专题12 函数 不等式 数列 极限 数学归纳法
一 能力培养
1,归纳
猜想证明
2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力
二 问题探讨
问题1数列{
}满足
,
,(
).
(I)求{}的通项公式;
(II)求
的最小值;
(III)设函数
是与
的最大者,求的最小值.
问题2已知定义在R上的函数
和数列{}满足下列条件:
,
(=2,3,4,
),
,
=
(=2,3,4,),其中
为常数,
为非零常数.
(I)令
(),证明数列
是等比数列;
(II)求数列{}的通项公式; (III)当
时,求
.
问题3已知两点M
,N
,且点P使
,
,
成公差小
于零的等差数列.
(I)点P的轨迹是什么曲线? (II)若点P坐标为
,记
为
与
的夹角,求
.
三 习题探讨
选择题
1数列
的通项公式
,若此数列满足
(),则的取值范围是
A,
B,
C,
D,
2等差数列,的前项和分别为
,
,若
,则
=
A,
B,
C,
D,
3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为
,则的取值范围是
A,
B,
C,
D,
4在等差数列中,
,第10项开始比1大,记
,则
的取值范围是
A,
B,
C,
D,
5设A
,B
,C
是椭圆
)上三个点,F为焦点,
若
成等差数列,则有
A,
B,
C,
D,
6在
中,
是以
为第三项,4为第七项的等差数列的公差,
是以
为
第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是
A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对
填空
7等差数列前(
)项和
,且前6项和为36,后6项和为180,则
.
8
,则
.
9在等比数列中,
,则
的取值范围是
.
10一个数列,当为奇数时,
;当为偶数时,
.则这个数列的前
项之和
.
11等差数列中,是它的前项和且
,
,则①此数列的公差
,
②
,③
是各项中最大的一项,④
一定是中的最大项,其中正确的是 .
解答题
12已知
,且
组成等差数列(为正偶数).
又
,
,(I)求数列的通项;(II)试比较
与3的大小,并说明理由.
13已知函数
是偶函数,
是奇函数,正数数列满足
,
.
(I)若前项的和为,求
;
(II)若
,求
中的项的最大值和最小值.
14. 已知等比数列
的各项不为1的正数,数列
满足
(
且
),设
,
.
(I)求数列的前多少项和最大,最大值是多少?
(II)设
,
,求
的值.
(III)试判断,是否存在自然数M,使当
时
恒成立,若存在求出相应的M;若不存
在,请说明理由.
15设函数的定义域为全体实数,对于任意不相等的实数
,
,都有
,且存在
,使得
,数列中,
,
,
求证:对于任意的自然数,有: (I)
; (II)
.
问题1解:(I),得=
当
时,
=
,有
,即
.
于是
=
.又,得=
.
由于也适合该式,故=.
(II)=
=
所以当
或50时,有最小值
.
(III)因是与的最大者,有
,
有
=
=1.
问题2(I)证明:由
,得
.
由数学归纳法可证
().
而,当时,
因此,数列是一个公比为的等比数列.
(II)解:由(I)知,
当
时,
当
时,
()
而
,有
当时,
= 
;当时,=
.
以上两式对
时也成立,于是
当时,
= 
当时,
=
.
(III)解:当时,
.
问题3解:(I)设点P(
),由M,N得
,
,
有
,
,
.
于是,,成公差小于零的等差数列等价于
,即
所以点P的轨迹是以原点为圆心,
为半径的右半圆C.
(II)设P(
),则由点P在半圆C上知,
又
=
=
,
得
, 又
,
,有
,
,
,由此得
.
习题解答:
1由
,恒成立,有
,得,选D.
2
,选B.
3设三边长分别为
,且
①当
时,由
,得
;
②当
时,由
,得
,于是得
,选D.
4由
,且
,而
,
又,于是
,选D.
5由椭圆第2定义得
,选A.
6由条件得
,有
,
.
得
,于是为锐角三角形,选B.
7由
,
有
,即
=216,得
=36,
又
,解得
.
8
,得
.
9由条件知,公比满足
,且
,当时,
;
当
时,
.于是的取值范围是
.
10当为奇数时,相邻两项为与
,由得
=10,且
.所以中的奇数项构成以为首项,公差
的等差数列.
当为偶数时,相邻两项为与,由= 
,得
,且
所以中的偶数项构成以为首项,公比
的等比数列.
由此得
.
11由
,得
,有;;是中的最大值,选①②④.
12解:(I)由
=
,再依题意有
=
,即
①
又
,
为正偶数)得
,代入①有
.
(II)
,
得
于是
.
13解: (I)可得
,
,由已知,得
,而
,有
,于是
.
(II)
,
由
知的最大值为
,最小值为
.
14解: (I)
,设
有
,又成等差数列.
,得
,
.
当
时,即
,得
.
于是前12项和最大,其最大值为144.
(II)
,
,得
,
,于是
(III)由(I)知当
时,
恒成立,由
,得
.
(i)当
且时,有
,
(ii)当
且时,
,
故当时,在
使时,恒成立;当时不存在自然数M,使当
时.由明
15证明:用数学归纳法
(I)当时,
命题成立.
假设当
(
)时,
成立,那么当
时,由
,
得
,又,有
,
而
,得
,
于是
,即
,又
,
有
,即
,于是当时,命题也成立.
综上所述,对任意的,
.
(II)由,得
,
又,得
,
又,得
,即
,
有
,而
,得
,
故
.由明