新洲一中、红安一中、麻城一中三校协作体2009年3月月考
高二3月月考
数 学 试 题
命题: 新洲一中 王吉良 满分150分 时间120分钟
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）
1、ABCD是一个四面体，在四个面中最多有几个是直角三角形（ ）
A、1
B、
2、设
，m，n均为直线，其中m，n在平面α内，“⊥α”是“⊥m且⊥n”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
3、已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
①若m
α、n∥β，则m∥n
②若m∥α、n∥β，则α∥β
③若α∩β=n、m∥n，则m∥α且m∥β ④若m⊥α、m⊥β，则α∥β
其中真命题的个数是（ ）
A、0
B、
4、在正三棱柱ABC-A1B
A、
B、
C、
D、
5、一条直线与平面所成的角为
（
），则此直线与这个平面内任意一条直线所成的角中最大角是（ ）
A、
B、
C、
D、
6、下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（ ）
 |
7、椭圆
的长轴为A
A、
B、
C、
D、
8、对于任意的直线与平面α,在平面α内必有直线m,使得直线m与直线( )
A、垂直 B、平行 C、相交 D、互为异面直线
9、如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直.以上四个命题中，不正确命题的序号是（ ）
A、①②③ B、①②
C、③④ D、①②④
10、△ABC的AB边在平面α内，C在平面α外，AC和BC分别与面α成30°和45°的角，且平面ABC与平面α成60°的二面角，那么sin∠ACB的值为（ ）
A、1
B、
C、
D、1或
新洲一中、红安一中、麻城一中三校协作体3月份月考
高二3月月考
数 学 答 卷
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11、正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成 对异面直线.
12、把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，使A、C的距离等于a，则异面直线AC和BD的距离为 .
13、两个棱长均为a的正三棱锥底面重合构成一个六面体，两个棱长均为a的正四棱锥底面重合构成一个八面体.
（1）（文科做）六面体与八面体的体积之比为
（2）（理科做）六面体与八面体的内切球的半径之比为
14、已知平面α∥平面β，P是平面α、β外的一点，过P点的两条直线PA、PB分别交平面α于A、B，交平面β于C、D，且PA=6，AC=9，AB=8，则CD的长为
15、如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α、CD⊥α垂足分别为B、D，
若增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有：①AC⊥β；
②AC与α、β所成的角相等；③AC与CD在β内的射
影在同一条直线上；④AC∥EF.那么上述几个条件中
能成为增加条件的是 （填上你认为正确
的所有答案序号）
三、解答题：（共6小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16、（本小题满分12分）已知：三个平面两两相交，有三条交线，且其中两条交线交于一点.求证：这三条交线交于一点.
17、（本小题满分12分）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=直线.
（1）求证：BC∥；
（2）试判断MN与平面PAD是否平行？并证明你的结论.
18、（本小题满分12分）如图，已知空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，AN⊥BC于N，且PA=1，AN=BN=CN=
（1）求证：PB⊥AC； （2）求点A到平面PBC的距离.
19、（本小题满分12分）如图（1）在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，现将△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD如图（2）
（1）求二面角G-EF-D的大小；
（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明过程.
20、（本小题满分13分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B
成的角的余弦值；（3）设P为侧面BCC1B1上的动点，且AP=
，试指出动点P的轨迹，并求出其轨迹所表示的曲线的长度.
21、（本小题满分14分）如图，长方体AC1中，AB=2，BC=AA1=1，E、F、G
分别为棱DD1、D
（1）试在底面A1B
（2）求四面体EFGB1的体积.
新洲一中、红安一中、麻城一中三校协作体2009年3月月考
高二数学答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
B
A
D
C
A
B
D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11、正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成 6 对异面直线.
12、把边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折起，使A、C的距离等于a，则异面直线AC和BD的距离为 .
13、两个棱长均为a的正三棱锥底面重合构成一个六面体，两个棱长均为a的正四棱锥底面重合构成一个八面体.
（1）（文科做）六面体与八面体的体积之比为 1:2
（2）（理科做）六面体与八面体的内切球的半径之比为 2:3
14、已知平面α∥平面β，P是平面α、β外的一点，过P点的两条直线PAC、PBD分别交平面α于A、B，交平面β于C、D，且PA=6，AC=9，AB=8，则CD的长为20或4
15、如图，设平面α∩β=EF，AB⊥α、CD⊥α垂足分别为B、D，
若增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有：①AC⊥β；
②AC与α、β所成的角相等；③AC与CD在β内的射
影在同一条直线上；④AC∥EF.那么上述几个条件中
能成为增加条件的是 ① ③ （填上你认为正确
的所有答案序号）
三、解答题：（共6小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16、（本小题满分12分）已知：三个平面两两相交，有三条交线，且其中两条交线交于一点.求证：这三条交线交于一点.
已知：（如图）α∩β=a，β∩r=b，r∩α=c，a∩b=A
求证：a、b、c交于一 点
证明：α∩β=a
a∩b=A A∈a
 |
|||
 |
|||
17、（本小题满分12分）如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=直线.
（1）求证：BC∥；
（2）试判断MN与平面PAD是否平行？并证明你的结论.
（1）证明：由已知 BC//AD
AD平面PAD
BC//
（2）平行
延长CM，DA交于Q，连接PQ，易证M为CQ的中点，又N为PC的中点，
∴MN//PQ
∴MN//平面PAD
（两小题各6分）
18、（本小题满分12分）如图，已知空间四边形PABC中，PA⊥平面ABC，AN⊥BC于N，且PA=1，AN=BN=CN=
（1）求证：PB⊥AC； （2）求点A到平面PBC的距离.
（1）略
（2）由体积变换可求得A到平面PBC的距离为
（两小题各6分）
19、（本小题满分12分）如图（1）在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分别是PC、PD、BC的中点，现将△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD如图（2）
（1）求二面角G-EF-D的大小；
（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明过程.
（1）解：设平面FEG交于AD于H点易知
H为AD的中点，∠DFH为二面角G-EF-D的
平面角，可求得∠DFH=45°
（2）取PB的中点Q，易证PC⊥平面ADEQ
（两小题各6分）
20、（本小题满分13分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B
成的角的余弦值；（3）设P为侧面BCC1B1上的动点，且AP= ，试指出动点P的轨迹，并求出其轨迹所表示的曲线的长度.
（1）略，F为A1D1的中点
（2）建立空间直角坐标系可求得其余弦值为
（3）由AP2=AB2+BP2
BP2= BP=
∴P点轨迹为以B为圆心，为半径的圆，在侧面BCC1B1内的部分，即圆的
的一段弧，其长度L=×2
[（1）（2）两小题各4分，第（3）小题5分]
21、（本小题满分14分）如图，长方体AC1中，AB=2，BC=AA1=1，E、F、G
分别为棱DD1、D
（1）试在底面A1B
（2）求四面体EFGB1的体积.
 |
（1）解：取AD的中点M
连A
易知A
取A1D1的中点N，
易知DN∥A
再取ND1的中点H，
易证HE∥DN，所以HE∥B
故EH∥平面FGB1
所以H为A1D1的四等分点，且HD1=
（2）VE-B1FG=VH―B1FG=VG-HB
=?S△HFB1?AA1
=
（每小题7分）