11.命题“若a＞2，则a²＞4”的逆否命题可表述为：若 a²≤4，则a≤2 .

12.抛物线y²＝－12x的准线方程是 x＝3 .

13.设某物体在时间t秒内所经过的路程为s，已知，则该物体在第2秒末的瞬时速度为 20 m/s.

14.曲线在点M(π，0)处的切线的斜率是.

15.已知动点M分别与两定点A(1，0)，B(－1，0)的连线的斜率之积为定值m(m≠0)，若点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去点A、B)，则m的取值范围是（－1，0）；若点M的轨迹是离心率为2的双曲线(除去点A、B)，则m的值为  3  .

16.(本小题满分6分)

    已知含有量词的两个命题p和q，其中命题p：任何实数的平方都大于零；命题q：二元一次方程2x＋y＝3有整数解.

（Ⅰ）用符号“”与“”分别表示命题p和q；

（Ⅱ）判断命题“(?p)∧q”的真假，并说明理由.

【解】（Ⅰ）命题p：x∈R，x²＞0；                                               （1分）

命题q：x₀∈Z且y₀∈Z，2x₀＋y₀＝3.                                    （3分）

（Ⅱ）因为当x＝0时，x²＝0，所以命题p为假命题，从而命题?p为真命题.             （4分）

      因为当x₀＝2，y₀＝－1时，2x₀＋y₀＝3，所以命题q为真命题.                     （5分）

      故命题“(?p)∧q”是真命题.                                                                                     （6分）

17.(本小题满分8分)

   已知函数.

（Ⅰ）确定函数的单调区间，并指出其单调性；

（Ⅱ）求函数的图象在点x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.

【解】（Ⅰ）.             （1分）

由，得x²－2x－3＜0，即(x＋1)(x－3)＜0，所以0＜x＜3.                  （2分）

由，得x²－2x－3＞0，即(x＋1)(x－3)＞0，所以x＞3.                     （3分）

故在区间(0，3)上是增函数，在区间(3，＋∞)上是减函数.                       （4分）

（Ⅱ）因为，，                           （5分）

所以切线的方程为，即.                             （6分）

   从而切线与两坐标轴的交点坐标为和.                                （7分）

   故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.                     （8分）

18.(本小题满分8分)

     已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，长轴长等于12，离心率为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆左顶点作直线l，若动点M到椭圆右焦点的距离比它到直线l的距离小4，求点M的轨迹方程.

【解】（Ⅰ）设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c.

   由已知，2a＝12，所以a＝6.                                                     （1分）

又，即a＝3c，所以3c＝6，即c＝2.                                       （2分）

于是b²＝a²－c²＝36－4＝32.                                                     （3分）

   因为椭圆的焦点在x轴上，故椭圆的标准方程是.                       （4分）

（Ⅱ）法一：因为a＝6，所以直线l的方程为x＝－6，又c＝2，所以右焦点为F₂(2，0).  （5分）

过点M作直线l的垂线，垂足为H，由题设，|MF₂|＝|MH|－4.

   设点M(x，y)，则.                         （6分）

两边平方，得，即y²＝8x.                                （7分）

故点M的轨迹方程是y²＝8x.                                                    （8分）

   法二：因为a＝6，c＝2，所以a－c＝4，从而椭圆左焦点F₁到直线l的距离为4.         （5分）

由题设，动点M到椭圆右焦点的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以点M的轨迹是以右焦点为F₂(2，0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线.                                   （7分）

显然抛物线的顶点在坐标原点，且p＝|F₁F₂|＝4，故点M的轨迹方程是y²＝8x.        （8分）

19.(本小题满分8分)

 某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值.已知投入万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为万元，并且技改投入比率.

（Ⅰ）求技改投入的取值范围；

（Ⅱ）当技改投入多少万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为多少万元？

【解】（Ⅰ）由.          （3分）

故技改投入的取值范围是(0，50].                                                （4分）

（Ⅱ）设，. 则

.                                                （5分）

由，得；由，得.                         （6分）

所以在区间（0，40]内是增函数，在区间[40，50]内是减函数，从而当x＝40时取最大值.                                                                            （7分）

又，故当技改投入40万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为32000万元.                                                           （8分）

20.(本小题满分10分)  

已知双曲线中心在原点，焦点在x轴上，过左焦点F₁作倾斜角为30°的直线l，交双曲线于A，B两点，F₂为双曲线的右焦点，且AF₂⊥x轴，如图.

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）若|AB|＝16，求双曲线的标准方程.

【解】（Ⅰ）设双曲线方程为.

由已知∠AF₁F₂＝30°，∠A F₂F₁＝90°.                                           （1分）

在Rt△AF₂F₁中，， .      （3分）

因为|AF₁|－|AF₂|＝2a，所以，即，所以. （5分）

（Ⅱ）因为，所以，从而双曲线方程化为，

即.                                                            （6分）

因为右焦点为F₂(，0)，则直线l的方程为.代人双曲线方程，得

，即.                          （7分）

设点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则.                     （8分）

所以

.                                                 （9分）

因为|AB|＝16，所以a＝5，从而.故双曲线方程是.     (10分)