专题二 集合 函数 不等式 导数
一 能力培养
1,函数与方程思想; 2,数形结合思想; 3,分类讨论思想;
4,运算能力; 5,转化能力.
二 问题探讨
[问题1] 已知
,
,分别就下面条件求
的
取值范围:
(I)
;(II)
.
[问题2]求函数
的单调区间,并给予证明.
[问题3]已知
.
(I)若
在定义域R内单调递增,求的取值范围;
(II)若在
上单调递减,在
上单调递增,求的值;
(III)设
在(II)的条件下,求证
的图象恒在图象的下方.
[问题4]设
.
(I)试判断的单调性;
(II)若的反函数为
,证明
只有一个解;
(III)解关于
的不等式
.
三 习题探讨
选择题
1已知函数
,则
的单调减区间是
A,
B,
C,
D,
2已知集合M={
,N={,下列法则不能构成M到N的映射的是
A,
B,
C,
D,
3已知函数
，奇函数在
处有定义，且
时,
，则方程
?的解的个数有
A,4个 B,2个 C,1个 D,0个
4如果偶函数
在上的图象如右图,则在
上,=
A,
B,
C,
D,
5设函数
,已知
,则的取值范围为
A,
B,
C,
D,
6对于函数
,有下列命题:①是增函数,无极值;②是减函数,
无极值;③的增区间是,
,的减区间是(0,2);④
是极
大值,
是极小值.其中正确的命题有
A,一个 B,二个 C,三个 D,四个
填空题
7函数
的定义域是
.
8已知
,则
.
9函数
单调递增区间是
.
10若不等式
对满足
的恒成立,则实数
的取值范围是
.
11
在点M(1,0)处的切线方程是
.
解答题
12函数
的定义域为集合A,函数
的定义域
集合B,当
时,求实数
的取值范围.
13已知定点A(0,1),B(2,3),若抛物线
与线段AB有两个不同的
交点,求的取值范围.
14已知定义在R上的函数,满足:
,且
时,
,
.
(I)求证:是奇函数; (II)求在
上的最大值和最小值.
15通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于老师引入概念和
描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生的
兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,分析结果和实验表明,用表
示学生掌握和接受概念的能力(值越大,表示接受的能力越强),表示提出和讲授
概念的时间(单位:分),可有以下公式:
(I)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多少时间?
(II)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较,学生的接受接受能力何时强一些?
(III)一个数学难题,需要55的接受能力以及13分钟时间,老师能否及时在学生一直
达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?
16已知函数
,其中
,
为自然对数的底数.
(I)讨论函数的单调性;(II)求函数在区间[0,1]上的最大值.
问题1:
,
.
由
有
得
与
,矛盾!
故当
时,
的取值范围是;
(II)解:
,
,
由
必有
,得
或
得
(舍去)或
得
故当
时, 的取值范围是
.
温馨提示:在处理集合的问题中,别忘了我们的好朋友
空集.
问题2:解:(1)当
时,
,
令
,得
它的定义域是
,
得的单调增区间是
,
它分别在,
上为增函数. 的单调减区间是
.
(2)当
时,的定义域是, (3)当
时,的定义域是,
令
,得
或
得的单调增区间是
.
温馨提示:①对参数进行分类讨论,是处理含参数问题的常用方法,
②()
为增(减)函数,反之不行;
③以上单调区的书写格式,符合国际标准,请放心使用.
问题3:解:(I),得
.
在R上单调递增,
恒成立,即
,
恒成立
又时,
,得.
(II),
而在上单调递减,得
在
上恒成立,有
,
又当时,
,得
①
又在上单调递增,得
在
上恒成立,有
,
又当时,
,得
②
由①,②知
.
(III)由(II)可知
是的最小值,有
,
而
,
故
,即的图象恒在图象的下方.
温馨提示:
恒成立时,转化为
进行考虑,合情合理.
问题4:(I)解:的定义域是
,得
所以在上是减函数.
(II)证明:假设存在
且
,使
,
,则有
,
,于是得
,与矛盾!
所以只有一个实根
.
(III)解:由(II)得
,即
,
又=
而在上是减函数,得
,有
或
.
即的解集是
.
温馨提示:为增(减)函数
(
),反之不行.
习题1,C.2,C.3,B.4,C.5,B.6,B.
1,
,有
,2,我们由映射的概念:每一个,有唯一的
由
,得
一个
与它对应.知,A,B,D.都满足.
函数
为上的增函数,
而在C中,M中的1与
对应,
求
的单调减区间,
但
,在N中找不到了.选C.
即求
的单调减区间,于是选C.
3,设,则
,得
=
,有
,
(1)当
时,由
,得
,解得
,
.
(2)当
时,由,得
,无解.
(3)当
时,由,得
,无解.选B.
4,由
,
,知只有C正确.
5,当
与
时,均合题意,而时,
,不合题意,选B.6,③④正确.选B.
7,令
,得
,
,得
.
8,令
,有
,
,得
,[0,2].
9,令
,得
.而它在
上递增,在
上递减,
而当
时,
,ㄊ,
ㄊ,ㄋ;当
时,ㄊ,ㄊ,ㄊ;
当
时,ㄊ,ㄋ,ㄋ.于是得递增区间是.
10,设
,
,由题意,当时,的图象总在的图象的
下方.当
时,显然不合题意;当
时,必有
,
,
得
,又,于是
. 11, 
=
=
,得
,有x+2y-1=0.
12,解:
,而
,
,
又由题意知
,且
,
,
解得
,故的取值范围是
.
温馨提示:函数的定义域,值域,均为非空集.你留意到了没有?
13,解:过A,B两点的直线方程为
,令
,则这方程有两相异实根
,且
.设
,则问题等价于
,解得
.所以的取值范围是.
14,解:(I)由,令
,得
,
又令
,有
,得,于是
,
.
所以是奇函数.
(II)又时,
设
,则
=
而
,得
,有,即
得在R上是减函数,于是它在上有最大值
,最小值
而
,
=6.
所以在R上有最大值6,最小值
.
15,解:(I)当
时,
,得递增, 最大值为
59.
当
时,递减,
因此,开讲后10分钟,学生达到最强的接受能力(值为59),并维持6分钟.
(II)
,
因此开讲后5分钟,学生的接受能力比开讲后20分钟强一些.
16,解:(I)
.
①当时,令
,得.
若,则,从而在上单调递增;
若,则,从而在上单调递减;
②当时,令,得
=0,有
.
若或
,则,从而在,
上单调递减;
若
,则,从而在
上单调递增;
(II)①当时,在区间
上的最大值是
;
②当
时,在区间上的最大值是
;
③当
时,在区间上的最大值是
.