专题17 记忆能力与运算能力
一 记忆能力
记忆是系统化知识,形成方法,思想的先决条件,因而我们对记忆能力应引起足够的重视.
下面来试试你的记忆能力:
1．求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？
2．函数与其反函数之间的一个有用的结论：
3．原函数在区间
上单调递增，则一定存在反函数，且反函数
也单调递增；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调．
4． 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗？
5. 你知道函数
的单调区间吗？（该函数在
或
上单调递增；在
或
上单调递减）这可是一个应用广泛的函数！
6. 解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？（真数大于零，底数大于零且不等于1）字母底数还需讨论呀.
7. 你知道判断对数
符号的快捷方法吗？
8. “实系数一元二次方程
有实数解”转化为“
”，你是否注意到必须
；当a=0时，“方程有解”不能转化为．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
9. 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗？
10. 在三角中，你知道1等于什么吗？（
这些统称为1的代换) 常数 “
11. 你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）
12. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？(
)
13. 在用反三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时，你是否注意到它们各自的取值范围及意义？
①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次是
.
②直线的倾斜角、
到
的角、与的夹角的取值范围依次是
．
③反正弦、反余弦、反正切函数的取值范围分别是
．
14. 分式不等式
的一般解题思路是什么？（移项通分）
15. 解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.）
16. 利用重要不等式
以及变式
等求函数的最值时，你是否注意到a，b
（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积ab或和a＋b其中之一应是定值？
17. 在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底
或
）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解是……．
18. 等差数列中的重要性质：若
，则
；
等比数列中的重要性质：若，则
．
19. 你是否注意到在应用等比数列求前n项和时，需要分类讨论．（
时，
；
时，
）
20. 等差数列的一个性质：设
是数列
的前n项和，为等差数列的充要条件是
（a, b为常数）其公差是
21. 你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗？（若
，其中是等差数列，
是等比数列，求
的前n项的和）
22. 用
求数列的通项公式时，你注意到
了吗？
23. 你还记得裂项求和吗？（如
.）
24. 解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．
25. 解排列组合问题的规律是：相邻问题捆绑法；不邻问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；定序问题倍缩法；多元问题分类法；有序分配问题法；选取问题先排后排法；至多至少问题间接法．
26. 作出二面角的平面角主要方法是什么？（定义法、三垂线法、垂面法）三垂线法：一定平面，二作垂线，三作斜线，射影可见.
27. 求点到面的距离的常规方法是什么？（直接法、体积法）
28. 求多面体体积的常规方法是什么？（割补法、等积变换法）
29. 你知道三垂线定理的关键是什么吗？（一面、四线、三垂直、立柱即面的垂线是关键）一面四直线，立柱是关键，垂直三处见
30. 设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率k不存在的情况？（例如：一条直线经过点
，且被圆
截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程。该题就要注意，不要漏掉x+3=0这一解.）
31. 定比分点的坐标公式是什么？（起点，中点，分点以及
值可要搞清）
32. 对不重合的两条直线
，
，有
； 
．
33. 直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.
34. 处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷．
35. 处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.
36. 在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形.
37.还记得圆锥曲线的两种定义吗？解有关题是否会联想到这两个定义？
38.还记得圆锥曲线方程中的a,b,c,p,
的意义吗？
39. 在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序？
40．离心率的大小与曲线的形状有何关系？（圆扁程度，张口大小）等轴双曲线的离心率是多少？
41. 在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零？判别式
的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在
下进行）.
42. 椭圆中，注意焦点、中心、短轴端点所组成的直角三角形．（a，b，c）
43. 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.
44.只要的求导公式有哪些?
(1)
,(2)
,(3)
,(4)
,(5)
,
(6)
,(7)
,(8)
,(9)
,
(10)
,(11)
,(12)
.
45. 解答选择题的特殊方法是什么？(顺推法，估算法，特例法，特征分析法，直观选择法，逆推验证法等等)
46. 解答开放型问题时，需要思维广阔全面，知识纵横联系．
47. 解答信息型问题时，透彻理解问题中的新信息，这是准确解题的前提．
48. 解答多参型问题时，关键在于恰当地引出参变量, 想方设法摆脱参变量的困绕．这当中，参变量的分离、集中、消去、代换以及反客为主等策略，似乎是解答这类问题的通性通法．
二 运算能力
每年高考都说要控制运算量,但结果是每年都控制不了.理由很简单:有数学,就有运算.
不厌其繁的运算,可以培养我们的耐性,和坚忍不拔的性格.
问题1任一分数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式,你相信吗?试几个看看.
(1)
=
;
(2)
=
;
(3)请你自己写一个试试: .
问题2已知三角形的三个顶点分别是
,
求角平分线AM所在直线的方程.
问题3(如图)已知正四棱锥
的各条棱长均为1,
E,F分别为VB,VC的中点.
(I)求平面PAB与平面PBC所成的角的大小;
(II)求点A到平面PBC的距离;
(III)求直线AE与平面PBC所成的角的大小;
(IV)求异面直线AE与BF所成的角的大小;
问题4某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测
点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点
到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为
问题5设直线
与椭圆
相交于A、B两点，又与双曲线x2?y2=1相交于C、
D两点,C、D三等分线段AB. 求直线的方程.
问题解答:问题1(略).问题2
解(一):可得
,
,设直线AM的斜率为
,则
,即
,得
,
有
,解得
,
(舍去)
得角平分线AM的方程为:
即
.
解(二):
,它的单位向量
,它的单位向量
则AM与
(
+
,
)同向
得
,(下同解一).
问题3解:(I)(如图)以正方形ABCD的中心为原点,建立空间直角坐标系,则
得
,
,
,
,
,
设平面PBC的法向量为
,则
,
有
,得
,有
,则
得
,同理得平面PBC的法向量
,则
,
而平面PAB与平面PBC所成的角为钝角,所以它的大小为
.
(II)由
,设
与
所成的角为
,则
则点A到平面PBC的距离
.
(III)可得E
,有
,设
与所成的角为
,则
,
得AE与平面PBC所成的角为
.
(IV)可得F
,得
,设与
所成的角为
,则
得AE与BF所成的角为
.
问题4 解：如图，
以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）
设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PB|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线
上，
依题意得a=680, c=1020，
用y=－x代入上式，得
，∵|PB|>|PA|,
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心
处.
问题5解：首先讨论l不与x轴垂直时的情况，设直线l的方程为
y=kx+b，如图所示，l与椭圆、双曲线的交点为：
依题意有
，由
若
，则与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故
由
故l的方程为
(ii)当b=0时，由(1)得
由
故l的方程为
再讨论l与x轴垂直的情况.
设直线l的方程为x=c,分别代入椭圆和双曲线方程可解得，
综上所述，故l的方程为、和