2009年福建省普通高中毕业班质量检查
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题
为必考题。本试卷共5页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上。请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内
作答，超出答题区域书写的答案无效。在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；
非选择题答案使用
4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
参考公式：
样本数据
的标准差
样本平均数；
柱体体积公式
其中S为底面面积，h为高
锥体体积公式
其中S为底面面积，h为高
球的表面积、体积公式
，
其中R为球的半径
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有
1． 已知
，i不虚数单位，若
，则x的值等于
A．
B．
C．2 D．6
2． 设向量
，
，且
∥
，则锐角
为
A．
B．
C．
D．
3． “
”是“线
与圆
相交”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4． 函数
的图像大致为
 |
A B C D
5． 设、
为不重合的平面，m、n为不重合的直线，则下列命题正确的是
A．若
，
，
，则
B．若
，
，m∥n，则∥
C．若m∥，n∥，m
n，则
D．若
，
，
，则
6． 关于函数
图像的对称性，下列说法正确的是
A．关于直线
对称
B．关于直线
对称
C．关于点
对称
D．关于点
对称
7． 右图是计算函数
的值的程序框图，
在①、②、③处应分别填入的是
A．
，
，
B．，，
C．，，
D．，，
8． 已知直线
与直线
互相垂直，则
的最小值为
A．5 B．
9． 已知函数
满足
，且当
时，
，
则
，
，
的大小关系是
A．
B．
C．
D．
10．
的展开式中，
的系数可以表示从n个不同物体中选出k个的方法总数。下列
各式的展开式中
的系数恰能表示从重量分别为1、2、3、…、10克的砝码（每种砝
码各一个）中选出若干个，使其总重量恰为8克的方法总数的选项是
A．
B．
C．
D．
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡相应位置。
11．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边长为6的正方形将
其包含在内，并向正方形内随机投掷800个点。已知恰有
200个点落在阴影部分，据此，可估计阴影部分的面积是
_____________。
12．已知x，y满足约束条件
，则
的最大值是_____。
13．如图，直线
与曲线
所围图形的
面积是_________。
14．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、
b、c，且
，则
______。
15．已知椭圆
的中心在原点、焦点在x轴上，抛物线
的顶点在原点、焦点在x轴上。
小明从曲线、上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标
。
由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆上，也不在抛物线上。小明的记
录如下：
0
2
3
2
0
据此，可推断椭圆的方程为_______________。
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分13分）
在等比数列
中，
，
。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令
，求数列
的前n项和
。
17．（本小题满分13分）
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训。现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中
随机抽取8次，记录如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参
加合适？请说明理由；
（Ⅲ）若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成
绩中高于80分的次数为
，求的分布列及数学期望
。
18．（本小题满分13分）
四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示。
 |
（Ⅰ）写出四棱锥P－ABCD中四对线面垂直关系（不要求证明）；
（Ⅱ）在四棱锥P－ABCD中，若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD；
（Ⅲ）在四棱锥P－ABCD中，设面PAB与面PCD所成的角为
，求
的值
19．（本题满分13分）
已知椭圆C的离心率
，长轴的左右端点分
别为
，
。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线
与椭圆C交于P、Q两
点，直线
与
交于点S。试问：当
m变化时，点S是否恒在一条定直线上？
若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
20．（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点
，
，如果存在曲线上的点
，且
，使得曲线在点
处的切线
∥
，则称为弦
的伴随切线。特别地，当
时，又称为的λ－
伴随切线。
（?）求证：曲线
的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；
（?）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有
伴随切线？若存在，给
出一条这样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ，说明理由。
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分。
如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应
的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。
（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知
，矩阵
对应的线性变换把点
变成点
，
求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量。
（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线经过点
，且倾斜角为，圆C的参数方程为
（
是参数）。直线与圆C交于
、
两点，求、两点间的距离。
（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
解不等式：
。
2009年福建省普通高中毕业班质量检查
理科数学试题参考解答及评分标准
说明：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
C
D
D
B
C
B
A
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题4分，共20分。
11、9 12、5 13、
14、
15、
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16、（本小题满分13分）
在等比数列中，，。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前n项和。
16、本小主要考查等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力。满分13分
解：（Ⅰ） 设等比数列
的公比为q。
依题意，得
……………………………………………… 2分
解得
， ……………………………………………………………… 4分
∴数列的通项公式：
。 ………………………… 7分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得
，
。
。 ……………………………………………… 10分
∴
。 ………………………………………………… 13分
17、（本小题满分13分）
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训。现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中
随机抽取8次，记录如下：
甲 82 81 79 78 95 88 93 84
乙 92 95 80 75 83 80 90 85
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参
加合适？请说明理由；
（Ⅲ）若将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成
绩中高于80分的次数为，求的分布列及数学期望。
17、本小主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力。满分13分。
解：（Ⅰ） 作出茎叶图如下：
 |
……………………………………… 4分
（Ⅱ） 派甲参赛比较合适。理由如下：
，
，
，
∵
，
，
∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适。 ……………………………… 8分
注：本小题的结论及理由均不唯一，如果考生能从统计学的角度分析，给出其他合理回答，同样给分。如
派乙参赛比较合适。理由如下：
从统计的角度看，甲获得85分以上（含85分）的概率
，
乙获得85分以上（含85分）的概率
。
∵
，∴派乙参赛比较合适。
（Ⅲ） 记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件A，
则
。 ………………………………………………………… 9分
随机变量的可能取值为0、1、2、3，且
。
∴
，
。
所以变量的分布列为：
0
1
2
3
P
…………………………………………………………………………… 11分
。
（或
） ……………………………………………… 13分
18、（本小题满分13分）
四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示。
 |
（Ⅰ）写出四棱锥P－ABCD中四对线面垂直关系（不要求证明）；
（Ⅱ）在四棱锥P－ABCD中，若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD；
（Ⅲ）在四棱锥P－ABCD中，设面PAB与面PCD所成的角为，求
的值
18、本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间
想象能力，推理论证能力和运算求解能力。满分13分。
解法一：
（Ⅰ）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，
AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD
…………………………………… 4分
注：多写的按前四对给分，每正确一对，给一分。
CD⊥平面PAC也符合要求。
（Ⅱ）依题意AB、AD、AP两两垂直，分别以直线AB、AD、AP为x、y、z轴，
建立空间直角坐标第，如图。 …………………………………………… 5分
则
，
，
，
。
∵E是PA中点，∴点E的坐标为
，
，
，
。
设
是平面PCD的法向量。
由
，即
取，得
为平面PCD的一个法向量。 ……………… 6分
∵
，∴
， ……………………… 7分
∴
∥平面PCD。又BE
平面PCD，∴BE∥平面PCD。 ………… 8分
（Ⅲ）由（Ⅱ），平面PCD的一个法向量为， ………………… 10分
又∵AD⊥平面PAB，∴平面PAB的一个法向量为
…… 11分
∴
。 ………………………………………… 13分
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）取PD的中点F，连接EF、CF。
∵E、F分别是PA、PD的中点，
∴EF∥AD，EF
AD，∴EF∥BC，且EF
BC，
∴四边形BEFC是平行四边形，∴BE∥CF。 ………………………… 6分
又∵CF
平面PCD，BE平面PCD，
∴BE∥平面PCD。 ……………………………………………………… 8分
（Ⅲ）依题意AB、AD、AP两两垂直，分别以直线AB、AD、AP为x、y、z轴，
建立空间直角坐标第，如图。 …………………………………………… 9分
则，，。
∵E是PA中点，∴点E的坐标为，
，。
设是平面PCD的法向量。
由，即
取，得为平面PCD的一个法向量。 ……………… 10分
又∵AD⊥平面PAB，∴平面PAB的一个法向量为 …… 11分
∴。 ………………………………………… 13分
解法三：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）取AD的中点N，连接EN，BN，
∵E、N分别是PA、AD的中点，
∴EN∥平PD，又EN平面PCD，
∴EN∥平面PCD …………………………………………………………… 5分
在直角梯形ABCD中，BC∥AD且BCADDN，
∴四边形BCDN是平行四边形，BN∥CD。
又∵
平面PCD，∴BN∥平面PCD。 ……………………………… 6分
∵
，∴平面BEN∥平面PCD。……………………………… 7分
又BE平面BEN，∴BE∥平面PCD。 ………………………………… 8分
（Ⅲ）同解法二。
19、（本题满分13分）
已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分
别为，。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆C交于P、Q两
点，直线与交于点S。试问：当
m变化时，点S是否恒在一条定直线上？
若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
19、本题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形
结合思想和化归与转化思想等。满分13分。
解法一：
（Ⅰ）设椭圆
的方程为
。 ………………………… 1分
∵
，
，∴
，
。 ……………… 4分
∴椭圆的方程为
。 ……………………………………… 5分
（Ⅱ）取
得
，
直线的方程是
直线
的方程是
交点为
……………………………………………………… 7分
若
，由对称性可知交点为
若点
在同一条直线上，则直线只能为
。 ………………… 8分
以下证明对于任意的
直线与直线的交点均在直线上。
事实上，由
得
即
，
记
，则
。………… 9分
设与交于点
由
得
设与交于点
由
得
……… 10分
， …………………………………………… 12分
∴
，即
与
重合，
这说明，当
变化时，点恒在定直线上。 ……………… 13分
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）取得，
直线的方程是直线的方程是
交点为 …………………………………………………………… 7分
取
得
，
直线的方程是
直线的方程是
交点为
∴若交点在同一条直线上，则直线只能为。 ……………… 8分
以下证明对于任意的直线与直线的交点均在直线上。
事实上，由
得即，
记，则。……………… 9分
的方程是
的方程是
消去
得
…………………………………… ①
以下用分析法证明
时，①式恒成立。
要证明①式恒成立，只需证明
即证
即证
……………… ②
∵
∴②式恒成立。
这说明，当变化时，点恒在定直线上。
解法三：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）由
得即。
记，则。…………… 6分
的方程是的方程是 …… 7分
由
得
………………… 9分
即
……………………………… 12分
这说明，当变化时，点恒在定直线上。 ……………… 13分
20、（本小题满分14分）
已知函数
（Ⅰ）求函数
的极值；
（Ⅱ）对于曲线上的不同两点
，如果存在曲线上的点
，
且，使得曲线在点处的切线
，则称
为弦的伴随切线。
特别地，当
时，又称为的λ-伴随切线。
（?）求证：曲线的任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的；
（?）是否存在曲线C，使得曲线C的任意一条弦均有伴随切线？若存在，给出
一条这样的曲线 ，并证明你的结论； 若不存在 ，说明理由。
20、本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形
结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分14分。
解法一：
（Ⅰ）
………………………………………………………… 2分
当
，
，函数在
内是增函数，
∴函数没有极值。 …………………………………………………… 3分
当
时，令
，得
。
当变化时，
与变化情况如下表：
＋
0
－
单调递增
极大值
单调递减
∴当时，取得极大值
。
综上，当时，没有极值；
当时，的极大值为
，没有极小值。 …………… 5分
（Ⅱ）（?）设
是曲线上的任意两点，要证明
有伴随切线，只需证明存在点
，使得
，且点不在上。 ………………………… 7分
∵
，即证存在
，使得
，即
成立，且点不在上。 ………………… 8分
以下证明方程
在
内有解。
记
，则
。
令
，
∴
，
∴
在
内是减函数，∴
。
取
，则
，即
。…… 9分
同理可证
。∴
。
∴函数在内有零点。
即方程在内有解
。……………… 10分
又对于函数
取，则
可知
，即点Q不在上。
是增函数，∴的零点是唯一的，
即方程在内有唯一解。
综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。
…………………………………………………………………………… 11分
（?）取曲线C：
，则曲线
的任意一条弦均有伴随切线。
证明如下：
设
是曲线C上任意两点
，
则
，
又
，
即曲线C：
的任意一条弦均有伴随切线。 ………………… 14分
注：只要考生给出一条满足条件的曲线，并给出正确证明，均给满分。若只给曲
线，没有给出正确的证明，不给分。
解法二：
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）（?）设是曲线上的任意两点，要证明
有伴随切线，只需证明存在点，使得
，且点不在上。 …………………………… 7分
∵
，即证存在，使得，
即
成立，且点不在上。 …………… 8分
以下证明方程
在内有解。
设
。
则
。
记
，
∴
，
∴
在
内是增函数，
∴
。 …………………………………………… 9分
同理。
。
∴方程在内有解。 ………… 10分
又对于函数
，
∵
，
，
可知，即点Q不在上。
又
在内是增函数，
∴方程在内有唯一解。
综上，曲线上任意一条弦均有伴随切线，并且伴随切线是唯一的。
…………………………………………………………………………… 11分
（?）同解法一。
21、（1）（本小题满分7分）
已知
矩阵对应的线性变换把点
变成
，求矩阵A的特征值
以及属于每个特征值的一个特征向量。
21（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求
解能力。满分7分。
解：由
，得
………………………………………… 2分
矩阵A的特征多项式为
。 …………… 4分
令
，得矩阵A的特征值
，
。 ……………………… 5分
对于特征值，解相应的线性方程组
，得一个非零解
。
因此，
是矩阵A的属于特征值的一个特征向量。……… 6分
对于特征值
，解相应的线性方程组
，得一个非零解
。
因此，
是矩阵A的属于特征值的一个特征向量 ………… 7分
注：写出的特征向量只要满足
，
即可。
（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线经过点，且倾斜角为，圆C的参数方程为（
是参数）。直线与圆C交于、两点，求、两点间的距离。
（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程
本小题主要考查圆的参数方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。
满分7分。
解法一：
将圆的参数方程化为普通方程，得
。……………………… 2分
直线的方程为
，即
。 ……………… 3分
圆心到直线的距离
， ……………………… 5分
所以
。 …………………………………………… 7分
解法二：
直线的参数方程为
，即
（t为参数），………… 1分
将圆的参数方程化为普通方程，得。……………………… 3分
将直线的参数方程代入圆的普通方程得：
，即
。 ………………………… 4分
∵
，
，………………………………………………… 5分
，
∴、两点间的距离为
。 …………………………………………… 7分
（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
解不等式：。
（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。满分7分。
解： 当
时，原不等式可化为：
，解得：
或
。
∴。……………………………………………………………………… 2分
当
时，原不等式可化为：
，解得：
或
∴
。 ……………………………………………………………… 4分
当
时，原不等式可化为：
，解得。
∴。 …………………………………………………………………… 6分
综上所述，原不等式的解集为
。 ………………… 7分