ）解法一：过点作，垂足为，连结．则（Ⅱ）知，平面，在平面内的射影是，则．

因此是二面角的平面角．

由已知，得．设，

可得．

在中，，，

则．

在中，．

解法二：由题设底面，平面，则平面平面，交线为．

过点作，垂足为，故平面．过点作，垂足为，连结，故．因此是二面角的平面角．

由已知，可得，设，

可得．

，．

于是，．

在中，．

所以二面角的大小是．

所以二面角的大小是．

变式：如图，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱．

（1）证明//平面；

（2）设，证明平面．

证明：（Ⅰ）取CD中点M，连结OM.

在矩形ABCD中，，又，则，

连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.

又平面CDE， EM平面CDE，   ∴ FO∥平面CDE

（Ⅱ）证明：连结FM，由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，

且.

因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM而FM∩CD=M，

∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO. 而，所以EO⊥平面CDF.

【点晴】本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，注意线面平行和线面垂直判定定理的使用，考查空间想象能力和推理论证能力。

【范例2】如图，在六面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面

，平面，．

（Ⅰ）求证：与共面，与共面．

（Ⅱ）求证：平面平面；

（Ⅲ）求二面角的大小（用反三角函数值表示）．

证明：以为原点，以所在直线分别为轴，

轴，轴建立空间直角坐标系如图，

则有．

（Ⅰ）证明：

．

．

与平行，与平行，

于是与共面，与共面．

（Ⅱ）证明：，

，

，．

与是平面内的两条相交直线．

平面．

又平面过．

平面平面．

（Ⅲ）解：．

设为平面的法向量，

，．

于是，取，则，．

设为平面的法向量，

，．

于是，取，则，．

．

二面角的大小为．

解法2（综合法）：

（Ⅰ）证明：平面，平面．

，，平面平面．

于是，．

设分别为的中点，连结，

有．

，

于是．

由，得，

故，与共面．

过点作平面于点，

则，连结，

于是，，．

，．

，．

所以点在上，故与共面．

（Ⅱ）证明：平面，，

又（正方形的对角线互相垂直），

与是平面内的两条相交直线，

平面．

又平面过，平面平面．

（Ⅲ）解：直线是直线在平面上的射影，，

根据三垂线定理，有．

过点在平面内作于，连结，

则平面，

于是，

所以，是二面角的一个平面角．

根据勾股定理，有．

，有，，，．

，，

二面角的大小为．

变式如图，已知是棱长为的正方体，

点在上，点在上，且．

（1）求证：四点共面；（4分）

（2）若点在上，，点在上，

，垂足为，求证：平面；（4分）

（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．

证明：（1）建立如图所示的坐标系，则，，，

所以，故，，共面．

又它们有公共点，所以四点共面．

（2）如图，设，则，

而，由题设得，

得．

因为，，有，又，，所以，，从而，．

故平面．

（3）设向量截面，于是，．

而，，得，，解得，，所以．

又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）．

于是．

故．

【范例3】如图，在长方体AC₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动.

（1）证明：D₁E⊥A₁D；

（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD₁的距离；

（3）AE等于何值时，二面角D₁―EC―D的大小为.

解析：法1

（1）∵AE⊥面AA₁DD₁，A₁D⊥AD₁，∴A₁D⊥D₁E

（2）设点E到面ACD₁的距离为h，在△ACD₁中，AC=CD₁=，AD₁=，

故

（3）过D作DH⊥CE于H，连D₁H、DE，则D₁H⊥CE，

     ∴∠DHD₁为二面角D₁―EC―D的平面角.

设AE=x，则BE=2－x

法2：以D为坐标原点，直线DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A₁(1，0，1)，D₁(0，0，1)，E(1，x，0)，A(1，0，0), C(0，2，0).

（1）

（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），

从而，，

设平面ACD₁的法向量为，

则也即，得，

从而，所以点E到平面AD₁C的距离为

（3）设平面D₁EC的法向量，

∴

由  令b=1,  ∴c=2, a=2－x，

∴依题意

∴（不合，舍去）， .

∴AE=时，二面角D₁―EC―D的大小为.

变式：如图，四棱锥P―ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.

（Ⅰ）求四棱锥P―ABCD的体积；

（Ⅱ）证明PA⊥BD.

 解析：（Ⅰ）如图，取AD的中点E，

连结PE，则PE⊥AD.

作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE.

根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD，

所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角

的平面角，由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6，所以PO=3，

四棱锥P―ABCD的体积V_P―ABCD=

（Ⅱ）法1  如图，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得P(0，0，3)，

A(2，－3，0)，B(2，5，0)，D(－2，－3，0)

所以

因为 所以PA⊥BD.

法2：连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算

可得EO=3，AE=2，又知AD=4，AB=8，

得所以Rt△AEO∽Rt△BAD.得∠EAO=∠ABD.  

所以∠EAO+∠ADF=90°   所以  AF⊥BD.

因为  直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.

【点晴】本小题主要考查棱锥的体积、二面角、异面直线所成的角等知识和空间想象能力、分析问题能力，解题的关键是二面角的使用。使用空间向量能降低对空间想象能力的要求，但坐标系的位置不规则，注意点坐标的表示。

二、空间角与距离

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．如图，直线a、b相交与点O且a、b成60⁰，过点O 与a、b都成60⁰角的直线有（  C  ）

A．1 条      B．2条      C．3条     D．4条

2．（江苏•理）正三棱锥P-ABC高为2，侧棱与底面所成角为，则点 到侧面的距离是­­­­­（  B  ）

A．        B．       C．6      D．

3．（全国Ⅰ•理）如图，正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为（ D ）

A．      B．    C．      D．

4．已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于．

5．（四川•理）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC₁与侧面ACC₁A₁所成的角是    ．

6．在棱长为的正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁， E、F分别为BC与A₁D₁的中点，

(1) 求直线A₁C与DE所成的角；

(2) 求直线AD与平面B₁EDF所成的角；

(3) 求面B₁EDF 与 面ABCD所成的角。

【专家解答】

(1)如图，在平面ABCD内，过C作CP//DE交直

线AD于P，则（或补角）为异面直线A₁C与

DE所成的角。在Δ中，易得

，由余弦定理得。

故异面直线A₁C与DE所成的角为。

（2），

∴AD在面B₁EDF内的射影在∠EDF的平分线上。而B₁EDF是菱形，∴DB₁为∠EDF的平分线。故直线

AD与面B₁EDF所成的角为∠ADB₁．在RtΔB₁AD中，

则。

故直线AD与平面B₁EDF所成的角为。

（3）连结EF、B₁D，交于点O，显然O为B₁D的中点，从而O为正方体ABCD―A₁B₁C₁D₁的中心，作OH⊥平面ABCD，则H为正方形ABCD的中心。再作HM⊥DE，垂足为M ，连结OM，则OM⊥DE（三垂线定理），故∠OMH为二面角B₁-DE-A的平面角。

在RtΔDOE中，

则由面积关系得。

在RtΔOHM中。

故面B₁EDF 与 面ABCD所成的角为

★★★高考考什么

【考点透视】

异面直线所成角,直线与平面所成角,求二面角每年必考,作为解答题可能性最大.

【热点透析】

1．转化思想：

①

② 将异面直线所成的角,直线与平面所成的角转化为平面角,然后解三角形

2．求角的三个步骤：一猜,二证,三算．猜是关键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的射影一定落在平面的某个地方,然后再证

3．二面角的平面角的主要作法：①定义   ②三垂线定义   ③ 垂面法

距离

【考点透视】

判断线线、线面、面面的平行与垂直，求点到平面的距离及多面体的体积。

【热点透析】

转化思想：

 ①  ；

② 异面直线间的距离转化为平行线面之间的距离，

平行线面、平行面面之间的距离转化为点与面的距离。

2．空间距离则主要是求点到面的距离主要方法：

①体积法；    ②直接法,找出点在平面内的射影

★★★高考将考什么

【范例1】如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．

（I）求证：平面平面；

（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；

（III）求与平面所成角的最大值．

解法一：

（I）由题意，，，

是二面角是直二面角，

又二面角是直二面角，

，又，

平面，

又平面．

平面平面．

（II）作，垂足为，连结（如图），则，

是异面直线与所成的角．

在中，，，

．

又． 在中，．

异面直线与所成角的大小为．

（III）由（I）知，平面，

是与平面所成的角，且．

当最小时，最大，

这时，，垂足为，，，

与平面所成角的最大值为．

解法二：

（I）同解法一．

（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，

，，

．

异面直线与所成角的大小为．

（III）同解法一

【点晴】本题源于课本，高于课本，不难不繁，体现了通过平移求线线、通过射影求线面角的基本方法。

【变式】如右下图,在长方体ABCD―A₁B₁C₁D₁中,已知AB= 4, AD =3, AA₁= 2．

E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．

(1) 求二面角C―DE―C₁的正切值; (2) 求直线EC₁与FD₁所成的余弦值．

解：（I）以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D₁(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C₁(4,3,2),故

设向量与平面C₁DE垂直，则有

（II）设EC₁与FD₁所成角为β，则

【点晴】空间向量在解决含有三维直角的立体几何题中更能体现出它的优点，但必须注意其程序化的过程及计算的公式，本题使用纯几何方法也不难，同学不妨一试。

【范例2】如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。

（Ⅰ）求证：AB₁⊥面A₁BD；（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；

分析：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力．

解答：解法一：（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

连结，在正方形中，分别为

的中点， ， ．

在正方形中，， 平面．

（Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面．

，

为二面角的平面角．

在中，由等面积法可求得，

又， ．

所以二面角的大小为．

（Ⅲ）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距离为．

设点到平面的距离为．

由得， ．

点到平面的距离为．

解法二：（Ⅰ）取中点，连结．

为正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面， 平面．

取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，

，，．

，， ，． 平面．

（Ⅱ）设平面的法向量为．

，．

，，

令得为平面的一个法向量．

由（Ⅰ）知平面， 为平面的法向量．

，．

二面角的大小为．

【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。

【变式】在梯形ABCD中，AB=BC=1，AD=2，，沿对角线AC将折起，使点B在平面ACD内的射影O恰在AC上。

（1）求证：AB平面BCD（2）求异面直线BC与AD所成的角。

解：(1)在梯形ABCD中,,AD=2，

，

又平面ACD，故

又，且平面BCD

（2）因为BA=BC，，

为AC中点，取CD中点E，AB中点F，连结OE、OF、EF，则OE//AD，

OF//BC，所以AD与BC所成的角为或其补角.

作FH//BO交AC于H，连结HE, 则FH平面ACD

在三角形EOF中，又，EO=1

由余弦定理知

故异面直线BC与AD所成的角为

【点晴】折叠问题必须注意折叠前后之间的关系和区别，本题使用空间向量的方法也不失一种好方法。

【范例3】在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥面ABCD，PA＝AB＝a，E为BC中点.

（1）求平面PDE与平面PAB所成二面角的大小；（2）求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小

解：（1）延长AB、DE交于点F，则PF为平面PDE与平面PAD所成二面角的棱，

∵PA⊥平面ABCD，   ∴AD⊥PA、AB, PA∩AB=A

∴DA⊥平面BPA于A,  过A作AO⊥PF于O，连结OD,

则∠AOD即为平面PDE与平面PAD所成二面角的平面角。

得，故面PDE与面PAD所成二面角的大小为

（2）解法1（面积法）如图∵AD⊥PA、AB, PA∩AB=A

∴DA⊥平面BPA于A, 同时BC⊥平面BPA于B,

∴△PBA是△PCD在平面PBA上的射影,

设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ, cosθ=S_△PAB/S_△PCD=/2 θ=45⁰ ，即平面BAP与平面PDC所成的二面角的大小为45°。　　

解法2（补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCD补形

得正方体ABCD-PQMN，则PQ⊥PA、PD，于是∠APD是两

面所成二面角的平面角。      在Rt△PAD中，PA=AD，

则∠APD=45°。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°。　

【点晴】求线面角、面面角关键在于准确作出角，同样遵循一作二证三计算的步骤，但应用面积射影法求二面角可避免找角，同学们注意经常使用。

【范例4】如图，四面体ABCD中， O、E分别是BD、BC的中点，  

    （I）求证：平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小；

    （III）求点E到平面ACD的距离。

    方法一：

    （I）证明：连结OC

    在中，由已知可得

    而 

    即

    平面

    （II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知

    直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角

    在中，  

    是直角斜边AC上的中线，  

    异面直线AB与CD所成角的大小为

    （III）解：设点E到平面ACD的距离为

    在中，

    而 

    点E到平面ACD的距离为

    方法二：

    （I）同方法一。

    （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

    异面直线AB与CD所成角的大小为

    （III）解：设平面ACD的法向量为则

    令得是平面ACD的一个法向量。

    又 点E到平面ACD的距离

【点晴】本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

【变式】已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC₁上的点，且CN＝2C₁N．

（Ⅰ）求二面角B₁－AM－N的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点B₁到平面AMN的距离。

解（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)，

M（0，，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，

所以,,

因为

所以,同法可得。

故??为二面角―AM―N的平面角

∴??＝

故二面角―AM―N的平面角的余弦值为。

（Ⅱ）设n=(x, y, z)为平面AMN的一个法向量，则由得

, 故可取

设与n的夹角为a，则。

所以到平面AMN的距离为。

【范例5】如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.

（Ⅰ）求BF的长；

（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.

解法1：（Ⅰ）过E作EH//BC交CC1于H，则CH=BE=1，EH//AD，且EH=AD.

∵AF∥EC1，∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.

∴DF=C1H=2.

（Ⅱ）延长C1E与CB交于G，连AG，

则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.

过C作CM⊥AG，垂足为M，连C1M，

由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC，

且AG面AEC­1F，所以平面AEC1F⊥面C1MC.

在Rt△C1CM中，作CQ⊥MC1，垂足为Q，则CQ的长即为C到面AEC1F的距离.

解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），

A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.

∵AEC1F为平行四边形，

（II）设为面AEC1F的法向量，

的夹角为a，则

∴C到平面AEC1F的距离为

【点晴】本小题主要考查线面关系和空间距离的求法等基础知识，空间距离也遵循一作二证三计算的步骤，但体积法是一种很好的求空间距离的方法，同学们不妨一试。

【文】正三棱柱的底面边长为8，对角线，D是AC的中点。

（1）求点到直线AC的距离.

（2）求直线到平面的距离．

解：（1）连结BD，，由三垂线定理可得：，

所以就是点到直线AC的距离。

在中．

．

（2）因为AC与平面BD交于ＡＣ的中点Ｄ，

设，则//DE，所以//平面，

所以到平面BD的距离等于Ａ点到平面BD

的距离，等于Ｃ点到平面BD的距离，也就等于三棱

锥的高，    ，

，，即直线到平面BD的距离是．

【点晴】求空间距离注意三点：

1．常规遵循一作二证三计算的步骤；

2．多用转化的思想求线面和面面距离；

3．体积法是一种很好的求空间距离的方法．

【范例6】如图，在四棱锥P―ABC右，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2， E为PD的中点

（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离

解法一：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标分别为A(0，0，0)，B(，0，0)，C(，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，2)，E(0，，2).从而=（，1，0），=（，0，-2）.

设与的夹角为，则，

∴AC与PB所成角的余弦值为

（Ⅱ） N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x, 0, z),则

由NE⊥面PAC可得即

化简得

即N点的坐标为（，0，1），从而N点到AB、AP的距离分别为1，

解法二：（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角, 在ΔAOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，

∴, 即AC与PB所成角的余弦值为

（Ⅱ）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.

连PF，则在RtΔADF中DF=.

设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，

∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC从而NE⊥面PAC

∴N点到AB的距离=AP=1，N点到AP的距离=AF=

【点晴】由线线、线面、面面的位置寻找满足某些条件的点的位置，它能考查学生分析问题、解决问题的能力，两种方法各有优缺点，在向量方法中注意动点的设法，在方法二中注意用分析法寻找思路。